2024-2025 学年河北省部分学校高三（下）高考综合能力提升卷（一）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∣ = 2 , ∈ , = { ∣ 4 < < 6}，则 ∩ =( )
A. 0,2,4 B. 2,0,2,4 C. 0,2,4,6 D. 4, 2,0,2,4,6
2.已知复数 满足 3i 1 + i = 2 i 2(i 是虚数单位)，则| | =( )
A. 2 1 1 22 B. 2 C. 4 D. 4
3.已知偶函数 ( )的定义域为 R，且当 > 0 时， ( ) = 3 + ，若 ( 2) = 7，则 (3) =( )
A. 11 B. 15 C. 25 D. 29
4 4 10
2
2
.已知焦距为 的双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线与直线 3 + 2 = 0 垂直，则该双曲
线的方程为( )
2 2 2 2A. = 1 B. = 1 C.
2 2 2 2
36 4 144 16 4 36 = 1 D.
16 144 = 1
5.“(2 )5的展开式中 2的系数为 60”是“ = 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 为抛物线 : 2 = 16 上的一点， 到 的焦点距离与到 轴距离之和为 16，则 点的横坐标为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7 π π.已知函数 ( ) = 2sin 6 ( > 0)， 1 2 = 4，且 1 2 min = 2，则( )
A. ( ) π的图象关于 = 3对称
B. ( ) π π的单调递增区间为 6 + 2 π, 3 + 2 π ∈ Z
C. π π当 ∈ 3 , 6 时， ( )
1
的值域为 2 ,
1
2
D. ( )的图象可由函数 = 2sin + π π6 的图象向右平移6个单位长度获得
8.已知函数 ( ) = ln + 2 2 ， ∈ ，若函数 ( )在(0, + ∞)上有两个不同的极值点 1, 2，则 1 +
2 的取值范围是( )
A. ( ∞, 6) B. ( ∞, 3) C. ∞, ln2 2 D. ∞,4ln2 20
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知 ln( ) > ln ，则( )
A. 1 <
1
B. +
2 < 0 C. 2 < 2 D. 2 < 12
10.某商场统计了 180 天的日收入(单位：万元)，并分组如下：[0,2), [2,4)，[4,6), , [10,12]，得到如图所示
的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A.这 180 天中日收入不低于 8 万元的有 54 天
B.用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于 8 万元的天数中抽取 14 天，则这 14 天中有 6 天的日收入低
于 4 万元
C.这组数据的平均数是 6 万元(每组数据以区间中点值为代表)
D.这组数据的第 75 百分位数为 8.5 万元
11.已知 是圆 1: 2 + 2 2 + 10 + 17 = 0 上的一点， 是圆 22: + 2 6 + 8 = 0 上的一点， 为直
线 : + 2 = 0 上一点，则下列说法正确的是( )
A. | |的最大值为 29 + 4 B. 1
55
2的最小值为 4
C. | | + | |的最小值为 109 4 D. | | | |的最大值为 29 + 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2, )，向量 = (5, + 2)，若向量 与 平行，则 = ．
13 3 π.若2 < < ，sin = 5，则 cos(2 + 2 ) = ．
14.秦量是秦代为统一全国量制而由官府颁发的标准量器，秦量多为铜质和陶质，铜量有方升和椭量，陶量
则多为圆桶形(即圆台形状，如图所示).某地出土秦诏文陶量 1 件，高为 10 厘米，上部外径(即上底面外部
直径)为 24 厘米，下部外径(即下底面外部直径)为 16 厘米，则此陶量的外接球的表面积为 平方厘米．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知数列 满足 1 = 2， +1 = 2 +1 ( ∈ )．
(1) 1求证： 是等差数列；
(2)若 = +1( ∈ )，求数列 的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = 2 = 2 = 2， 为
上一点，且 3 = 2 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择 6 个果园试种新品种苹果树，得到样本数据
如下表：
果园的面积 (单位：亩)1 2 3 4 5 6
产量 (单位：吨) 2.66.39.311.216.518.3
(1)若果园的面积 (单位：亩)与产量 (单位：吨)满足线性回归关系，试求 关于 的线性回归方程；
(2)果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这 6 个果园亩产量高于 3 吨/亩的频率为概率，从该县
果园中随机抽取 3 个，其中亩产量高于 3 吨/亩的果园的个数记为 ，求 的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程 = + = =1 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， = ． =1 2
2
参考数据：6 =1 ≈ 280．
18.(本小题 17 分)
2 : +
2 1
已知椭圆 2 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为2，过 1的直线 与 交于 ， 两点，
当直线 垂直于 1 2时，| | = 3．
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(1)求 的方程；
(2) 3 7若 2的内切圆的半径为 22 ，求直线 的方程．
19.(本小题 17 分)
若存在正数 ，对任意的 1, 2 ∈ ， 1 2 ≥ 1 2 恒成立，则称函数 ( )， ( )在 上
具有性质“ ( )”.
