板块二十七 综合与实践
综合与实践(一)生活中的建模———一次函数
1.《九章算术》中记载，浮箭漏(图1)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校课外小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间x(h) 0 2 4 6 8
箭尺读数 y(cm) 6 18 30 42 54
(1)【探索发现】
①建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x(h)，纵轴表示箭尺读数y(cm)，描出以表格中数据为坐标的各点；
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；
(2)【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12 h时，箭尺的读数为多少厘米
②如果本次实验记录的开始时间是上午7：30，那当箭尺读数为90cm时是几点钟(箭尺最大读数为100 cm)
综合与实践(二)生活中的建模——反比例函数
2.如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔棒在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即 受桔棒的启发，小杰组装了如图所示的装置.其中，杠杆可绕支点 O 在竖直平面内转动，支点 O 距左端 1m ,距右端 在杠杆左端悬挂重力为80 N 的物体A.
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物 B 所受拉力为 N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B 的质量变化时， 的长度随之变化.设重物 B 为x N,L 的长度为y cm.
①y关于x的函数解析式是 ；
x/N 10 20 30 40 50
y/ cm …… 8 2 …
③在直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在(2)的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L.若点 A 的坐标为(2,0),在 L 上存在点 Q,使得S△OAQ=9.请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标.
综合与实践(三)生活中的建模——解直角三角形
3.(2023福建)阅读下列材料，回答问题.
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1.
工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的 P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3.小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 AB.其测量及求解过程如下：
测量过程：
(j)在小水池外选点C,如图4,测得AC=a m,BC=b m;
(ii)分别在 AC,BC 上测得 测得 MN=c m.
求解过程：
由测量知，
又∵① ,
又∵MN=c m,∴AB=② (m).
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得AB用到的几何知识是 ；
(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程.
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次.(测量的几何量能求出 AB，且测量的次数最少，才能得满分)
板块二十七 综合与实践
综合与实践(一)生活中的建模——一次函数
1.《九章算术》中记载，浮箭漏(图1)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校课外小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间x(h) 0 2 4 6 8
箭尺读数y(cm) 6 18 30 42 54
(1)【探索发现】
①建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x(h)，纵轴表示箭尺读数y(cm)，描出以表格中数据为坐标的各点；
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；
(2)【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到 12 h时，箭尺的读数为多少厘米
②如果本次实验记录的开始时间是上午7：30，那当箭尺读数为90cm时是几点钟(箭尺最大读数为100 cm)
解:(1)①描点如图;
②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线的解析式为y=kx+b，
将(0,6),(2,18)代入得 解得
这条直线所对应的函数解析式为y=6x+6；
(2)①当x=12时,y=6×12+6=78,
∴供水时间达到12 h时，箭尺的读数为78 cm；
②当y=90时,6x+6=90,解得x=14,
∴供水时间为14 h,
∵本次实验记录的开始时间是上午7：30，∴当箭尺读数为90cm时是21：30.
综合与实践(二)生活中的建模——反比例函数
2.如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔棒在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即 受桔棒的启发，小杰组装了如图所示的装置.其中，杠杆可绕支点 O 在竖直平面内转动，支点 O 距左端 1m，距右端 在杠杆左端悬挂重力为80 N 的物体A.
(1)若在杠杆右端挂重物 B，杠杆在水平位置平衡时，重物 B 所受拉力为 200 N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B 的质量变化时，L 的长度随之变化.设重物 B 为x N,L 的长度为y cm.
①y关于x的函数解析式是
x/N 10 20 30 40 50
y/ cm … 8 4 83 2 85
③在直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在(2)的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L.若点 A 的坐标为(2,0),在L 上存在点 Q,使得S△OAQ=9.请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标.
解:(3)∵点A 的坐标为(2,0),∴OA=2,
在 中,当 y=9时
∴在函数 上满足题意的Q的坐标为
∵将函数 的图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L，
∴点 即 也在L 上，即满足题意的Q 的坐标为
综上所述，点Q 的坐标为( 或
综合与实践(三)生活中的建模——解直角三角形
3.(2023福建)阅读下列材料，回答问题.
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1.
工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的 P，Q两点，可测得∠POQ 的大小，如图3.小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 AB.其测量及求解过程如下：
测量过程：
(i)在小水池外选点C,如图4,测得AC=a m,BC=b m;
(ii)分别在 AC,BC 上测得 测得MN=c m.
求解过程：
由测量知，
又∵① ∠C=∠C ,
又∵MN=c m,∴AB=② 3c (m).
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得AB用到的几何知识是相似三角形的判定与性质 ；
(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程.
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次.(测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分)
解:(1)答案为∠C=∠C;②3c;
(2)求得AB用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质；
(3)测量过程:(i)在小水池外选点C,如图,用测角仪在点B 处测得∠ABC=α,在点A 处测得∠BAC=β;(ii)用皮尺测得BC=a m.
求解过程:由测量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=am.过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在 Rt△CBD 中 即
同理,CD=asinα.在 Rt△ACD 中. 即
故小水池的最大宽度为
