2024-2025 学年河南省驻马店高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 2， ， 3 夹角为 ，则 4 在 上的投影向量为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 24
2.已知向量 = (2, 3), = ( 4,6)，则 3 + 4 =( )
A. (6, 3) B. ( 10, 5) C. ( 10,15) D. ( 1,5)
3.某检测箱中有 10 袋食品，其中有 2 袋符合国家卫生标准，质检员从中任取 1 袋食品进行检测，则它符合
国家卫生标准的概率为( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 18 5 10 6
4 .已知复数 满足 = 1 (其中 为虚数单位)，则 的虚部是( )
A. 1 B. 1 C. 12 2 2 D.
1
2
5.函数 ( ) = + 3 的零点位于区间( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
6.已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，且 ⊥ ( )，则 在 上的投影向量为( )
A. 14 B.
1
4 C.
1
2 D.
1
2
7.已知△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ： ： = 1：1：4，则 ： ： =( )
A. 1：1： 3 B. 2：2： 3 C. 1：1：2 D. 1：1：4
8.在△ 中， 是 的中点， = 1 2
，若 = + ，则 ， 的值分别为( )
A. 1 16 , 5 B.
1 , 5 C. 1 , 3 1 36 6 4 4 D. 4 , 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.下列选项中，值为4的有( )
1 22.5°
A. 75° 15° B. 18° 54° C. 56°+ 4° 2 56 + 4 D. 1 tan222.5
10.如图是函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象，下列说法正确的是( )
第 1页，共 6页
A.函数 ( )的周期是
B. ( 5 点 12 , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心
C.直线 = 2025 4 是函数 ( )图象的一条对称轴
D. 将函数 ( )的图象向右平移6个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
11.如图，一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈，筒车的轴心 距离水面的高度为 1.5 米.设
筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位：米)(在水面下则 为负数)，若以盛水筒 刚浮出水面时开始
计算时间，则 与时间 (单位：秒)之间的关系为 = ( + ) + ( > 0, > 0, 2 < < 2 )，则下列
说法正确的是( )
A. = 3
B. = 6
C. 40盛水筒出水后至少经过 3秒就可到达最低点
D. 40盛水筒 在转动一圈的过程中， 在水中的时间为 3秒
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ， ， 是表面积为 36 的球 的球面上的三个点，且 = = = 3，则球心 到平面 的距
离为______．
13 .若函数 ( ) = + 的图像关于直线 = 6对称，则 = ______．
14.如图所示，在△ 中，点 为 边上一点，且 = 2 ，过点 的直线
与直线 相交于 点，与直线 相交于 点( , 交两点不重合).若 =
， = ，则 + 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
∈ ( 已知 2 , )， 2 =
3
5．
(1)求 的值；
(2)若 ∈ ( 2 , )，且 =
3 10
10 ，求 + 的值．
16.(本小题 15 分)
已知锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ( 2 + 2 2) = (2 )．
第 2页，共 6页
(1)求 ；
(2)求 + 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
1
已知复数 1， 2，其中 2 = 1 + ．1
(1)若 1 = 3 + ( ∈ )，且(1 + 3 ) 1为纯虚数，求复数 1；
(2)若 1为虚数， 2为实数，且 1 ≤ 2 ≤ 1，求 1实部的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知点 ( 3, 4)、 (5, 12)
(1)求 的坐标及| |；
(2)若 = + ， = ，求 及 的坐标；
(3)求 ．
19.(本小题 17 分)
高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画
出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 1 1 1 1的高 1 是正四棱锥 1 1 1 1的高 1的 4 倍．
(Ⅰ)若 = 6， 1 = 2．
( )求该模型的体积；
( )求顶部正四棱锥的侧面积；
(Ⅱ)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 1为多少时，底部正四棱柱的侧面积 最大？并求出 的最大值．
第 3页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13. 33
14.1 + 2 23
15. 12；
7
4．
2 2 2
16. + 解：(1)由条件得 2 2 = 2 ，
由余弦定理得 2 = 2 ，
因为 + + = ，所以 2 = 2 ( + ) ，
得 2 = 2 + 2 ，即 = 2 ，
因为 ≠ 0，所以 = 12，
又 0 < < ，所以 = 3．
(2) + = + sin( 2 3 ) =
3 3
2 + 2 = 3sin( +
6 )．
因为△ 为锐角三角形，
所以 0 < 2 3 <
2，且 0 < < 2，所以6 < < 2．
第 4页，共 6页
所以 3sin( + ) ∈ ( 36 2 , 3],
即 + 3的取值范围是( 2 , 3]．
17.
18.解：(1) ∵点 ( 3, 4)、 (5, 12)
∴ = = (8, 8)，| | = 8 2；
(2) ∵ = + ， = ，
∴ = (2, 16)， = ( 8,8)；
(3) = ( 3) × 5 + ( 4) × ( 12) = 33，
∴ = 33．
19.解：(Ⅰ)( )由 1 = 2，得 1 = 4 1 = 8，又 1 1 = = 6，
1 1
因此正四棱锥 1 21 1 1的体积 1 = 3 1 1 1 = 3 × 6
2 × 2 = 24，
正四棱柱 1 21 1 1的体积 2 = = 621 × 8 = 288，
所以模型有体积 = 1 + 2 = 24 + 288 = 312；
( )取 1 1的中点 ，连接 ， 1 ，由 1 = 3，得 = 13，
1
所以正四棱锥 1 1 1 1的侧面积 = 4 △ 1 1 = 4 2 1 1 = 2 × 6 × 13 = 12 13；
第 5页，共 6页
(Ⅱ)设 1 = ，正四棱柱 1 1 1 1的侧面积为 ( )，
则 1 = 4 ， 1 21 = 36 ， 1 1 = 2 36 2，
于是 ( ) = 4 1 21 1 = 16 2 36 = 16 2 2(36 2)
= 16 2 ( 2 18)2 + 324，而 0 < < 6，
因此当 2 = 18，即 = 3 2时， ( ) = 288 2，
所以当 1 = 3 2时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是 288 2．
第 6页，共 6页
