（7）直线与双曲线的位置关系-2025届高考数学二轮复面解析几何
1.过双曲线的右焦点作与x轴垂直的直线，交双曲线于A、B两点，则( )
A. B. C.3 D.6
2.已知A，B是双曲线上两点，为线段AB的中点，则直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的虚轴长为，P为C上一点，过点P向C的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，，则双曲线C的方程为( )
A. B.
C. D.
4.若F为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”，“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”.公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”.某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A.以点A为圆心，为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则.若，，则a的值为( )
A. B.8 C. D.10
7.（多选）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则( ).
A.C的离心率为2 B.
C.的面积为4 D.的周长为18
8.（多选）已知双曲线，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则( )
A.双曲线的离心率为2
B.存在点M，使得四边形为正方形
C.四边形的面积为2
D.四边形的周长最小值为
9.（多选）双曲线的左、右焦点分别为，，P，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则( )
A.点P必落在第四象限
B.
C.
D.是双曲线C的一条渐近线
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，其中点A在x轴上方，设与的面积分别为，，则__________.
11.过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长__________.
12.已知双曲线，过坐标原点O的直线交C于A，B两点（B在第一象限），过点B作与直线垂直的直线交C于点P，直线分别与x轴，y轴交于D，E两点，若，则C的渐近线方程为_________.
13.已知双曲线（）的左，右焦点分别为，，且，圆与E的渐近线相切.
（1）求双曲线E的标准方程;
（2）若E上两点A，B满足（），且四边形的面积为，求的值.
14.已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为.
（1）求C的离心率.
（2）若过点且斜率为1的直线与C交于A，B两点（A在左支上，B在右支上），且.
①求C的方程;
②已知不经过点的直线l与C交于E，F两点，直线l的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线l过定点.
15.已知双曲线C过点，其右焦点F到渐近线的距离为1，过F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A，B两点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)为双曲线C上一动点，过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，G，四边形的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由；
(3)在x轴上是否存在定点M，使恒成立，若存在求出定点M的坐标，若不存在请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：在双曲线中，，，则，所以，双曲线的右焦点坐标为，由题意可知，直线的方程为，联立，解得，
可取、，故.故选：B.
2.答案：D
解析：设，，则，两式相减得，即，整理得，即直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即.故选D.
3.答案：A
解析：由题意得，解得，双曲线渐近线方程为，即，
设点，则，即则到两渐近线方程的距离分别为，所以，解得，故双曲线方程为.
故选：A.
4.答案：D
解析：设双曲线的右焦点为G，连接BG，则，因此，于是.令，则，而，，所以，因此，故.故选：D.
5.答案：B
解析：
依题意，可得，，则，又因为直线l垂直平分线段，所以，
因为直线l与C存在公共点，所以，即，则，即，解得，所以双曲线C的离心率的取值范围是.故选：B
6.答案：C
解析：设，直线的倾斜角为，则，直线的斜率为，为的中点，，，，，，
，，，，
，
又，
，直线的方程为，联立，得，
，，即，.
故选：C.
7.答案：ABD
解析：如图所示，不妨设A在第一象限，则，由于，得，，由于，所以，故，可得，故，而，故，由，得，
对于A，C的离心率，故A正确；
对于B，由以上分析可知，故B正确；
对于C，在中，，，，故，故C错误；
对于D，的周长为，故D正确.故选：ABD.
8.答案：BC
解析：A选项，由题意得，故，故，A错误；
B选项，由双曲线C的方程可得渐近线方程为，两渐近线夹角为直角，由对称性可知，若四边形为正方形，则M到两条渐近线的距离相等，所以当M为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确；
C选项，设，则，因为渐近线方程为，所以，所以，则四边形的面积为，故C正确；
D选项，由C选项及基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.四边形的周长为，故D错误.
故选：BC
9.答案：AC
解析：
对于A，如图，直线的斜率为2，且是直角三角形，故点P必落在第四象限，故A正确；
对于B，由题可知，，设，
则，则，故，故В错误；
对于C，如B项所设，得，则，，，即，由双曲线的定义可得：，则
故，即C正确；
对于D，由上分析，双曲线的方程为，所以双曲线C的渐近线方程为，故D错误.故选：AC.
10.答案：或0.25
解析：已知，则直线，即，将其代入双曲线方程中得，设，，则，故.
故答案为：
11.答案：8
解析：由双曲线，得，，焦点为，倾斜角，
法一：直线斜率，直线方程为，联立，消x得，，由韦达定理知，代入弦长公式，得.
法二：.故答案为：8.
12.答案：
解析：由题意，设点，，其中，由题意得，则，即，又，
因为，所以，即，则，所以，所以，则，
即，所以双曲线C的渐近线方程为.故答案为：.
13.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，解得，
双曲线的渐近线为，
，解得，所以，故双曲线方程为：;
（2）由，同向可知，直线、与E均有两个交点.
设直线，它与E的另一个交点记为C.
由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积，
所以四边形面积等于三角形面积.
设，
联立方程：，得，，，
三角形面积，
整理得，解得或，
经检验时，，故A，C均在x轴上方或下方，
不妨令，此时，解得或，
画出图象如下：
此时，反向，故舍去；同理可得也不满足要求，
当时，可验证得，同向，符合题意，
若，由，解得或，
由于，所以，，故，
若，同理可得，
综上，.
14.答案：（1）2
（2）①;
②证明见解析
解析：（1）由题意可知，则.
（2）①直线的方程为，联立得，.设，，则，
由，得，
代入，，得，则C的方程为.
②证明：设，，l的方程为.
联立得，
，且，，.
因为，所以，
即，
则，
整理得，即.
因为点P不在直线l上，所以，则，则，，
故直线l过定点.
15.答案：(1)；
(2)是定值，定值为；
(3)存在定点，该定点坐标为.
解析：（1）设双曲线C的标准方程为，右焦点，
双曲线C的渐近线，点F到渐近线的距离，
又，解得，所以双曲线C的标准方程为.
（2）双曲线的渐近线为，
由在双曲线C上，得，即，
过点与直线平行的直线方程为，
由，解得，得交点，
依题意，四边形是平行四边形，，
点P到直线的距离，
所以四边形的面积为定值.
（3）假设存在点，
由（1）知，，由直线l不垂直于坐标轴，设直线l的方程为，
由消去y得，
设，，，解得或，
由，得，而，
于是，则平分，因此直线，的斜率互为相反数，
即
，，
解得，所以在x轴上存在定点，
使恒成立.