(1) 1 1判断函数 ( ) = 2
2， ( ) = 4在[ 2,2]上是否具有性质“ 16 ”，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 2 sin ， ( ) = cos 在 0, π2 上具有性质“ ( )”，求 的取值范围；
(3)若函数 ( )与 ( ) = e ln 在(0, + ∞)上具有性质“ (1)”，且存在 , ∈ (0, + ∞)， < ，使得
( ) = ( )，求证： e + e > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.43
13.2425/0.96
14.580π
15.(1) 1 1 1数列 中， 1 = 2， +1 = 2 +1，则 ≠ 0， = + 2， +1
1 1
所以数列 是以 = 2 为首项，公差为 2 的等差数列． 1
(2) 1由(1)知， = 2 + ( 1) 2 = 2 =
1 1 1 1 1 1
，则
2
， = 2 2( +1) = 4 ( +1 )，
所以数列 的前 项和 =
1
4 [(1
1
2 ) + (
1 1 1 1
2 3 ) + ( 3 4 ) + + (
1 1
+1 )] = 4( +1)．
16.解：(1) ∵ ⊥平面 , 平面 , ∴ ⊥ ．
∵在直角梯形 中， // , ⊥ ，
= 2, = = 1，
∴ = = 2.
∴ 2 + 2 = 2, ∴ ⊥ ，
又 ∩ = . ∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
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(2)以 为坐标原点， , , 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
易知 (0,2,0), (1,1,0), (0,0, 3), (0,0, 3 ．3 )
则 = (1, 1,0), = (0, 2, 3 ， ．3 ) = (0, 2, 3)
设 = ( , , )是平面 的法向量．
= 0
则 = 0
即 3 ，
= 0 2 + 3 = 0
所以可取 = 1,1,2 3 ，
∵ cos , = =
2 2
，
| | | | 7
∴ 2 2直线 与平面 所成角的正弦值为 7 .
17.(1) = 1+2+3+4+5+6 = 3.5 = 2.6+6.3+9.3+11.2+16.5+18.36 ， 6 = 10.7，
6 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 =1 + 6
2 = 91，
6
=1 所以 = 6 2 2 =
280 6×3.5×10.7
2 = 3.16， =1 91 6×3.5
= = 10.7 3.16 × 3.5 = 0.36，
所以 = 3.16 0.36；
(2) 4 2由题意可知，6 个果园亩产量高于 3 吨/亩的频率为6 = 3，
则 3, 23 ，
3
( = 0) = 1 = 1 ( = 1) = C1 × 2 × 1
2 2
3 27， 3 3 3 = 9，
2 3
( = 2) = C23 ×
2 × 1 = 4 2 83 3 9， ( = 3) = 3 = 27，
即
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0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
( ) = = 3 × 23 = 2．
2
18.(1)
2
令椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的半焦距为
1
，由离心率为2，得 = 2 ， = 3 ，
2 2
椭圆 : 4 2 +
3
3 2 = 1，当 = 时，| | = 2 ，依题意，3 = 3，解得 = 1，
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)由(1)知， 1( 1,0), 2(1,0)，设直线 的方程为 = 1， ( 1, 1), ( 2, 2)，
= 1
由 2 23 2 + 4 2 = 12消去 并整理得(3 + 4) 6 9 = 0，
+ = 6 , = 9 | | = ( + )2 4 = 36
2
+ 36 = 12
2+1
1 2 3 2+4 1 2 3 2+4， 1 2 1 2 1 2 (3 2+4)2 3 2+4 3 2+4 ，
2
2的面积 2 =
1 | 12 +12 1 2|| 1 2| = 3 2+4 ，
3 7 1 6 7
由 2的内切圆的半径 = 22 ，得 2 = 2 4 = 11 ，
12 2+1 6 7
因此 3 2+4 = 11 ，整理得 63
4 316 2 372 = 0，即(63 2 + 62)( 2 6) = 0，
解得 =± 6，所以直线 的方程 ± 6 + 1 = 0．
19.(1)函数 ( ) = 1 2 42 和 ( ) = 在[ 2,2]
1
上具有性质“ 16 ”.
