2024-2025 学年广东省汕头市潮阳第一中学高二下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2 + 2 ≤ 0 ， = [ 1,1]，则 ∩ = ( )．
A. [ 1,0] B. [ 2,1] C. D. 1,0
2.若复数 满足 1 + i = i，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. i D.
3.在等比数列 中， 3 5 = 49， 4 + 6 = 70，则 8 = ( )．
A. 567 B. 567 C. 451 D. 699
4.在平行四边形 中，点 是 边上的点， = 4 ，点 是线段 的中点，若 = + ，则
=( )
A. 54 B. 1 C.
7
8 D.
3
4
5 1+tan 1.已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边上有一点 ( 1,2)，则1 tan cos2 =( )
A. 4 B. 4 C. 5 53 3 3 D. 3
6.中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.
2
完全展开后扇面的圆心角为3 ，上板长为 16 .若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为( )
A. 28 23 B. 10 2 C. 10 3 D.
32 2
3
7.2025 年春节档共有 7 部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔
童闹海》、《唐探 1900》、《·重启未来》及《蛟龙行动》.为了家庭中的大人和孩子观影便利，该
影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《·重启未来》不排最
后一场，《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有( )
A. 7 种 B. 9 种 C. 10 种 D. 12 种
8 1.已知函数 ( ) = 24 + sin + cos ，若 = log
3
1e ， = sin1 ， = 2 ，则( )2
A. > > B. > > C. > > D. > >
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了 80
名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在[90,100)内的考核等级为优秀，这 80 名志愿者的考核成绩统计图表
如下所示，则下列选项中正确的有( )
分组 频数 频率
[75,80)
2 0.050
[80,85)
13 0.325
[85,90)
18 0.450
[90,95)
[95,100)
0.075
女志愿者考核成绩频率分布表
A.被抽取的男女志愿者人数均为 40
B. = 4， = 3， = 0.100
C.样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为 6 和 7
D.样本中男志愿者考核成绩的第 92 百分位数为 93
10.已知曲线 : 2 + 2 = 2| | 2| |，则以下说法正确的是( )
A.点(1, 1)在曲线内部 B.曲线关于原点对称
C.曲线与坐标轴围成的面积为 2π 4 D.曲线的周长是 2π
11.已知函数 ( )的定义域为 ，对任意 , ∈ ，均满足 ( ) ( + ) = ( 1) ( 1)，且 (0) = 2，
则( )
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A.函数 ( ) = ( )为偶函数 B. 8 是 ( )的一个周期
C. ( )的图象关于点(2025,0)对称 D. 2025 =0 ( ) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在(1 2 )5的展开式中， 3的系数为 ，(用数字作答)
13 1.函数 ( ) = 3 23 3 + 2 在[ 2,0]上的最小值为 ．
14.正方体 1 1 1 1的棱长为 2，平面 1 截正方体内切球所得的截面面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，若 2 = 2 cos ．
(1)求角 的大小；
(2)若 sin = 3，点 是边 上的一点， 平分∠ ，且 = 2，求 的面积．
16.(本小题 15 分)
已知 是等差数列， 是等比数列，且 1 = 1， 2 = 1，2 5 = 3 + 2， 4 = 2．
(1)求 ， 的通项公式；
2
(2) = log2 +1 3若 ，求数列 2 2 的前 项和 ，并求证：4 ≤ < 1． +1
17.(本小题 15 分)
在三棱锥 中， 为等边三角形，∠ = 90°， = 2 = 4， 为 的中点， 为线段 上
一点，sin∠ = 55 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = 13，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (2 + 1)e ．
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(1)求曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程；
(2)若函数 ( ) = ( ) 在( ∞,0)上恰有两个零点，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知动圆 1：( + 2)2 + 2 = 21( 1 > 0)与动圆 2：( 2)2 + 2 = 22( 2 > 0)，满足 1 2 = 2 3，记 1
与 2公共点的轨迹为曲线 ，曲线 与 轴的交点记为 ， (点 在点 的左侧).
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 与圆 2 + 2 = 3 相切，且与曲线 交于 1， 2两点(点 1在 轴左侧，点 2在 轴右侧).
