2024-2025 学年贵州省贵阳一中高一（下）第三次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | ∈ }， = { 1,0,1,2.5,3}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2.5,3} B. {0,1,2.5,3} C. {1,3} D. {0,1,3}
2 .若复数 满足 = 1 ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
3.已知圆台上下底面半径分别为 1，2，母线长为 2，则该圆台的体积为( )
A. 10 B. 7 C. 14 D. 20 3 3 3 3
4.已知 = 2 20.8, = 0.82, =
1
0.80.9
，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.如图所示，在△ 中，点 是斜边 的中点，点 是线段 靠近点
的四等分点，设 = , = ，则 =( )
A. 1 + 3 5 1 4 4 B. 8 8
C. 5 + 1 D. 7 + 1 2 8 8 8
6 .已知函数 ( ) = sin( + 3 )( > 0)的图象相邻的两条对称轴间的距离为2，为得到 = ( )的图象，可
将 = 的图象上所有的点( )
A. 先向左平移3个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变
B. 1先向左平移3个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C. 先将所得点的横坐标变为原来的 2 倍，再向左平移6个单位长度，纵坐标不变
D. 1 先将所得点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移3个单位长度，纵坐标不变
7.如图，在平行四边形 中， = ， 和 相交于点 ，且 为 上一点(不包括端点).若 = +
1+ 1 ，则 的最小值为( )
A. 52 B.
5
2+ 6
C. 5 6 12 + 2 D. 2 + 6
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8.在锐角三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 = 3，且 2 = 3 ，则 + 2 + 3
的取值范围为( )
A. (4 + 3 3, 6 3) B. (5 + 3 3, 2 7 + 3 3]
C. (4 + 3 3, 2 7 + 3 3] D. (6 + 3 3, 2 7 + 3 3]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 、 是两个非零向量， 是单位向量，则下列说法正确的是( )
A.若 ⊥ ，则 = 0
B.若| + | = | |，则 ⊥
C.若 = ，则 =
D. 在 方向上的投影向量为( )
10.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 2 + 2 > 2，则△ 为锐角三角形
B.若 = ，则△ 为等腰三角形
C. > 是 > 的充要条件
D.若 = 2， = 2, = 30°，则△ 有两解
11.已知函数 ( )、 ( )定义域为 ，函数 ( + 1)是偶函数，函数 ( + 1)是奇函数，且 ( ) + ( + 1) = 1，
则( )
A. (0) = 1
B. ( 5) = 1
C. ( )关于(0,1)中心对称
D. (0) + (1) + (2) + + (2024) = 2025
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.正方体的表面积与其内切球表面积的比为______．
13.如图，为测量河对岸两点 ， 间的距离，沿河岸选取相距 100(单位： )
的 ， 两点，测得∠ = 3，∠ = 4，∠ = 3 , ∠ = 6，则 ，
两点距离为______．
14 , , | | = | | = | |.若平面向量 满足 = 1, , 1 2 3 + , = ，则| +
+ |的取值范围为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 + = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3, = 1，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知向量 , 满足 = (1,2), = ( 1,3), = + 2 ．
(1)求 与 的夹角；
(2)若 ⊥ ，求 的值；
(3)若 , 为锐角，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示：
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )在[0, ]上的单调区间；
(3)已知 ∈ (0, )， ( 2 ) =
1
2，求 ．
18.(本小题 17 分)
1
已知 ( ) = 1
2 1
，函数 = ( )为奇函数， 为常数．
(1)求 的值；
(2)用定义法证明：函数 = ( )在(1, + ∞)上单调递增；
(3)若函数 ( ) = 4 + 2 + 1，对于 1 ∈ [2,3]， 2 ∈ [ 1,2]使得不等式 ( 1) ≤ ( 2)恒成立，求实
数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在教材必修二第六章我们学面向量的加法、减法、数乘和数量积四种运算，其中数量积也称为内积，
结果为实数.其实向量还有其他运算，比如外积，混合积.两个向量 与 的外积记为 × ，其结果是一个向
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量.它的长度规定为| × | = | || |sin , ，它的方向规定为与 , 均垂直；从外积定义可以看出.当 , 不共
线时，长度表示以 , 为邻边的平行四边形的面积．
设三个向量 , , ，称( × ) 为这三个向量的混合积，( × ) 也可记为( , , )．
在空间直角坐标系中，若 = ( 1, 1, 1), = ( 2, 2, 22)，则| | = 1 + 21 + 21， = 1 2 + 1 2 +
1 2, × = ( 1 2 2 1, 2 1 1 2, 1 2 2 1)．
阅读上述材料，解答下列问题：
(1)已知 = (1,2,0), = (1,0,1), = (1,1,2)，求( , , ), | × |；
(2)若向量 = ( 11, 1), = ( 2, 2)，证明：当 ， ， 三点不共线时、 △ = 2 | 1 2 2 1|；
(3)证明：当 , , 不共面时，|( × ) |在数值上等于以 , , 为三条棱所构成的三棱锥的体积的 6 倍．
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参考答案
1.
2.