理由如下：
因为 ( )和 ( )在[ 2,2]上均为偶函数，且在[0,2]上单调递增，
所以只需考虑 2 ≥ 1 ≥ 2 ≥ 0 的情况，
令 ( ) = ( ) 1 ( ) = 1 2 1 416 2 16 ，则
′( ) = 1 3 24 = 4 4 ≥ 0，
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所以 ( )在区间[0,2]上单调递增，且 (0) = 0，所以 ( ) ≥ 0, ∈ [0,2]恒成立，
则 1 ≥
1 1
2 ，即 1 16 1 ≥ 2 16 2 ，
则 1
1
2 ≥ 16 1 2 ≥ 0，再根据函数 ( )是偶函数，
即 1 ≥
1
2 16 1 2 ， 1, 2 ∈ [ 2,2]，
( ) = 1所以函数 2 4 12 和 ( ) = 在[ 2,2]上具有性质“ 16 ”.
(2) ′( ) = 2 cos > 0， ( ) 0, π π在区间 2 单调递增， ( ) = cos 在 0, 2 上单调递增，
π
设2 ≥ 1 ≥ 2 ≥ 0，若函数 ( )和 ( )具有性质“ ( )”，
则 1 2 ≥ 1 2 ，整理为 1 1 = 2 2
设 ( ) = ( ) ( ) = 2 sin + cos π，由以上可知， ( )在区间 0, 2 上单调递增，
即 ′( ) = 2 cos sin ≥ 0，
∈ 0, π ≤ 2 cos 当 2 时， sin 恒成立，
2 cos π
令 ( ) = ， ∈ 0, , ′sin 2 ( ) =
1 2cos = 0 = πsin2 ，得 3，
当 ∈ 0, π3 时，
′( ) < 0， ( )单调递减，
π
当 ∈ 3 ,
π ′
2 时， ( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 = π3时， ( )取得最小值 3，
所以 0 < ≤ 3；
(3)由题意可知，存在 , ∈ (0, + ∞)， < ，
( ) ( ) ≥ ( ) ( ) ，又 ( ) = ( )，
则 ( ) ( ) ≤ 0，即 ( ) = ( )，
( ) = e ln e ， > 0，设 = e > 0， ( ) = ln ，
′( ) = 1 1 = 1 ，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
设 = e 1 ， 2 = e ，不妨设 1 ∈ (0,1)， 2 ∈ (1, + ∞)，2 1 ∈ (1,2)，且 1 = 2 ，
设 ( ) = ( ) (2 )， ∈ (0,1)
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′( ) = ′( ) + ′(2 ) = 1 1 1 2 + 1 2 = 2 (2 ) < 0，
所以 ( )在区间(0,1)上单调递减，且 (1) = 0，即 ( ) > 0， ∈ (0,1)
即 1 2 1 > 0，即 1 > 2 1 ，则 2 > 2 1 ，
即 2 > 2 1，则 1 + 2 > 2，得 e + e > 2，即证．
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