2024-2025学年浙江省宁波市三锋教研联盟高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.给出的下列选项中，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.某学校名学生的数学成绩单位：分服从正态分布，且成绩在的学生人数约为，则估计成绩在分以上的学生人数为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.某班一天上午有节课，下午有节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各节，数学节，要求节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是( )
A. B. C. D.
7.已知的展开式中唯有第项的系数最大，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列如下表：
则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有个白球和个黑球；乙盒子中装有个白球和个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是( )
A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 点是图像的对称中心 B. 是的极小值点
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，各项系数的和是
13.，则
14.某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有人，既学舞蹈又学声乐的有人，从该兴趣小组中任选人，设为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若，则该兴趣小组的人数是 人．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求函数的最小正周期和最大值；
讨论函数在上的单调性．
16.本小题分
已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
求的值；
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中所有的有理项．
17.本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线的方程；
探究的最小值；
当时，求的最小值的极值．
18.本小题分
某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为分，每题答对得分，答错不得分某班派了甲乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于分班级将获得参加决赛的资格．
三题答完结束后，记为乙同学的累计得分，求的分布列和期望；
求班级获得决赛资格的概率．
19.本小题分
帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数在处阶帕德近似为．
求实数，，的值；
证明：当时，；
设为实数，讨论方程的解的个数．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.
故函数的周期为，
当，，即，，函数取到最大值为．
由得
当时，，
从而当，即，单调递增；
当，即时，单调递减．
综上可知，在单调递增，在单调递减．
16.展开式的通项为：，
因为展开式中的前三项系数成等差数列．所以，
整理得：，解得：或舍．
所以；
第项的二项式系数最大，
所以二项式系数最大项为；
展开式的通项为
当时，；当时，
17.当时，，，
则，，
所以切线的方程为
定义域为．
当时，，则在上单调递增，故没有最小值；
当时，在单调递减，在单调递增，
所以
综上所述：当时，没有最小值；当时，最小值为；
由可得
设，则，
令，得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
18.解：由题意可得：的可能取值为：，，，．
分
记为甲同学的累计得分
．
而
所以班级获得决赛资格的概率：．
19.，，由，可知，又，，，，由题意，，，所以，，综上，，．
由知，，令，
，所以在内为增函数，
又，时，，得证．
的定义域是，
当时，，所以在上单调递增，且，所以在上存在个零点；
当时，令，由，得，又因为，
，所以，．
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当时，因为，所以在上存在个零点，且，；
当时，因为，，而在单调递增，且，而，故，所以在上存在个零点；
当时，因为，，而在单调递增，且，而，所以，所以在上存在个零点．从而在上存在个零点．
综上所述，当时，方程有个解；当时，方程有个解．
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