四川省成都市蓉城高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题
1．（2024高一下·成都期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B．3 C．12 D．
2．（2024高一下·成都期末）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．过平面外一点只有一条直线与这个平面平行
D．直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥
3．（2024高一下·成都期末）在中，已知，记，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
4．（2024高一下·成都期末）定义：，在中，内角所对的边分别为，则满足的一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2024高一下·成都期末）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A．36 B．46 C．56 D．66
6．（2024高一下·成都期末）在边长为1的正中，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·成都期末）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．线段与所在的直线异面
B．线段与所在的直线平行
C．线段与所在的直线所成的角为
D．线段与所在的直线相交
8．（2024高一下·成都期末）已知向量，记.如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一下·成都期末）已知的内角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则或
10．（2024高一下·成都期末）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将的图象向右移个单位长度得到的图象.已知的图象过点，则的值可以为（ ）
A． B． C．2 D．4
11．（2024高一下·成都期末）2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体，设为外壳上的一个动点，则（ ）
A．存在无数个点，使得平面
B．当平面平面时，点的轨迹长度为
C．当平面时，点的轨迹长度为
D．存在无数个点，使得平面平面
12．（2024高一下·成都期末）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为 .
13．（2024高一下·成都期末）坐落于四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆是四川省第五批省级爱国主义教育基地之一.南宋著名数学家秦九韶在湖州为母亲守孝三年时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，它是中国朴素理学思想运用于生活实际的伟大数学成果.书中提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为.若已知，且，则的周长为 .
14．（2024高一下·成都期末）在空间内，若，则直线与平面所成角的余弦值为 .
15．（2024高一下·成都期末）已知的内角所对的边分别为，向量，.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
16．（2024高一下·成都期末）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，是棱的中点，是棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
17．（2024高一下·成都期末）在中，内角所对的边分别为.已知，的面积为.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．（2024高一下·成都期末）如图，在四棱锥中，为棱的中点，底面为平行四边形，平面，直线与底面所成的角为.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2024高一下·成都期末）已知函数仅满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④.
（1）请找出函数满足的三个条件，并说明理由和求出函数的解析式；
（2）若函数在处取得最大值，求实数的值及的值域；
（3）若函数在上的最大值比最小值大1，求实数的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，则，得.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直的坐标表示，从而得出实数的值.
2．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为垂直于同一条直线的两直线平行，相交，或异面，故A错误；
对于B，因为平行于同一平面的两个平面平行，故B正确；
对于C，因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故C错误；
对于D，因为直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥，绕斜边旋转一周，
形成上下两个圆锥，两个圆锥的底面重合，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和线线，线面和面面的位置关系，从而逐项判断找出说法正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据向量减法运算法则和向量求模公式，从而得出的值.
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，所以，
由正弦定理可得，即，
又因为，，
所以，所以，即，
所以为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据所给定义得到，由正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式得到，从而判断出的形状.
5．【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由，，，，且，
则交于同一点，
该“刍童”为四棱台，矩形的面积为，
矩形的面积为，且上下底面的高为3，
所以四棱台的体积.
故答案为：C.
【分析】先由四棱台的结构特征判断出该“刍童”为四棱台，再结合矩形的面积公式和四棱台的体积公式，从而得出此“刍童”的体积.
6．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在边长为1的正三角形中，，，
所以，，
所以，
，
，
所以，
因为，
所以．
故答案为：A．
【分析】先求出，再根据数量积的运算律求出，，的值，最后由数量积求向量夹角公式可得与的夹角.
7．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由正方体展开图还原正方体如下图所示：
由图可知，线段与所在的直线相交，故A错误；
因为线段与所在的直线异面，故B错误；
如图，连接，，
由正方体的性质可知，为等边三角形，
所以为与所在的直线所成的角，故C正确；
如图，连接，
则，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以与不相交，故D错误.
故答案为：C.
【分析】先还原正方体，再根据线线的位置关系和异面直线所成的角求解方法，从而逐项判断找出正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念；同角三角函数间的基本关系；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：因为直四棱柱的底面为菱形且，
所以为等边三角形，所以，
设，
则，且，
又因为且，所以，
所以，故A正确；
对于B：因为，在中，，，
所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C：因为，，，
所以，
所以，
所以，故C错误；
对于D：因为，，，
所以，所以，
所以，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据直棱柱的性质求出相应的线段的长度，利用余弦定理和同角三角函数基本关系式求出相应的角的正弦值，再由所给定义计算可得结论错误的选项.
