河北省唐山市2025届高三下学期第二次模拟演练
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则到轴的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知个座位摆成一排，人随机选择座位，任意两人不相邻的坐法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知圆锥的顶点为，点，，在底面圆周上，若三棱锥的条棱长均为，则该圆锥体积为( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，与直线垂直的直线交于，两点，当的周长最大时，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的有( )
A. B.
C. D.
10.已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则且
B. 若，则
C. 若，则且
D. 若，则的最大值为
11.已知函数的图象连续且定义域为，，若不是常数函数，则下列说法正确的是( )
A. B. C. 为周期函数 D. 为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如下图，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为 ．
13.已知向量，满足，，，则 ．
14.已知的面积为，，分别为边，的中点，设，则取得最大值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，，分别是，，的中点．
证明：平面
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知，是函数的两个极值点．
求，的值
若曲线在点处的切线为，设直线在轴上的截距为，求的最大值．
17.本小题分
若数列满足对任意，成立，则称数列为严格上凸数列．
若，证明：数列是严格上凸数列
若数列为严格上凸数列，且，求的取值范围．
18.本小题分
某学术平台引入智能检测系统对所收到的文本进行筛查检测系统对生成文本的识别准确率为，对人类撰写文本的识别准确率为检测系统对所收到的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“生成概率”得分分与文本长度字可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，已知该平台中的文本由生成．
求回归系数
从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率精确到
现从平台中随机抽取篇文本进行统计分析，填写列联表篇数四舍五入取整数
文本真实性 检测结果 总计
识别为生成篇 识别为人类撰写篇
真实生成篇
真实人类撰写篇
总计
依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异
参考公式：
提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
19.本小题分
已知曲线．
曲线是否可以是圆、双曲线若可以，请求出对应的取值范围
若曲线过点，且与轴的正半轴交于点．
(ⅰ)求曲线的方程
(ⅱ)不经过的直线与曲线相交于两点，，射线平分，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：以点为原点，，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
易得，，，，．
所以，，．
设平面的法向量，
则 ，令得．
计算可得，所以．
又因为平面，所以平面．
由知平面的法向量，
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：，，．
依题意，，为的根，即，为方程的根，
所以，，因此，，
经检验，是函数的极值点．
由得，，
所以直线的方程为
即，，，
当时，，单调递增当时，，单调递减．
所以时，取得最大值．
17.证明：因为，所以，，
因此，，
所以因此数列是严格上凸数列．
解：数列为严格上凸数列，且，所以，
即，整理得．
令，则，可知数列单调递减．
所以当时，取得最大值．
因此的取值范围为
18.解：因为，所以回归系数．
记“由生成的文本”，“由人类撰写的文本”，
“被检测系统识别为人类撰写的文本”，
则由题意知，，，，
由全概率公式知文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率：
，
即文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为．
由题意知：这篇文本中，真实生成的篇数：，
人类撰写的篇数：．
真实生成且检测系统识别为生成的篇数：．
人类撰写且检测系统识别为人类提写的篇数：．
所以列联表为：
文本真实性 检测结果 总计
识别为生成篇 识别为人类撰写篇
真实生成篇
真实人类撰写篇
总计
所以，
故依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本其实性”有差异．
19.解：若曲线为圆，则，无解，故曲线不能为圆
若曲线为双曲线，则，解得或，
综上，曲线不能为圆，
当或时，曲线为双曲线．
把点代入曲线的方程，得，解得或，
又因为曲线与轴正半轴交于点，所以，即曲线的方程为．
设，，将代入，并化简，
可得，所以，
依题意，直线的方程为，
所以关于直线的对称点的坐标为，
由射线平分可知，，，三点共线，所以，
整理可得，
将式代入上式并化简，可得，
解得或，
时，过点，舍去，
于是的值是．
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