2024-2025 学年贵州省贵阳市第三实验中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集 = {0,1,2,3,4,5}， = {1,2,3}， = {1,5}，则( ) ∩ =( )
A. {5} B. {2,5} C. {0,5} D. {2,3,4}
2 .已知复数 1 = 2 + , 2 = 3 + 2 ,则 = 2 在复平面内所对应的点位于( )1
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 ， 满足| | = 1， = (1,1)且 = 1，则 与 + 夹角的余弦值为( )
A. 5 B. 2 5 5 2 55 5 C. ± 5 D. ± 5
4.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 3 + 7 = 38， 5 = 55，则 1 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.(1 + 4)(1 + 1 )
6的展开式的常数项为( )
A. 6 B. 10 C. 15 D. 16
6.将函数 ( ) = 4 (2 + 3 )的图象向右平移3个单位长度，得到函数 ( )的图象，则下列结论正确的是( )
A. ( ) 是奇函数 B. ( )的图象关于直线 = 12对称
C. ( )在[0, 2 ]上单调递增 D. ( )在[
6 ,
3 ]上的值域为[ 4,2 3]
7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.安排甲、乙、丙、丁 4 名航天员到空
间站开展工作，每个舱至少安排 1 人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有( )
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A. 36 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 30 种
8.已知 ( )是定义在( ∞,0) ∪ (0, + ∞)上的偶函数， ′( )是 ( )的导函数；当 < 0 时，有 ′( )
2 ( ) > 0 ( 2) = 2 2 ( )恒成立，且 ，则不等式 > 的解集是( )
A. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞) B. ( 2,0) ∪ (0,2)
C. ( 2,0) ∪ (2, + ∞) D. ( ∞, 2) ∪ (0,2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1 1.已知事件 ， 发生的概率分别为 ( ) = 2， ( ) = 4，则( )
A.若 3 3与 互斥，则 ( ∪ ) = 4 B.若 与 相互独立，则 ( ) = 4
C.若 与 相互独立，则 ( ) = 38 D.
5
若 与 相互独立，则 ( ∪ ) = 8
10.设抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ， 为 上一动点， (3,1)为定点，则下列结论正确的是( )
A.准线 的方程是 = 2
B. | | + | |的最小值为 4
C. 所在直线被抛物线所截得的弦长为 5
D.以线段 为直径的圆与 轴相切
11.已知定义在 上的函数 ( )， ( )，其导函数分别为 ′( )， ′( )，若 ( ) = ( )， ( 1) = 0， ( ) +
′( 1) = 2， ′( 1) + ( ) = 1，则( )
A. ( )是奇函数 B. ( )是周期函数 C. (6) = 32 + (2) D. ′(6) = 3 ′(2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = 2 + ′(0)，则 (0) = ______．
13.已知等比数列{ }的前 项和 满足 = 2 + +1，则 1 =______．
14 .若不等式 + 1 ≥ 0 恒成立，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_____．
请在①( )sin( + ) = ( )( + )；②sin( 16 )cos( + 3 ) = 4，这两个中任选一个作为条
件，补充在横线上，并解答问题．
(1)求 ；
(2)若△ 的面积为 5 3, 为 的中点，求 的最小值．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + + 2 在 = 2 处取得极值 14．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(3)求函数 ( )在[ 3,3]上的最值．
17.(本小题 15 分)
如图 1 在矩形 中， = 4， = 2， 为 的中点，将△ 沿 折起，使得平面 ⊥平面 ，
如图 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若点 是线段 上的一动点，且 = (0 < < 1)，当二面角 的正弦值为2 5时，求 的值．
5
18.(本小题 17 分)
2 2
若双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一个焦点是 (2,0)，且离心率为 2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过焦点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点(不重合)，
①求直线 的倾斜角的取值范围；
②在 轴上是否存在定点 ，使得直线 和 的斜率之积为常数，若存在，求出 的坐标，若不存在，请
