2024-2025学年浙江省温州环大罗山联盟高二下学期 4月期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = ，集合 = { |0 < < 3}， = { |2 1 < 3}，则 ∩ ( ) =( )
A. [2,3) B. (2,3) C. (1,2) D. ( ∞,2)
2 3.在(1 + 3 )8的展开式中，系数为整数的项数是( )
A. 8 B. 5 C. 3 D. 2
3.若直线 = (0 < < 1)与幂函数 = 3， = = 1， 的图象依次交于不同的三点 ， ， ，则下列说
法正确的是( )
A. | | = 1 3 B. | | = 3
2 C. | | = 1
2 D.以上说法都不正确
34 .函数 ( ) = + ( 为自然对数)的大致图像是( )
A. B.
C. D.
5.小明新买的储蓄罐有 5 位密码，他决定在“斐波那契数列”的前 6 项中随机抽取 5 个数字设置为储蓄罐
的密码，且密码的第 3 位是偶数，已知“斐波那契数列”的前 6 项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以
设置的不同密码个数为( )
A. 144 B. 120 C. 116 D. 84
6.为了考查一种新疫苗预防某 疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行
1
了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的 2 倍，接种且发病占接种的6，没接种且发病的占
1
没接种的3，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为接种该疫苗与预防某 疾病有关”
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的结论，则被抽查的没接种动物至少有( )只
( )2
2 = ( + )( + )( + )( + )
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A. 35 B. 36 C. 37 D. 38
7.如图所示— — — — — —，5 颗串珠用一根细线串起.现将它们依次取出(只
允许从两边取出)，一次取一颗，两颗☆☆串珠被连续取出的概率是( )
A. 1 B. 7 C. 1 D. 94 16 2 16
8.已知函数 ( ) = ln ， ( ) = 2.若 0为方程 ( ) + ( ) = 2 的解，则 2 0 + ln 0 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量 的分布列如下所示，若离散型随机变量 满足 = 2 + 1，则下列说法正确的是( )
0 1 2 3 4
0.4 0.1 2 0.2
A. = 0.1 B. (| 2| = 1) = 0.6
C. ( ) = 2， ( ) = 1.8 D. ( ) = 5， ( ) = 8.2
10.已知由样本数据( , )( = 1,2, , 10)组成的一个样本，得到回归直线方程为 = + 3，且 = 4，剔
除一个偏离直线较大的异常点( 5, 1)后，新的回归直线经过点(6, 4).则下列说法正确的是( )
A.相关变量 ， 具有正相关关系
B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C.剔除该异常点后的回归直线经过点(5, 1)
D.剔除该异常点后，回归直线的斜率是 3
11.已知函数 ( ) = 2 + + 2 + ( , ∈ )，若非空集合 = { | ( ) ≤ 0}， = { | ( ( ) 2) ≤ 4}，
且 = ，则下列说法中正确的是( )
A. 的取值与 有关 B. 为定值 C. 2 ≤ ≤ 8 D. 8 ≤ ≤ 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .已知随机变量 的分布列 = = 2 ( = 1,2,3)，则 = ．
13.甲、乙、丙 3 人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再
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将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲
手里的概率为 ．
14.设函数 ( ) = 2 ( 2 7 + 3) + 7，已知对任意 ∈ [0,2]，若 1， 2满足 1 ∈ [ , + 2 ]， 2 ∈ [ +
3 , + 5 ]，则 ( 1) ≥ ( 2)，则正实数 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数 = 2 log3 100 lg 0，单位是 /min，其中 表示候鸟
每分钟耗氧量的单位数， 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差. (lg2 = 0.30)
(1)若 0 = 4，候鸟每分钟的耗氧量为 8100 个单位时，它的飞行速度是多少 /min
(2)若雄性候鸟的飞行速度为 2.5 /min，雌性候鸟的飞行速度为 1.5 /min，那么此时雄性候鸟每分钟的
耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍
16.(本小题 15 分)
已知函数 = 2 2 3．
(1)若 < 0 的解集为 1, ，求 ， 的值；
(2) 1若方程 = 4 在 2 , 2 上有解，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15分)
某校为了激发学生对航天科技的兴趣,点燃学生的航天梦,举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛,从中抽取了
10名学生的竞赛成绩,得到如下表格:
序号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 (分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这 10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为 , 2.经计算10 2 =1 ( ) =1690,
10 2 =1 =33050.
