2024-2025学年湖南省益阳市(AJ)高一年级4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
3.在中，若，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知，不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知圆的半径为，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，且，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B. 设，，为非零向量，则
C. 设，为非零向量，若，则
D. 若点为的重心，则
10.已知实数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.已知，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若有两个零点，则
D. 若的定义域为，且，且与图象的交点为，，，，则必为奇数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
14.在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知单位向量，，夹角为，，，且与的夹角为．
若与所成的角为锐角，求实数的取值范围
若向量为在上的投影向量，求
16.本小题分
已知向量，，函数．
求的单调递减区间
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域．
17.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若．
求证：
求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
证明：曲线是中心对称图形．
已知，若，当且仅当时成立．
(ⅰ)求实数的值
(ⅱ)若是的零点，，求的值．
19.本小题分
对任意的实数，定义，其中表示不超过的最大整数．
已知函数，的值域为集合，求的真子集个数．
已知，，，，为的零点，求．
设，，，是任意给定的个互不相等的实数求证：存在某个正整数，使得注：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题可知，
则，
又，，
所以，，解得，
所以，，
则由题可知，解得
故的取值范围为
由可知，
则，且，，
则．
所以．
16.解：因为向量，，
函数
令，
解得：，
即的单调递减区间为．
由题可知：．
因为，所以．
，
则，
即在上的值域为．
17.证明：
因为，
结合余弦定理，得，
所以，
由正弦定理，得
即，
所以，
所以，
因为在中，只能有，所以．
由知，，
则
由于为锐角三角形，
所以
所以，
所以，
所以．
18.解：证明：
，．
即关于对称．
综上，曲线是中心对称图形．
由知关于对称．
当且仅当时成立，当时，．
即，，
综上，．
由题，，，
又，，
，令，则，
，即，都是方程的解，
与都是的零点，又在上单调递增，
，即．
19.解：，
在上单调递增，
又，，
，即的真子集个数为个，
综上，的真子集个数为个．
由，得．
又，得，．
由题意知为整数，只能取，，，，．
当时，．
从而，即只能取值，，，．
．
综上，．
证明：设
对任意的正整数，，
当时，或，即
当时，．
，
．
即在，，，中至少有一个数不大于．
不妨设，
所以存在正整数，使得．
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