说明理由．
19.(本小题 17 分)
1 1
已知函数 ( ) = 22 ( 2 ) + ( 1)，其中 ≠ 0．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 > 0，证明：函数 ( )有唯一的零点；
(3)若 ( ) > 0，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13. 2
14.[ 1 2 , + ∞)
15.解：(1)选择条件①，( )sin( + ) = ( )( + )，
则( ) = ( )( + )，
由正弦定理可得( ) = ( )( + )，即 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
所以 = 2 = 2，由 ∈ (0, )，所以 = 3；
1
选择条件②，sin( 6 )cos( + 3 ) = 4，
sin[ ( 即 2 3 + )]cos( +
3 ) =
1
4，所以cos
2( + ) = 13 4，
由 ∈ (0, ), < + < 4 3 3 3，则 cos( +
3 ) =
1
2，
2
所以 + 3 = 3，则 = 3；
(2)由 = 12 =
1 × 32 2 = 5 3，解得 = 20，
又 = + ，
所以
2
= (
2
+ )2 = + 2
2
+
1 2= 2 + 2 × 2 × (
1 1 2 2
2 ) + ( 2 ) = +
4
1
2 ≥
1 1
2 = 2
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= 10，
所以| | ≥ 10，当且仅当 = 10, = 2 10时等式成立，
所以 的最小值是 10；
另解：因为 △ = 5 3, 为 中点，
= 1 = 5 3 = 1 1 所以 △ 2 △ 2 2 2 sin 3，得 = 20，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2
= 2 + 1 2 1 ≥ 2 14 2 2
1
2 =
1
2 = 10，
所以 ≥ 10，当且仅当 = 10, = 2 10时等式成立，
所以 的最小值是 10．
16.解：(1)因为函数 ( ) = 3 + + 2，所以 ′( ) = 3 2 + ，
又函数 ( )在 = 2 处取得极值 14．
( 2) = 14 8 2 + 2 = 14 = 1
则有 ，即
′( 2) = 0 12 + = 0
，解得： = 12，
经检验， = 1， = 12 时，符合题意，故 = 1， = 12．
(2)由(1)知：函数 ( ) = 3 + 12 + 2，则 ′( ) = 3 2 + 12，
所以 ′(1) = 9，又因为 (1) = 1 + 12 + 2 = 13，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 13 = 9( 1)，
也即 9 + 4 = 0．
(3)由(1)知：函数 ( ) = 3 + 12 + 2，则 ′( ) = 3 2 + 12，
令 ′( ) = 0，解得： 1 = 2， 2 = 2，
在 ∈ [ 3,3]时，随 的变化， ′( )， ( )的变化情况如下表所示：
3 ( 3, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,3) 3
′( ) 0 + 0
( ) 7 单调递减 14 单调递增 18 单调递减 11
由表可知：当 = 2 时，函数 ( )有极小值 ( 2) = 14；
当 = 2 时，函数 ( )有极大值 (2) = 18；
因为 ( 2) = 14 < (3) = 11， (2) = 18 > ( 3) = 7，
故函数 ( )在[ 3,3]上的最小值为 ( 2) = 14，最大值为 (2) = 18．
17.解：(1)证明：因为在矩形 中， = 4， = 2， 为 的中点，
所以 = = 2 + 2 = 2 2，因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
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因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)取 中点 ，连接 ，
因为 = ， 为 的中点，则 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
取 的中点 ，连接 ，则 // ，
由(1)知， ⊥ ，所以 ⊥ ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ( 2, 0,0), ( 2, 2 2, 0), ( 2, 0,0), (0,0, 2)，
由(1)知 ⊥平面 ，
则平面 的一个法向量可设为 = (0,1,0)，
因为 = 且 0 < < 1，所以 = = ( 2 , 2 2 , 2 )，
= + = + = ( 2 2 , 2 2 , 2 2 )，
= ( 2 2, 0,0)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = 0 2 2 = 0则 ，则 ，即 ， ⊥ = 0 ( 2 2 ) + 2 2 + ( 2 2 ) = 0
取 = 1，则 = 0， = 2 ．
即平面 的一个法向量为 = (0, 1,2 )．
2 5
因为二面角 的正弦值为 5 ，
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所以|cos , | = | | | 1| 5| | | | = = ，( 1)2+4 2 5
1
因为 0 < < 1，解得 = 2．
18.解：(1)因为的一个焦点是 (2,0)，且离心率为 2，
所以 = 2， = = 2，
