（2）圆与方程-2025届高考数学二轮复面解析几何
1.已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的方程是( )
A. B.
C. D.
2.若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为( )
A. B.1 C. D.
3.圆与圆的位置关系是( )
A.内含 B.内切 C.外离 D.相交
4.已知圆与圆相交于A，B两点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，，若两圆的一条公切线的方程为，则( )
A. B.2 C. D.3
7.（多选）已知点，若点Q在圆上，则( )
A.点P在直线上 B.点P可能在圆C上
C.的最小值为1 D.圆C上至少有2个点与点P的距离为1
8.（多选）已知圆，则下列命题正确的是( )
A.圆心坐标为
B.直线与圆C相交所得的弦长为8
C.圆C与圆有三条公切线.
D.圆C上恰有三个点到直线的距离为，则或
9.（多选）已知圆与圆交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.线段的中垂线方程为
B.直线的方程为
C.
D.若点P是圆上的一点，则的最大值是
10.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆的内接三角形，则的欧拉线方程为__________.
11.已知点，，若直线l过且平分的面积，则l被外接圆截得的弦长为________.
12.与圆，都相切的直线有_________条.
13.已知圆C经过点，，并且圆心C在y轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当的面积为4时，求直线l的方程.
14.已知圆的圆心在直线上.
（1）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
（2）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由.
15.已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上.
（1）求圆C的方程：
（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，设圆心坐标为，圆过，两点，
，解得，则圆半径为.
圆方程为.故选：C.
2.答案：C
解析：易知圆的圆心为，半径为，圆心到直线距离为，弦长，所以，
解得.故选：C.
3.答案：D
解析：的圆心和半径为，，的圆心和半径为，，故，，故两圆相交，故选：D.
4.答案：A
解析：圆，圆的方程可以化简为，，
将两圆方程相减，得，即直线的方程为.故选：A.
5.答案：D
解析：由题意圆即圆的圆心、半径分别为，圆心到直线的距离为，所以，解得.故选：D.
6.答案：D
解析：两圆的一条公切线的方程为 即过点，不妨设两圆心，，，则，
则，，则，故.故选：D.
7.答案：AC
解析：对于选项A：点，代入直线得，故点P在直线上，A正确；
对于选项B：圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，结合选项A可知，点P不可能在圆C上，故B错误；
对于选项C：结合选项B可知，，故C正确；
对于选项D：由选项C可知圆C上只有1个点与点P的距离为1，故D错误.故选：AC.
8.答案：ABD
解析：对于A中，由圆，可化为，可得圆心，半径为，所以A正确；
对于B中，由圆心到直线的距离为，则相交弦长为，所以B正确；
对于C中，由圆，可得圆心，半径，可得，且，则，所以圆O与圆C相交，可得两圆有两条公共切线，所以C错误；
对于D中，由圆C上恰有三个点到直线的距离为，则满足圆心到直线的距离为，即，解得或，所以D正确.故选：ABD.
9.答案：ABD
解析：由圆的方程知：圆心，半径为；圆心，半径为；
对于A，由圆的对称性可知：直线是线段的中垂线，，直线的中垂线方程为：，即，A正确；
对于B，两圆方程作差可得直线方程为：，B正确；
对于C，到直线的距离，，C错误；
对于D，记M为中点，则，，
，D正确.故选：ABD.
10.答案：
解析：依题意解得所以圆的方程为，即，故圆心坐标为，即的外心坐标为.又的重心坐标为，且点，均在直线上，所以的欧拉线方程为.故答案为.
11.答案：
解析：分别取，的中点，，
则，可知外接圆圆心为，半径，由题意可知：直线l过，，则直线，即，则圆心到直线l的距离，所以所求弦长为.故答案为：.
12.答案：3
解析：圆的圆心为，半径为，的圆心为，
半径为，因为，所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条.故答案为：3
13.答案：(1)
(2)或
解析：(1)方法一：因为，，则，且AB的中点为，
则AB的垂直平分线的方程为，
因为圆心C在y上，令，得，
即点，又，所以圆
方法二：设圆心，圆C经过点，，
所以，即，解得，
即点，又，所以圆.
(2)当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为，令，得，
所以或-1，即，此时，
而点到l的距离为2，的面积为满足要求，所以满足要求；
当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为
点到l的距离，圆心到直线l的距离为，
所以，所以，
化简得，解得，所以直线l的方程为，即，
综上，直线l的方程为或
14.答案：（1），或
（2）见解析
解析：（1）圆的圆心在直线上，
，圆C与y轴相切，，
，，
故所求圆C的方程，或，
（2），，
圆的方程为，，
假设在y轴上存在两点，，使得对于圆C上的任意一点P，都有，设，则由得，
，，
依题意此方程对y恒成立，故，解得或，
故在y轴上存在两点、，或、，使得对于圆C上的任意一点P，都有.
15.答案：（1）
（2）或
解析：（1），的中点为
的垂直平分线方程为，即，
将联立可得，即圆C的圆心坐标为.
圆C的半径为，
所以圆C的标准方程为.
（2）设圆心C到直线l的距离为d，由弦长公式得，故.
若直线l的斜率不存在，则，此时圆心到直线l的距离为3，符合题意.
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，即，
所以，解得，则直线l的方程为.
故直线l的方程为或.