(1)求 与 2;
(2)若成绩不低于 60分为优秀,从这 10名学生中任取 3名,记成绩优秀的人数为 X,求 X 的分布列;
(3)经统计,全市航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布 N( , 2),用上述 , 2的值分别作为 , 2的近似值,若科
创中心计划从全市抽查100名学生进行测试,记这 100名学生的测试成绩恰好落在区间[43,82]的人数为Y,求Y
的均值 E(Y).
附:若 ~N( , 2),则 P( - ≤ ≤ + )≈0.6827,P( -2 ≤ ≤ +2 )≈0.9545,P( -3 ≤ ≤ +3 )≈0.9973.
18.(本小题 17 分)
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人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得
到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两
个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有 9 个红球和 1 个白球，乙袋中有 2 个红球和
8 1个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为2 (先验概
率)，再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束;若试验未结
束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立．
(1)求首次试验结束的概率;
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
(ⅰ)求选到的袋子为甲袋的概率;
(ⅱ)求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率．
19.(本小题 17 分)
小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数 = ( )是定义在区间 上的连续函数，若 1， 2 ∈ ，都有
( 1+ 2 ) ≤ ( 1)+ ( 2)2 2 ，则称 = ( )为区间 上的下凸函数.例如，函数 =
3在[0, + ∞)上为下凸函数.通过
查阅资料，小明同学了解到了琴生( )不等式：若 ( )是区间[ , ]上的下凸函数，则对任意的 1， 2， ，
∈ [ , ]
+ + + ( )+ ( )+ + ( )
，不等式 ( 1 2 1 2 ) ≤ 恒成立(当且仅当 1 = 2 = = 时等号成立)．
(1)已知 ( ) = 3在[0, + ∞)上为下凸函数，若 3 + 3 = 6( > 0, > 0)，求 + 的最大值;
(2)判断函数 ( ) = 2 + + 在 上是否是下凸函数，若是，请证明;若不是，请说明理由;
(3)设 1， 2， 3， 4 > 0，且 1 + 2 + 3 + 4 = 1 =
1 + 2 2 3 4 ，求 21+ 1+ +
3 3 4 4
1 2 1+
+
3 1+
的最小值．
4
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.87
13. 516
14.2 6 47
15.解：(1)将 0 = 4， = 8100 代入函数式可得：
= 12 log381 lg4 = 2 2lg2 = 2 0.60 = 1.40，
故此时候鸟飞行速度为 1.40 /min;
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为 1，雌鸟每分钟的耗氧量为 2，依题意可得：
2.5 = 1 log 12 3 100 lg 0
1.5 = 1
，
2 log
2
3 100 lg 0
1 = 1 两式相减可得： 2 log
1
3 ，于是
1
= 9．2 2
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍．
16.解：(1)由 < 0 的解集为 1, ，可知 1， 为 2 2 3 = 0 的两个根，
> 0
故 1 + =
2 = 1
，解得 = 3；
1 × = 3
(2)方程 = 4 1在 2 , 2 上有解，即
2 2 3 = 4 1在 2 , 2 上有解，
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即 = 2 1 1 2在 2 , 2 上有解，
令 = 1 1 2 2 ， ∈ [ 2 , 2]，则 = 2 = 1 + 1 ∈ 0,1 ，
故实数 的取值范围为 0,1 ．
17.解：(1)10 2 10 2 2 =1 ( ) = =1 -10 =1690,
2 10 2 = =1 1690=33050 169010 10 =3136，则 =56,
2= 1 1010 =1 ( )
2=169;
(2)竞赛成绩“优秀”的学生有 3人,则 X 的可能取值为 0,1,2,3,
3 7
则 P(X=0)= 7
3
=
10 24
,
1 2
P(X=1)= 3× 7=213 , 10 40
2 1
P(X=2)= 3× 7= 7
3
,
10 40
3P(X=3)= 33 =
1
10 120
，
则 X 的分布列为:
X 0 1 2 3
7 21 7 1
P 24 40 40 120
(3)由题意, =56, =13,记抽查学生的测试成绩为 ,
则 P(43≤ ≤82)=P( - ≤ ≤ +2 )=0.9545+0.68272 =0.8186,
∴这 100名学生的测试成绩恰好落在区间[43,82]的入数为 Y~B(100,0.8186),
∴E(Y)=np=100×0.8186=81.86.
