2024-2025 学年江苏省扬州一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么| + 3 | = ( )
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4
2.已知函数 ( ) = 在 = 2 处取得极值，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 12 D. 2
3.平面 经过三点 (0,0,0)， (2,2,0)， (0,0,2)，则平面 的法向量可以是( )
A. (1,0,1) B. (1,0, 1) C. (0,1,1) D. ( 1,1,0)
4.已知函数 = ( )，其导函数 = ′( )的图象如图所示，则 = ( )( )
A.在( ∞,0)上为减函数
B.在 = 0 处取极小值
C.在(1,2)上为减函数
D.在 = 2 处取极大值
5.有不同的语文书 9 本，不同的数学书 7 本，不同的英语书 5 本，从中选出不属于同一学科的书 2 本，则
不同的选法有( )种
A. 21 种 B. 315 种 C. 153 种 D. 143 种
6.下列函数中，在区间(0, + ∞)内单调递减的是( )
A. = 1 B. =
2 C. = D. =
7.如图，空间四边形 中， = ， = ， = ， 是 的中点， = 1 2 ，则 =( )
A. 2 + 1 3 6
+ 16
B. 1 + 1 + 13 6 6
C. 13 +
1 1
3 + 3
D. 23 +
1
3
+ 13
8.中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，后相继
研发出双面三异绣、双面异色绣等绣技.其中双面异色绣是在同一块底料上，在同一绣
制过程中，绣出正反两面对应部位图案相同而色彩不同的绣技.某中学为弘扬中国传统
文化开设了刺绣课，并要求为如图中三片花瓣图案做一幅双面异色绣作品，现有四种
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不同颜色绣线可选，且每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面异色绣作品的不同色彩设计方案有( )
A. 144 种 B. 264 种 C. 288 种 D. 432 种
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子正确的是( )
A. 2 57 = 7 B. 3 2 3 4 35 = 4 + 4 C. 6 = 4 6 D. 5 × 5! = 6! 5!
10.对于定义在 上的可导函数 ( )， ′( )为其导函数，下列说法不正确的是( )
A.使 ′( ) = 0 的 一定是函数的极值点
B. ( )在 上单调递增是 ′( ) > 0 在 上恒成立的充要条件
C.若函数 ( )既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D.若 ( )在 上存在极值，则它在 一定不单调
11.如图，棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 1， 1的中点，则( )
A.直线 1与底面 所成的角为 30°
B.平面 1
2
与底面 夹角的余弦值为3
C. 30直线 1与直线 的距离为 5
D. 1直线 1与平面 1 的距离为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (3,2, 1)， = (2,1,2)，当( + ) ⊥ ( 2 )时，实数 的值为______．
13 1.若函数 ( ) = 2 ，则 ′(1) = ．
14.把 5 个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙
安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 种．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
从 7 名男生和 5 名女生中选取 3 人依次进行面试．
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(1)若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？
(2)若参加面试的人中，恰好有 1 名女生，则有多少种不同的面试方法？
16.(本小题 15 分)
如图，长方体 1 1 1 1底面是边长为 2 的正方形，高为 4， 为线段 的中点， 为线段 1的中
点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 3
3 + 2 4 ．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(3, (3))处的切线方程．
(2)试问是否存在实数 ，使得 ( )在[1, ]上单调递增？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， // ， ⊥ ，且 = = 2 = 4，侧面
是正三角形，侧面 ⊥底面 ， 为 中点，作 ⊥ 交 于 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)在平面 内是否存在点 .使得 = 0，若存在，求动点 的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = +1 2 , ( ) = 1 ( ∈ )．
(1)求函数 ( )的极值；
(2) 0 < < 1当 2时，判断方程 ( ) = ( )的实根个数，并加以证明；
(3)求证：当 ≥ 1 时，对于任意实数 ∈ [ 1, + ∞)，不等式 ( ) ≥ ( )恒成立．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.3
14.36
15.解：(1)由题意从 5 名女生中选取 3 人依次进行面试，结合排列数的意义可知相当于从 5 名女生中选取 3
人依次进行排列，
此时对应有 35 = 5 × 4 × 3 = 60 种不同的面试方法．
(2)安排满足题意的面试顺序一共需要分以下两大步：
一方面：由题意先抽取符合题意的组合，这里可以分为两小步：
第一步从 5 名女生中选取 1 名女生；
第二步从 7 名男生中选取 3 1 = 2 名男生；
由分步乘法计数原理可得符合题意的组合有 15 27 = 5 × 21 = 105 种．
另一方面：注意到 3 名面试者是依次进行面试的，
即再对刚刚组合好的 3 名面试者进行一次排列，
有 33 = 3 × 2 × 1 = 6 种排列方法．
结合以上两方面且由分步乘法计数原理可知满足题意的不同的面试方法有 15 2 37 3 = 105 × 6 = 630 种．
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16.解：(1)证明：如图建立空间直角坐标系，
则 (2,1,0)， (0,2,0)， 1(2,0,4)， (2,2,0)，
又 为线段 1的中点，所以 (1,1,2)，
所以 = ( 1,0,2)，
易知平面 1 1的法向量可以为 = (0,1,0)，
所以 = 0，即 ⊥ ，
又 平面 1 1，
所以 / /平面 1 1．
