陕西省西安高新第一中学2025届高三下学期4月模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，若动点满足向量平行于向量，则的轨迹过的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
4.已知直线与曲线相切，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆，直线：，，点在上，过作平行于交于点，作平行于交于点，若的长度为定值，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.正四棱台上底面边长为，下底面边长为，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为( )
A. B. C. D.
8.盲盒中有大小相同的个红球，个黑球，随机有放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，矩形中，，，为的中点，将沿翻折成，得到四棱锥，点在线段上，则( )
A.
B. 存在，使平面
C. 存在，使平面
D. 四棱锥体积的最大值为
10.平面上到两个定点距离之积是常数的点的轨迹称为双纽线，已知双纽线的方程，则( )
A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形
C. 的图形包含在单位圆内 D. 的图形介于直线与之间
11.设，则下列四个选项中，是“”成立的充分必要条件的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从中挑出个不同的数字组成五位数，其中有个数字各用次，则能得到的不同的五位数的个数为 ．
13.已知点，的方程为，，为上的动点，满足，则中点的轨迹方程为 ．
14.如果一个正整数等于它所有真因子之和，那么称这个正整数为完全数，例如，是完全数，若是完全数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，．
求；
求的内切圆面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接
Ⅰ证明：．
Ⅱ若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．
17.本小题分
已知抛物线上有三个点，，，且直线与斜率之和为．
求直线的斜率；
若，，求面积的最大值．
18.本小题分
设，函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间．
19.本小题分
由个不同的实数，，，构成一个数表，若中每行个数之和、每列个数之和、两条对角线个数之和均相等，则称为一个阶幻方，这个和称为幻和例如就是一个阶幻方，幻和为．
设是一个阶幻方，证明：
；
是，，，的中位数；
将正整数，，，填入数表中构成一个幻方，
证明：是偶数；
求的概率；
若，，，的某种排列，，，满足：，，；，，；，，构成个公差相等的等差数列，且，则称，，，满足性质证明：是一个阶幻方当且仅当，，，满足性质．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：因为，，
所以，，又，，
所以，，又，故，
由，可得，又，，
所以或，
所以舍去或，
由可得，
所以，故，
所以，
所以，
所以，
所以
所以，
所以或或，又，
所以，，
由，，
所以，，故，，
又，所以，
由余弦定理可得，，
设的内切圆半径为，则
的面积，
所以，
所以，
所以的内切圆面积为．
16.Ⅰ证明：因为矩形，所以，
由底面为长方形，有，而，
所以而，所以．
又因为，点是的中点，所以．
而，所以平面而，所以．
又，，所以平面．
所以得证．
Ⅱ解：如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
因为，设，则，，点是的中点，所以，
由，所以是平面的一个法向量；
由Ⅰ知，，所以是平面的一个法向量．
若平面与平面所成二面角的大小为，
则，解得．
所以，
．
17.解：如图：
因为抛物线：过点，所以．
所以抛物线：．
设直线的斜率为，则直线的斜率为．
直线方程为：，即，代入，整理得：
．
由，所以．
所以．
用代替，可得．
所以．
所以直线的斜率为．
设直线：，代入，整理得：
．
由韦达定理：，．
因为，，所以．
所以．
又点到直线的距离为：．
所以，
设，则，所以
设，
则，
由，因为，所以函数在上单调递增．
所以．
所以．
即面积的最大值为．
18.解：当时，，
则，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
由，，
则
，
令，得或，
当时，，令，得；
令，得或，
所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，，
则函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，，令，得；
令，或，
所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，，令，得或；
令，得，
所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，，
则函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，，令，得或；
令，得，
所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为．
19.解：根据条件中对于幻和的定义，第一行加第三行减去两条对角线可表示为：
化简可得，再代入到第二列中，可得：得证．
分别对第二行，第二列和两条对角线应用以上结论，可得，，，
综上可知必有个数小于，有个数大于，即是这个数的中位数．
证明：假设是奇数，由小问已证结论，幻和为是奇数，且，则必为奇数，
如此则每一行每一列当中都有奇数，对于任意一行列而言，要么三个都是奇数，要么只能有一个奇数，
如此则幻方当中奇数的数量只能是个或者个，与已知个奇数矛盾，故不可能是奇数得证．
一共只有四个偶数，且每个偶数在位置的可能性相同故
不妨设，，，各个等差数列的公差均为．
若是幻方，则已知，所有项的和为
按照的方式求和，所有项和为．
，得，即，，
即，具有性质
若已知具有性质，可按照进行排列，验证其三行，三列和两条对角线的和均等于．
即是一个三阶幻方．
综上，可证是三阶幻方当且仅当满足性质．
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