又 2 = 2 + 2，
解得 2 = 1， 2 = 3，
2
则双曲线 的方程为 2 3 = 1；
(2)①( )当直线 斜率存在时，
不妨设直线 的方程为 = ( 2)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
3 2 2 = 3
联立 2 2 2 2 = ( 2)，消去 并整理得(3 ) + 4 4 3 = 0，
此时 = 16 4 4(3 2)( 4 2 3) = 36 2 + 36 > 0
3 2 ≠ 0
2
易知 1 + 2 =
4
3 2 > 0，
2
1 2 =
4 3
3 2 > 0
解得 < 3或 > 3，
2 此时直线 的倾斜角的范围为( 3 , 2 ) ∪ ( 2 , 3 )；
( ) 当直线 斜率不存在时，直线 的倾斜角为2．
2
综上可知，直线 的倾斜角的范围为( 3 , 3 )；
②( )当直线 斜率存在时，
不妨设直线 和 的斜率之积 = ， ( ,0)，
由(2)①得 1 2 = 1
2
= ，
因为 1 = ( 1 2)， 2 = ( 2 2)
所以 2[ 1 2 2( 1 + 2) + 4] = [ 1 2 ( 1 + 2) + 2]，
此时( 2 ) 1 2 + ( 2 2)( 1 + 2 22) + 4 = 0，
4 2 2
即( 2 ) 33 2 + ( 2
2)( 4 2 23 2 ) + 4 = 0，
整理得(4 4 2 9) 2 + 3 ( 2 1) = 0，
上对于任意的 ∈ ( ∞, 3) ∪ ( 3, + ∞)都成立，
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4 4 2 9 = 0
所以 3 ( 2 1) = 0 ，
= 1 = 1
解得 = 9或 = 1 ，
即当 坐标为(1,0)时， = 9；
当 坐标为( 1,0)时， = 1；
( )当直线 斜率不存在时，
可得 (2,3)， (2, 3)，
当 坐标为(1,0)时， = 9；
当 坐标为( 1,0)时， = 1，
综上所述，存在点 ( ± 1,0)，使得直线 和 的斜率之积为常数．
19.(1)解：函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
′( ) = 1 12 [2 ( 2 ) + ] + ( 1 + 1) = + = ( + ) ，
①当 > 0 时，令 ′( ) > 0.得 > 1，令 ′( ) < 0.得 0 < < 1，
所以函数 ( )的减区间为(0,1)，增区间为(1, + ∞)；
②当 = 1 时， ′( ) = ( 1) ，若 > 1， 1 > 0， > 0，可得 ′( ) > 0；
若 < 1， 1 < 0， < 0，可得 ′( ) > 0；若 = 1，可得 ′( ) = 0．
故有 ′( ) ≥ 0，函数 ( )单调递增，增区间为(0, + ∞)，没有减区间；
③当 1 < < 0 时，令 ′( ) > 0，得 > 1 或 0 < < ，令 ′( ) < 0.得 < < 1，
所以函数 ( )的增区间为(0, )，(1, + ∞)，减区间为( , 1)；
④当 < 1 时，令 ′( ) > 0.得 > 或 0 < < 1，令 ′( ) < 0.得 1 < < ，
所以函数 ( )的增区间为(0,1)，( , + ∞)，减区间为(1, )；
综上，当 > 0 时，函数 ( )的减区间为(0,1)，增区间为(1, + ∞)；
当 = 1 时，函数 ( )的增区间为(0, + ∞)，没有减区间；
当 1 < < 0 时，函数 ( )的增区间为(0, )，(1, + ∞)，减区间为( , 1)；
当 < 1 时，函数 ( )的增区间为(0,1)，( , + ∞)，减区间为(1, )．
(2) 1证明：若 > 0，函数 ( )的减区间为(0,1)，增区间为(1, + ∞)， (1) = 4 < 0．
当 0 < < 1 时，由 < 0，有 ( ) = [ 1 ( 12 2 ) + ( 1)] < 0 ( ) =
1
， 4
2 > 0，
由上知，函数 ( )有唯一的零点；
(3) 1 1解：由(2)知．若 ( ) > 0，必有 < 0.又由 (1) = 4 > 0，可得 < 4．
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1
又由 > 0，不等式 ( ) > 0 可化为2 (
1
2 ) + ( 1) > 0，
设 ( ) = 1 12 ( 2 ) + ( 1)，
( ) = 1 ( + 1 ) + = 1 + + 1 = 2 + +4 有 ′ 2 2 2 4 4 ，
当 0 < < 1 且 0 < < 4 时， < 0， + 4 < 0，可得 ′( ) < 0，
当 > 1 且 > 4 时， > 0， + 4 > 0，可得 ′( ) > 0，
当 < 0 时，函数 = 12 +
1
+ 4单调递增，故存在正数 使得 2 + + 4 = 0．
若 0 < ≤ 1，有 ≤ 0，4 < 1，有 2 + + 4 < 1 < 0，与 2 + + 4 = 0 矛盾，
可得 > 1，
当 > 时， ′( ) > 0；当 < 时， ′( ) < 0，可得函数 ( )的减区间为(0, )，增区间为( , + ∞)，
若 ( ) > 0 ( ) = 1，必有 2 (
1
2 ) + ( 1) > 0，有 2 + 4 4 > 0，
又由 2 + + 4 = 0，有 2 + 4 4 + (2 + + 4 ) > 0，
有 + > 0，有( + ) > 0．
又由 > 1，有 > ，可得 > ，
3
有 2 + + 4 = 0 > 2 + 4 = 2 3 ，可得 1 < < 2，
= 1
2 3
由 4 (2 + )，及 1 < 2 + < 4 < <
1
2，可得 2 4，
3
故实数 1的取值范围为( 2, 4 )．
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