浙江省杭州第二中学、湖南省长郡中学、江苏省南京师范大学附属中学2025届高考模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.在四边形中，若，，则该四边形的面积为( )
A. B. C. D.
4.函数，的值域为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差为，，，成等比数列，则的前项和( )
A. B. C. D.
6.已知某个数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，它们在第一象限和第三象限的交点为，，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则等于( )
A. B. C. D.
8.有两个棱长均为的正四棱锥木制实心玩具，底面中心分别为，，另有一个棱长为的正四面体木制实心玩具，现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合胶水厚度不计从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有( )
A. 个元素 B. 个元素 C. 个元素 D. 个元素
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义在上的函数，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 函数的值域为
10.已知，，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知动点，其到直线的距离与其到点的距离相等，设其轨迹为．上有两个关于轴对称的点，在的上方记直线的斜率为，坐标轴原点记为，的外接圆记为则下列结论正确的是( )
A. 当时，的面积为
B.
C. 的周长大于
D. 过点分别作，的切线，且与轴交于点，，则最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆与圆的公共弦长等于 ．
13.有个集合：，，，，，从每个集合中等可能地各取个数，记个数之和为，则__________．
14.已知面积为，边，上的中线为，，且，则边的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，．
求证：
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
在中内角，，的对边分别为，，，满足，
求．
若，点，是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围．
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．
求椭圆的方程；
已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由．
18.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
当时，求的单调区间；
若当时，关于的方程：有两个不同的根：，且，
(ⅰ)求的范围；
(ⅱ)当最小时，求的值．
19.本小题分
已知元正整数集合，取出的个互不相同的非空子集：，，，构成集合，若中任意个元素的并集均真包含于，任意个元素的并集均等于，我们称合理覆盖．
若，，，，问是否合理覆盖？请简要说明理由；
若存在合理覆盖，求的最小值；
是否存在合理覆盖，且，，，构成公差为的等差数列表示集合中的元素个数？若存在请给出一个，若不存在请说明理由．
参考答案
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15.解：证明：取的中点为，连结，，
，
，
在和中，
，
，
的中点为，
，
，、平面，
平面，
平面，
；
过作平面，垂足为，连接，，
，
，，，、平面，
面，
面，
，
同理可得，
底面为等腰直角三角形，，
四边形为正方形且边长为，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
即，
取，则，，
，
设平面的法向量为，
则，
即，
取，则，，
，
设平面与平面的夹角为
，，
平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：由 ，可得 ．
因为 ，所以 因为 ，所以 ．
由 ，可得 ，即 ，所以 ．
由正弦定理可得 ，则 ，
可得 ，
则 或 舍去，所以 ，
设 ，在 中，由正弦定理得 ，
所以 ．
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ．
的面积 ．
因为 ，所以 ， ， ，
故 面积的取值范围为 ．
17.解：因为椭圆的离心率，且椭圆过点，
所以，解得，，
则椭圆的方程为；
易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立方程，
消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为为的中点，
所以，
因为点在直线上，
所以，
即，
因为直线的方程为，
令，解得，即，
假设存在定点满足，此时，
因为，，
所以，
整理得，
因为，
所以，
即恒成立，
此时，解得，，
故存在满足．
18.解：当时，，则，
令，则，
当时，，单调递减：当时，，单调递增，
所以，
则，所以的单调递增区间为，，无减区间
当时，令，则，
所以方程的根等价于函数的零点，
当时，单调递增，没有两个零点，
当时，先减后增，且，
所以有两个零点，且，
综上所述；
(ⅱ)因为，，两式做差得：，
令，又由，得到，
由可知左侧的函数单调递增，当时最小等价于右侧的函的数取到最小值，
令，则，
令，则，且，，
所以存在，使得，
则右侧的函数在上先增后减，在处取到最小值，此时，
19.解：是，因为任意两个集合均有一个公共元素，从而不能覆盖，而任意三个集合覆盖．
若存在合理覆盖，从，，，中任取五个集合，，，，
则中必存在一个元素不属于这五个集合，同理再任取五个集合，，，
则中必存在一个元素不属于这五个集合，则否则必存在六个集合的并集不等于，
所以中至少有个元素，故．
当时，中的每个元素均恰好属于，，，中五个集合，且每个元素所在的五个集合构成的集合均不相同，
则该合理覆盖．
若存在合理覆盖，则中的每一个元素可以恰好属于，，，中，，，，，个集合小于个则存在六个集合的并集不等于，首先我们将中恰好属于，，，中，，，，个集合的元素去除，则仍然合理覆盖剩下的集合可以理解为将剩下的集合置换为则
由中恰好属于，，，中个集合的元素至少个，我们再将所在个集合相同的元素留下一个，其余去除，
则中将只剩下个元素，此时，现在此基础上我们再加回一些元素：
加回的元素对于，，，的初始状态为：，，，，，，，，，
先加个恰属于五集合的元素：，，，，，，，，，
然后每次加个恰属于五集合的元素：，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
最后剩余的所有元素给每一个集合，
所以存在合理覆盖，且，，，构成公差为的等差数列．
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