2024-2025学年安徽省部分重点中学高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的小数点后第三位数字为( )
A. B. C. D.
2.从，，，这个数中，任取三个不同的数则这三个数构成等差数列的概率为．
A. B. C. D.
3.若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.设函数，若恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若，则等于( )
A. B. C. D.
6.若函数有极值点，，且则关于的方程的不同实根个数是( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设等差数列的前项和为，且，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式的二项式系数的和为，且，下列选项正确的是( )
A. B.
C. 除以所得的余数为 D.
10.商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网如图，图中线段均为可行走的通道，
甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是( )
A. 甲从必须经过到达的方法数共有种
B. 甲从到的方法数共有种
C. 甲、乙两人在处相遇的概率为
D. 甲、乙两人相遇的概率为
11.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 当时，是的极大值点
B. 存在实数，使得成立
C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是
D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将，，，，五名教师安排到甲，乙，丙三所学校，若每所学校至少安排一名教师，每名教师只去一所学校，则不同的安排方法 种
13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
14.“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”波利亚著数学的发现第一卷，即将一个量“算两次”由等式，，，利用“算两次”原理可得 结果用组合数表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式的第项与第项的二项式系数之比是．
求的值；
求展开式的常数项；
求展开式中系数绝对值最大的项．
16.本小题分
若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列满足，且．
证明：数列是“平方递推数列”；
设数列的前项乘积为，即若，数列的前项和为，求使得的的最小值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
当时， ，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性
当时，恒成立，求的取值范围
求证：当时，．
参考答案
1.
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14.
15.依题意可得第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
所以，即，则，或舍去；
展开式的通项为，
令，解得，所以，所以常数项为第项．
系数的绝对值为
，则
所以，即，所以，
因此，系数绝对值最大的项是．
16.由题知，所以数列是“平方递推数列”．
由知，又，有，
则，
因，则，则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，即，
则，
则，
因，则，
因为对任意的，，
所以数列是递增数列，
又知，当时，，
当时，，
故的最小值为．
17.的定义域为，
若，则，则在单调递减；
若，则由得
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
若，由知，至多有一个零点
若，由知，当时，取得最小值，最小值为．
当时，由于，故只有一个零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
所以，，故没有零点；
当时，由于，即，
又，
故在有一个零点
设正整数满足，则，
故在有一个零点
综上，的取值范围为．
18.解：当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值．
，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故．
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍．
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，．
19.解：已知，
则，，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
因为
所以．
设，
当时，，所以，
所以在上单调递减，
所以，不合题意，
当时，令，得，
所以当时，，即，
所以在上单调递减，所以，矛盾，
当时，，，
所以在上单调递增，所以，
综上，
由知，取，则，
令，有，
即，
所以，
即．
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