18.(1)设试验一次，“取到甲袋”为事件 1，“取到乙袋”为事件 2，
“试验结果为红球”为事件 1，“试验结果为白球”为事件 2．
( 1) = ( 1) ( 1 1) + ( ) ( ) =
1 × 9 1 2 112 1 2 2 10 + 2 × 10 = 20，
11
所以试验一次结果为红球的概率为20．
(2)( )因为 1， 2是对立事件， ( 2) = 1 (
9
1) = 20，
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1 1
( ) = ( 1 2) = ( ) ( )
× 1
所以 2 1 1 10 21 2 ( 2) ( 2)
= 9 = 9，
20
1
所以选到的袋子为甲袋的概率为9．
( )由( )得 ( 2 2) = 1 ( 1
1 8
2) = 1 9 = 9，
设 为第
11
次独立试验结束的概率，则 = 20．
8 11 22
所以设题设的概率为 ，则 = ( 2| 2) 2 = 9 × 20 = 45．
19. (1) ( ) = 3 [0, + ∞) ( + ) ≤ ( )+ ( )解： 由 在 上为下凸函数，得 2 2 = 3，
( + 因此 )32 ≤ 3，当且仅当 = 时取等号，
+ ≤ 3 3 3则 2 3，即 + ≤ 2 3，当且仅当 = = 3时取等号，
3
所以 + 的最大值是 2 3．
(2)判断： ( ) = 2 + + 是下凸函数，
函数 ( ) = 2 + + 的定义域为 ，设 1， 2 ∈ ，
2 2
则 ( 1+ 2 ) ( 1)+ ( 2) = ( 1+ 2 )2 + ( 1+ 2 ) + 1+ 1+ + 2+ 2+ 2 2 2 2 2
= ( 1+
2 2 2
2)2 1+ 2 = 2 1 2
2+( 1+ 22) ( 1 2)22
4 2 4 = 4 0，
+ ( )+ ( )
当且仅当 1 2 1 21 = 2时取等号，因此 ( 2 ) ≤ 2 恒成立，
所以二次函数 ( ) = 2 + + 是下凸函数；
(3)令 ( ) = 11+ = 1+ 1，0 < < 1，设 1， 2 ∈ (0,1)，
1 1
( 1+ 1
则 1
)+ ( 2) ( 1+ 2 ) = 1+ 1 1+ 22 2 2
1
1+ 1+
+ 1
2
2
1+ 1 +1+ 2= 2 2 [(1+ 1) + (1+ 2)] 4(1+ 1)(1+ 2)2(1+ 1)(1+ )
2 1+ 1 +1+
=
2 2(1+ 1)(1+ 2)(2+ 1 + 2)
= ( 1 2)
2 ( 1)+ ( 2) 1+ 2
2(1+ 1)(1+ )(2+ + )
≥ 0，即 2 ≥ ( 2 )，2 1 2
于是函数 ( ) = 11+ = 1+ 1，0 < < 1 在(0,1)上为下凸函数，
( 1+ 2+ + ) ≤ ( 1)+ ( 2)+ + ( )依题意， ，
( )+2 ( )+3 ( )+4 ( )
因此 1 2 3 410 = 10
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( 1) + ( 2) + ( 2) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 4) + ( = 4) + ( 4) + ( 4)10
≥ ( 1+2 2+3 3+4 4 1 110 ) = ( 10 ) = 11，
当且仅当 1 = 2 = 3 = 4 =
1
10时取等号，
所以 10的最小值为 11
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