2024-2025学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数在处存在导数为，则( )
A. B. C. D.
2.一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中常数项是( )
A. B. C. D.
4.稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用右表是年前个月某国稀土出口均价单位：万元吨与月份的统计数据若与的线性回归方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字，，，，，的正六面体骰子两次，设事件“第
一次出现的点数是奇数”，“第一次出现的点数是”，“两次的点数之和为奇数”，“两次的点数之和为”，则下列结论错误的是( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 从个个体中随机抽取一个容量为的样本，则每个个体被抽到的概率为
B. 两个变量相关性越强，则相关系数越接近
C. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，模型的拟合效果越好
D. 已知随机变量，且，则
10.一只口袋中装有形状、大小都相同的个小球，其中有红球个，白球个，黑球个，分别从中用两种不同方式摸出个球，方式一：依次有放回；方式二：依次无放回，则( )
A. 按方式一，摸出是同一种颜色球的概率为
B. 按方式一，设摸出黑色球的个数为，则方差
C. 按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，摸出黑白的概率为
D. 若按方式一、二等可能，抽签决定，则最终摸出黑白的概率为
11.已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则( )
A. B. 为定值
C. 为定值 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中项的系数为______．
13.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 ______．
14.已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中，已知第项与第项的二项式系数相等．
求展开式中系数最大的项；
求展开式中的有理项．
16.本小题分
甲、乙两家公司到某大学进行招聘，通过对毕业生进行笔试、面试、模拟演练这三项程序后直接签约一批毕业生已知三项程序分别由三个部门独立依次考核，且互不影响，当三项程序全部通过即可签约假设该大学名毕业生参加甲公司招聘的具体情况如下表不存在通过三项程序考核后放弃签约的现象．
性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计
男生
女生
合计
该校的小张准备参加两家公司的招聘，小张通过甲公司的每项程序的概率均为，通过乙公司的每项程序的概率依次为，，，其中．
完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断这名毕业生参加甲公司的招聘能否签约与性别是否有关；
若小张通过甲、乙两公司程序的项数分别记为，当时，求小张参加乙公司招聘并能成功签约的概率．
附：，其中．
17.本小题分
已知函数．
证明：在定义域上不存在极值；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知某商店出售商品，据统计分析，发现顾客对商品的需求量相对稳定，每周内对商品的不同需求量单位：个与概率的数据如下：
对的需求量
概率
若以商品的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品进行盘点存货：如果商品都售出了，则在周末及时采购个新的商品，只要商品还有个存货，就不采购新的商品记为该商店第周开始时商品的供给量，假设．
求的分布列；
记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为．
求商品的定常态分布；
从长远来看，求该商店改善经营后商品需求大于供给的概率．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：；
若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知二项式的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，
由题意有，所以，
所以，
所以系数最大项为，
由有，所以，，，
所以展开式中的有理项为．
所以有理项为：；；．
16.解：根据题目：小张通过甲公司的每项程序的概率均为，通过乙公司的每项程序的概率依次为，，，其中．
可得列联表如下
性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计
男生
女生
合计
所以，
所以根据小概率值的独立性检验，这名毕业生参加甲公司的招聘能否签约与性别有关；
因为小张通过甲公司各程序的结果相互不影响，
所以，则，
依题意的可能取值为，，，．
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列：
所以，
因为，所以，即，
所以小张参加乙公司招聘并能成功签约的概率．
17.解：证明：，
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以恒成立，
所以在上单调递增，故不存在极值．
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，恒成立，
当时，在上恒成立，
令，，
则，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
综上可知，实数的取值范围是．
18.解：由题意，第周开始时商品不同供给量的概率为，，
第周开始时商品供给量的概率为，
．
第周开始时商品的供给量分布列为：
记为商品第周内的需求量，由题意，与的状态有关，
当时，若，则，若，则，
设，即，
由全概率公式可得．
，
由，得，解得，故．
由可知，定常态分布，所以从长远来看，
，，
记商品需求大于供给的概率为，
由全概率公式得
．
19.解：函数定义域为，
因为，
设，则，
当时，，恒成立，且至多一点处为；
当时，，有两个零点，，
所以当时，，即；当时，，即；
当时，，即．
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
证明：由知当时，时，，
所以，令，
则
，
，
所以；
，
因为与同号，所以只有一个零点，
令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，
由知：当时，在上单调递减，不合题意；
当时，因为，且，所以，所以，
由知，时，，
所以，即，
所以，
所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，
因为，
因为，所以，
所以时，存在三个不同的零点，，，
故实数的取值范围是．
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