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4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6：
13.50 6
14.[0, 25 612 ]
15.解：(1) ∵ + = 2 ，
由正弦定理 + = 2 ，
即 sin( + ) = 2 ，
即 = 2 ．
∵ ∈ (0, ), ≠ 0, = 1 ∴ = 2， 3．
(2)若 = 3, = 1，
则由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
可得 3 = 1 + 2 ，即 2 2 = 0，
解得 = 2 或 = 1(舍)，
∴ = 2．
16.解：(1)根据题意，向量 , 满足 = (1,2), = ( 1,3), = + 2 ，
则 = 1 × ( 1) + 2 × 3 = 5, | | = 1 + 4 = 5, | | = 1 + 9 = 10，
故 cos , = 5 25× 10 = 2 ．
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又由< ， >∈ [0, ]，则< ， >= 4；
(2)根据题意，因为 ⊥ , = + 2 = ( 2,2 + 6)，
若 ⊥ ，则 = 2 + 2(2 + 6) = 0 = 2.，
(3)因为 = + 2 = ( 2,2 + 6)且 , 为锐角，
则 cos , > 0，即 > 0，
( 2) + 3(2 + 6) = 5 + 20 > 0，解得 > 4．
又 与 不能共线，故设 = ，
2 = = 0
解得 2 + 6 = 3 = 2， ≠ 0，
综上所述： ∈ ( 4,0) ∪ (0, + ∞)．
17. 7 解：(1)由图知： = 2, 4 = 12 3 = 4，
所以 = , = 2 = 2，
又函数图象经过点( 3 , 0)，
所以 2 × 3 + = ，
= 则 3，
故 ( ) = 2sin(2 + 3 )．
(2) ( ) [0, ], [ 7 , ] ( , 7 由图知：函数 在 12 12 上单调递增，在 12 12 )上单调递减．
(3) ∈ (0, ) ( ) = 1已知 ， 2 2，
1
则 ( 2 ) = 2sin( + 3 ) = 2 sin( +
) = 23 4 <
3
2 ，
所以2 < + 3 < ，
所以 cos( + 3 ) =
14
4 ，
所以 = cos[( + 3 ) 3 ] = cos( + 3 )cos
3 + sin( +
3 )sin
= 6 143 8 ．
18.解：(1) ∵函数 = ( )为奇函数，
∴ ( ) = ( ) 1 ， ( ) = 1 ，
2 1
∴ 1+ 1 1+ 11 2 2 2
2 1
= 1 1，化简得 1 = 1 1 = 1 ，2
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解得 =± 1，经检验当 = 1 时， = ( )无意义，故舍：
当 = 1 时满足题意，
∴ = 1；
(2)证明：∵ ( ) = 1+ 1 1，定义域为 ∈ ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)，2
∴设 1， 2 ∈ (1, + ∞)，且 1 < 2都有 (
1+ 1
1) ( 2) = 1 1
1+ 2
1
2 1 2 2 1
=
( 1+ 1 2 1 ( 1 2 1)+( 2 1)1
2 1 1 1+
) = 1[
2 2 ( 1 2 1)+( 1 2)
]，
∵ 1 < 1 < 2，
∴ ( 1 2 1)+( 2 1)( > 1，1 2 1)+( 1 2)
∴ [ (1+ 1)( 2 1)1
2 ( 1 1)(1+ )
] < 0，
2
∴ ( 1) ( 2) < 0 ( 1) < ( 2)，
∴函数 = ( )在(1, + ∞)上单调递增；
(3)由题意可知， ( 1) ≤ ( 2) ．
∵ ( ) = 1+ 1 1在(1, + ∞)上单调递增，2
则对 1 ∈ [2,3], ( ) = (3) = 12 = 1，
2
∴ ( 2) = 4 + 2 + 1 ≥ 1 对 2 ∈ [ 1,2]恒成立，
∴ ≥ (2 22 ) ，
∵ = 2 2 2 72 在 上单调递增，∴ (2 2 ) = 2．
∴故 的取值范围为{ | ≥ 72 }.
19.解：(1)由题意知： × = (2, 1, 2)，
则( , , ) = 3, | × | = 3．
(2)证明：把平面向量 = ( 1, 1), = ( 2, 2)改为空间向量 = ( 1, 1, 0)， = ( 2, 2, 0)，
则由外积定义知： × = (0,0, 1 2 2 1)，
从外积定义可以看出，
当 , 不共线时，长度表示以 , 为邻边的平行四边形的面积，
1
所以 △ = 2 | × | =
1
2 | 1 2 2 1|．
(3) 1 1证明： △ = 2 | × | = 2 | × |，
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而|( × ) | =// × // | cos × , |，
又因为 × 的方向与 , 均垂直，即与平面 垂直，
所以| | cos × , 表示点 到平面 的距离，即为三棱锥 的高，
1 1 1 1
所以 = 3 △ = 3 × 2 | ×
| × | | × cos × , = 6 |( ×
) |，
从而|( × ) | = 6 ，所以当 , , 不共面时，
|( × ) |在数值上等于以 , , 为三条棱所构成的三棱锥的体积的 6 倍．
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