24-25年度高一期中考试
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若向量，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.下列选项中的三角形绕直线旋转一周，能得到如图所示几何体的是( )
A. B. C. D.
4.在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为( )
A. B. C. D.
5.设，，是的内角，是一个实数，则是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状不能确定
6.如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，若，点在边上，，则的外接圆的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法中其中为虚数单位，正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 复数为实数的充要条件是
D. 已知复数满足，则复数对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆
10.如图，在正方体中，以下四个选项正确的是( )
A. 平面 B. 与平面相交
C. 平面 D. 平面平面
11.如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则( )
A. B. 面积的最小值是
C. D. 存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ．
13.设复数，满足，，则 ．
14.剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了年北京冬奥会的节目雪花之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图所示，它的平面图可简化为图的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点含边界，六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.分设复数，．
若是实数，求；
若是纯虚数，求．
16.分已知向量，．
求
求与夹角的余弦值
若与共线，求实数的值．
17.分如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上．
求证：平面平面；
当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小．
18.分在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，
求证：；
求的值．
19.分如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
证明：，且平面；
设为的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 【解答】
解：根据正弦定理，可化为，即，则C.
由于，故，所以，
又是的内角，，所以
因为，所以
又，所以
，
在中，由正弦定理有，得
因为，则，
在中，由余弦定理得．
所以，
设外接圆的半径为，则由正弦定理得，所以
故的外接圆的面积为故选：．
9. 【解析】解：对于，两个复数不是实数时不能比较大小，故A错误；
对于，复数的虚部为，故B错误；
对于，设，则，
由，得，所以复数为实数，反之也成立，故C正确；
对于，设，，则，
故复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆，故D正确．故选：．
10. 解：对于，因为平面平面，而平面，
所以平面，所以A正确；
对于，因为，平面，所以平面，所以B错误；
对于，和不垂直，故AD和平面不垂直，所以 C错误；
对于，在正方体中，易得平面，而平面，所以平面平面，所以D正确；
故选：．
11. 解：因为，所以为的重心，可得，A正确
若题图中过点的直线垂直于两条直线，则，，
设，则，，
面积为，
当且仅当时，达到最大值，
此时面积的最小值为，
因为，所以面积的最小值是，B正确
因为，所以，，，
因为，所以，
所以
，
当且仅当时取等号，所以，正确
可得
令，，，则，单调递增，
所以存在最小值错误．
12. 解：如图所示，平面与相交于点，连接，，
于点，，，
，，
同理可得，，
又，平面、平面，
平面，又、平面，
，，
是二面角的平面角，
在四边形中，，，
故答案为：．
13. 解：方法一：设，，则由，得因为，所以，所以，所以
．
方法二：设，则，则，即，所以，所以．
方法三：题设可等价转化为向量，满足，，求因为所以，即．
14.
解：可以是与在上投影向量的数量积，
如图，
把题中图的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，
连接，，连接，交于点，易得，在上，．
过作，垂足为点，过作，垂足为点．
由题意得，，所以，，
所以，所以易证四边形为矩形，
所以易得，
所以．
所以当与重合时，．
故答案为．
15.解：由，，得，而是实数，
于是，解得，
所以；
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
16.解：由题意可得，，
所以，
所以
由得，，，，
设与所成夹角为，则
由题意可得，不共线，则由平面向量共线定理可知：若与共线，
则，
即或．
17.Ⅰ证明：四边形是正方形，，
底面，底面，
，又，，平面，
平面，
且平面，
平面平面；
Ⅱ解：设，连接，
由Ⅰ知平面于，
为与平面所的角，
，分别为、的中点，
，，
又底面，
底面，底面，，
在中，，
，即与平面所成的角的大小为．
18.解：在中，有，
，
即，
当时，等式显然不成立，所以，
；
因为，
由正弦定理得，
由得，
，
即，
所以，
，
又，则，
，，
，
即，
即，
解得，
因为，
．
19.证明：、分别为，的中点，侧面是矩形，
四边形为矩形，
，又，
底面为正三角形，为的中点
，又，，，
，又
．
连接，
三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，
，
平面，，
，
又，
四边形为平行四边形
由知直线在平面内的投影为
直线与平面所成的角即为与所成的角
为正三角形的中心，，
令，则，，
则 ，故在中，．
过作，交于，则在等腰梯形中，，，
在中，．
直线与平面所成的角的正弦值为．