(2)由(1)可得 (0,0,0)，所以 = (0,2,0)， 1 = (2,0,4)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = 2 = 0
则 1
，则 ，
⊥ 1 = 2 + 4 = 0
令 = 1，可得 = 2，则 = (2,0, 1)，
设直线 与平面 1 所成角为 ，
| = | 4 4则
|
= = ，
| | | 5× 5 5
所以直线 4与平面 1 所成角的正弦值为5．
17.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 1 33
2 4 ，则 (3) = 12，
又 ′( ) = 2 2 4，所以 ′(3) = 1，
所以曲线 = ( )在点(3, (3))处的切线方程为 + 12 = ( 3)，
即 + + 9 = 0；
(2)假设存在实数 ，使得 ( )在[1, ]上单调递增，
则对 ∈ [1, ]， ′( ) = 2 + 2 4 ≥ 0 恒成立，
即 ≥ 2 2对 ∈ [1, ]
2
恒成立，令 = 2，
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∈ [1, ] = 2 ( 2 ) = 2 1 = 3当 时， 2为减函数，则 2 1 2 2，
≥ 3所以 2，又 > 1
3
，所以 的取值范围为[ 2 , + ∞)．
18.解：(1)证明：由侧面 ⊥底面 ，侧面 ∩底面 = ， 平面 ，
又底面 是直角梯形， // ， ⊥ ，故 BC⊥ ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
由侧面 是正三角形， 为 中点，则 ⊥ ，
而 ∩ = ，且都在面 内，则 ⊥面 ， 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ，而 ⊥ ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，
(0,0,0), (0,2 3, 0), (1,0, 3), (2,0,0)，
所以 = (0,2 3, 0), = (1,0, 3)， = ( 1,2 3, 3), = ( 1,0, 3)，
令 = ( , , )是面 的一个法向量，
= 2 3 = 0
则 ⊥ ，则 ， ⊥ = + 3 = 0
令 = 3，则 = ( 3, 0, 1)，
令 = ( , , )是面 的一个法向量，
⊥ = + 2 3 3 = 0则
⊥
，则
，
= + 3 = 0
令 = 3，则 = ( 3, 1,1)，
所以平面 2 5与平面 的夹角的余弦值|cos < , > | = | | || | = ． | 2× 5 = 5
(3)由 = 0，即 ⊥ ，故 点在以 为直径的球体与平面 的交线上，
又 (4,2 3, 0), (0,2 3, 0)，其中点坐标为 (2,2 3, 0)，则 = (0,2 3, 0)，
由(1)(2)知， = ( 1,2 3, 3)是面 的一个法向量，
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= |
12 | |
所以 到面 的距离
|
| =
| 1+12+3
= 3 > 2 = 2，
所以以 为直径的球体与平面 不相交，故不存在 使 = 0．
19.解：(1) ∵ ( ) = +1 ∴ ′( ) =
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减
所以当 = 0 时，函数 ( )存在极大值 (0) = 1，无极小值；
(2)令 ( ) = ( ) ( ) = +1 + 2 1，
1
′( ) = + 2 = 2
2
∵ 0 < < 12，
∴ 12 > 1，
ln 1即 2 > 0，
令 ′( ) = 0，
1
解得 = 0 或 = ln 2
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ (0, ln 12 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当时 ∈ (ln 12 , + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增
又 (0) = 0 1， (ln 2 ) < (0) = 0，
1 1+
1 1+ 1
( ) =
+ ( 1 2 1 11 ) 1 = 1 > 0(ln 2 < )，
函数 ( )在 上连续，
所以 ( ) 1 1有一个零点 0，且在(ln 2 , )上有一个零点，
即函数 ( )有两个零点
∴ 1当 0 < < 2时，方程 ( ) = ( )的实根个数为 2 个；
(3)方法(一)由(2)知，
即证：当 ≥ 1 时，对于任意实数 ∈ [ 1, + ∞)，
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不等式 ( ) ≥ 0 恒成立．
∵ ≥ 1 ∴ ln 12 ≤ 2
1
①当 ln 2 ≤ 1，
即 ≥ 2时，
则 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
∈ (0, + ∞, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
∴ ( ) = (0) = 0．
∴当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 0 恒成立；
1 < ln 1②当 2 < 0，
即 1 ≤ < 2时，
则 ∈ ( 1, ln 12 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
∈ (ln 12 , 0) ′( ) < 0， ( )单调递减；
∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
∴ ( ) = { (0), ( 1)}
∵ (0) = 0， ( 1) = 1 ≥ 0，
∴当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 0 恒成立；
综上：当 ≥ 1 时，对于任意实数 ∈ [ 1, + ∞)， ( ) ≥ 0 恒成立，
即不等式 ( ) ≥ ( )恒成立．
方法(二)由(2)知，
即证：当 ≥ 1 时，对于任意实数 ∈ [ 1, + ∞)，
不等式 ( ) ≥ 0 恒成立．
①在 ≥ 0 时，
∵ ≥ 1
∴ 0 < 12 ≤
1
2，
又 ≥ 0， ≥ 1 得： ′( ) ≥ 0，
∴ ( )为在[0, + ∞)上是增函数，故 ( ) ≥ (0) = 0；
②在 1 ≤ ≤ 0 时，
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由于 ≥ 1，
所以 2 1 ≥ 2 1
要证明 ( ) ≥ 0 成立，
+1
即证 + 2 1 ≥ 0，
1
也即证( + 1)[ + 1] ≥ 0
由于 + 1 ≥ 0，
1
只需证 + 1 ≥ 0．
不妨令 ( ) = 1 + 1，
( ) = 1 1 = 1′ ．
由 1 ≤ ≤ 0，
得 ′( ) ≤ 0 且不恒为 0，
所以 ( )在区间[ 1,0]上单调递减，
( ) ≥ (0) = 0，
1
从而 + 1 ≥ 0 得证．
综上，当 ≥ 1 时，对于任意实数 ∈ [ 1, + ∞)， ( ) ≥ 0 恒成立，
即不等式 ( ) ≥ ( )恒成立．
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