(ⅰ)若直线 与直线 = 33 和 =
3
3 分别交于 1， 2两点，证明： 1 1| = | 2 2 ；
(ⅱ)记直线 1， 2的斜率分别为 1， 2，证明： 1 2是定值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 80
13.43/1
1
3
14.2π3
2 2 2
15.(1) + 由余弦定理得：2 = 2 2 ，
整理可得： 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2∴ cos = 12 = 2，又 ∈ 0, π ，
∴ = π3．
(2)
由正弦定理sin =
sin 得： sin = sin = 3，
∴ = 3sinπ = 2，3
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = π6，又 = = 2，
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∴ ∠ = ∠ = 5π12，
∴ = π π+ 5π3 12 =
π ∴ = 3 = 34， sin 2 = 6，
2
∴ = 1 sin = 1 × 2 × 6sin π+ π 2 2 2 4 6 = 6 × 2 ×
3+ 2 × 12 2 2 =
3+ 3
2 ．
16.(1)因为 是等差数列， 是等比数列，可设 的公差为 ， 的公比为 ，
由已知条件可得 21 = 2 = 1 + = 1 + ， 4 = 2 1 = 1 + 3 ，2 5 = 3 + 2 2+ 8 = 1 + 2，
1 = 1 + = 1
则有 1 = 1 + 3 ，解得 = 2 ,
1 2 = 8 1 = 2
故 = 1 + ( 1) × = ， = 11 = 2 ；
2
(2) (1) = log2 +1 = 2 +1 1 1由 可知 2 2 2 +1 ( +1)2
= 2 ( +1)2，
= 1 1 + 1 1 + + 1 1 = 1 1则 12 22 22 32 2 ( +1)2 ( +1)2，
因为 ∈ 1 1，所以( +1)2 > 0，故 = 1 ( +1)2 < 1；
又由
2 +1
1 = = 2( +1)2 > 0
3
，得 > 1，即数列 单调递增，故 ≥ 1 = 4，
3
综上，可得4 ≤ < 1，证毕．
17.(1)因为∠ = 90°， = 4， = 2，所以 = 2 5，
所以 sin∠ = = 2 5 2 5 = 5 ，
在 中，根据正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
又 sin∠ = 55 ，所以 = ，所以∠ = ∠ ，
因为∠ + ∠ = 90 , ∠ + ∠ = 90 ，
所以∠ = ∠ ，所以 = ，所以 = ，
所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ；
(2)
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取 中点 ，连接 , ，因为 为 的中点，
// = 1所以 ， 2 = 1，
因为∠ = 90°，即 ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为 为等边三角形，且 = 4，所以 ⊥ ， = 2 3，
又 = 13，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
以 为原点，分别以 , , 为 , , 轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0, 2,0)， (1,0,0)， 0,0,2 3 ， (0,2,0)， 0,1, 3 ，
= 0, 2, 2 3 ， = (1,2,0)， = 0,3, 3 ，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则 ，取 = 2，则 = 1, = 3，所以 = 2, 1, 3 ， = 3 + 3 = 0
设直线 与平面 π所成的角为 , ∈ 0, 2 ，
则 sin = = 4 = 2，
2 2×4 4
所以直线 2与平面 所成角的正弦值为 4 ．
18.(1)由 ( ) = (2 + 1)e ，得 ′( ) = (2 + 3)e ，
则 (0) = 1, ′(0) = 3，
所以曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程为 1 = 3 ，即 3 + 1 = 0；
(2)令 ( ) = ( ) = 0 = ( ) = (2 +1)e，则 ，
( ) = (2 +1)e
令 , ∈ ( ∞,0)，
2 2+ 1 e (2 1)( +1)e
则 ′( ) = 2 = 2 , ∈ ( ∞,0)，
令 ′( ) > 0，则 < 1，令 ′( ) < 0，则 1 < < 0，
所以函数 ( )在( ∞, 1)上单调递增，在( 1,0)上单调递减，
所以 ( ) 1max = ( 1) = e，
( ) = (2 +1)e
= 2e
+ e ，当 → ∞时， ( ) → 0，
当 → 0 时， ( ) → ∞，
如图，作出函数 ( )的大致图象，
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因为函数 ( ) = ( ) 在( ∞,0)上恰有两个零点，
所以函数 = , = ( )的图象恰有两个交点，
1所以 的取值范围为 0, e ．
19.(1)设圆 1， 2的交点为 ，则 1 = 1， 2 = 2，
因为 1 2 = 2 3，所以 1| | 2 = 2 3 < 1 2 = 4，
故点 的轨迹(曲线 )是以 1， 2为焦点的双曲线，
从而 2 = 2 3， 2 + 2 = 4，即 = 3， = 1，
2
故曲线 的方程为 23 = 1.
(2)(ⅰ)要证 1 1| = | 2 2 ，
只要证线段 1 2的中点与线段 1 2的中点重合．
设 1 1, 1 ， 2 2, 2 ，其中 1 < 0 < 2，
由条件，直线 的斜率存在，设 的方程为 = + .
因为直线 与圆 2 + 2 = 3 相切，
| |
所以 = 3，即 2 = 3 1 + 2 .
1+ 2
= +
联立 2 2 ，消去 并整理得 3
2 1 2 + 6 + 3 2 + 3 = 0，
3 = 1
2 1 ≠ 0
= 36 2 2 4(3 2 1)(3 2 + 3) = 12( 2 3 2 + 1) = 48 > 0
所以{ + = 6 1 2 ,3 2 1
= 3
2+3
1 2 3 2 1 < 0
1+ 2 3 从而线段 1 2的中点横坐标为 2 = 1 3 2 .
3
又直线 = + 与直线 = 3 和 =
3 3 3
3 交点的横坐标分别为 1+ 3 和1 3 ，
3 + 3 3
则线段 1 2中点的横坐标为 1+ 3 1 3 2 = 1 3 2，
所以 1 1| = | 2 2 .
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2
(ⅰⅰ) 3 +3由条件 1 < 0 < 2， 1 2 = 3 2 1 < 0，即 3
2 1 < 0，
12 2 3 2+1
所以 2 = ( )21 1 2 = ( 1 + 22) 4
4 3
1 2 = 3 2 1 = 1 3 2，
由题意知， 3, 0 ， 3, 0 .
所以 1 2 =
1
+ 3
2
1 2 3
+ +
= 1 2
1 + 3 2 3
2 1 2 + 1 + + 2= 2
1 2 + 3 2 1 3
2 3 2 +3 2 2
3 2 1
6 2
= 3
2 1+
3 2 +3+ 123 2 1 1 3 2 3
3 2 2 +3 2 6 2 2 +3 2 2 2
=
3 2 +3 12 9 2 +3
3 2=
2 3
3 2 6 9 2 = 3 = 1，
即 1 2为定值 1.
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