山西省部分学校2025届高三下学期二轮复习联考（二）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知为抛物线上一点，且点到轴的距离为，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则( )
A. B.
C. D. 无法确定，与有关
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为，则该方斗杯可盛水的总体积为( )
A. B. C. D.
8.设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的大致图象可以是( )
A. B.
C. D.
10.已知，，，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有( )
A. 为偶函数 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为等差数列的前项和，若，则________．
13.已知且，则二项式的展开式中，常数项为________．
14.市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构．下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数万人与第个月的数据：
根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的曲线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数________精确到．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为；
参考数据：，，，，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程
证明：当时，．
16.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，．
求角
，，为的中点，求．
17.本小题分
如图，在多面体中，四边形为梯形，，，四边形是菱形，，，，．
证明：平面平面
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知数列中，，
求
数列满足，设为数列的前项和，证明：．
设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，，分别为其上、下顶点，且．
求椭圆的标准方程．
点为椭圆的右顶点，点为椭圆上在第三象限内的动点，、两点关于轴对称，直线与直线、直线分别交于点，，过作轴的平行线交的延长线于点，连接，试探究四边形是否为平行四边形，并写出探究过程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，，则，，
则所求切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程为．
证明：的定义域为，，
令，解得，
当时，，则在上单调递减
当时，，则在上单调递增
所以
要证，只需证．
设，则只需证当时，．
因为在时恒成立，
所以在上单调递减，
所以当时，，即，
所以，得证．
16.解：因为，
所以由正弦定理得C.
因为，所以，所以，
整理得，即．
因为，所以，
所以，即．
在中，由余弦定理得，
即，解得或若，
则，则为钝角，舍去，
所以经验证，此时为锐角三角形，
因为为的中点，所以，
所以，在中，，
所以，
在中，．
17.解：证明：因为四边形是菱形，且，所以．
又因为，，所以，所以．
因为，所以．
又因为，，平面，且，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
解：记，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，平行向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
则，，，．
设平面的一个法向量为，则
令，得
设平面的一个法向量为，则
令，得
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：在数列中，由，得，
则，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，解得．
证明：由知，
，
，
两式相减得，
因为，所以．
证明：由题．
假设数列中存在不同的三项，，构成等差数列，
则，即，
两边同时乘以，得．
因为，，，，所以，，
则是的倍数，除以余，等式不成立．
所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.解：由已知，得，，，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为．
由解得或舍去，
所以点的坐标为，从而点的坐标为，
于是直线的斜率，直线的方程为．
又直线的方程为，由得
由得，
直线的方程为，直线的方程为，
由得．
因为直线的斜率，
直线的斜率，
所以，，
所以四边形为平行四边形．
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