9．【答案】A,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，根据余弦定理得出，所以，故A正确；
对于B，若，则或，所以或，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，则，，
所以，则角是锐角，所以，
因为，
所以，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据余弦定理判断出选项A；根据已知条件和诱导公式，从而得到角的关系，则判断出选项B；根据余弦定理变形判断出选项C；根据两角和的余弦公式判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据三角函数图象的变换规律可知，，，
因为函数的图象过点，所以，
则，所以，
所以的值可以为2或4.
故答案为：CD.
【分析】先由正弦型函数的图象变换求出函数的解析式，再根据函数的图象过点和代入法，从而得出可能的取值.
11．【答案】A,C,D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；球的表面积与体积公式及应用；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：因为该球的表面积，
所以，且正方体的棱长，满足，则.
对于A，由题意可知，平面平面，且平面，
故平面，
则点的轨迹为正方形的外接圆，故有无数个点满足，故A正确；
对于B，易知平面，且平面平面，平面，
故点的轨迹为矩形的外接圆，其周长为，故B错误；
C.因为平面，设过且与平面平行的平面为，则的轨迹为与外接球的交线，其半径为，周长为，故C正确；
D.若平面平面，则点在以为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点满足，故D正确.
故选：ACD
【分析】根据面面平行的性质定理判断出选项A；根据直线平面，从而得出点的轨迹，则判断出选项B；根据面面平行的性质定理判断出点的轨迹，则可判断选项C；利用平面平面确定点的轨迹，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】.
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图所示，设，
则，
因为是夹角为60°的两个单位向量，可得，
取的中点，可得，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】设，则且，取的中点，从而得到且，再结合数量积求向量投影的公式，从而得出向量在向量上的投影向量.
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
由正弦定理可得，
令，则，，
又因为，
所以，解得（负值已舍去），
所以.
故答案为：.
【分析】由正弦定理可得，令，则，，由所给面积公式求出满足要求的的值，再结合三角形的周长公式得出的周长.
14．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，过点作平面，垂足为点，点在的平分线上，
作，连结，
因为平面，平面，
所以，且，，平面，
所以平面，平面，
所以，
设，则，，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】先构造线面角，根据直线在平面的射影为的角平分线，再结合线面垂直的定义得出线线垂直，则根据余弦函数的定义得出直线与平面所成角的余弦值.
15．【答案】（1）解：由，得，
由正弦定理得：，
，，
，则，
，
.
（2）解：因为，所以，
.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，再由正弦定理边化角可得的值，则根据三角形中角A的取值范围，从而可得角的值.
（2）利用数量积定义得出的值，根据向量共线定理得出线段比例，再结合三角形面积公式得出的面积的值.
（1）由得：，
由正弦定理得：，
，，，则，
，.
（2）因为，所以，
.
16．【答案】（1）证明：连结，交于点，连结，
因为点分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为平面，且平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，且平面，
所以.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）利用中位线定理证出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，从而证出平面.
（2）利用线面垂直证出线线垂直，再结合线线垂直证出直线平面，则根据线面垂直的定义证出.
（1）连结，交于点，连结，
点分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，且平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面，且平面，
所以.
17．【答案】（1）解：由，
根据正弦定理边化角，
得，
即，则，①
由，得，
由，所以②，
由①②得，
由余弦定理可知，，
所以.
（2）解：由（1）可知，，，
所以，则，
所以，，
所以.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据正弦定理边化角，根据三角恒等变换和三角形的面积公式得出的值，再根据余弦定理得出的值.
（2）根据三角形的三边和余弦定理求出的值，根据同角三角函数基本关系式得出的值，再根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合两角和的余弦公式得出的值.
（1）由，根据正弦定理边化角，得，
即，则，①
由，得，
由，所以②，
由①②得，
由余弦定理可知，，
所以；
（2）由（1）可知，，，
所以，则，
，，
.
18．【答案】（1）证明：底面为平行四边形，，，
根据余弦定理，
则，解得，
，，
因为，，
又因为平面，平面，，
又因为，平面，
平面.
（2）解：平面，平面，所以，
直线与底面所成的角为，即，
又因为，，
又因为点为的中点，
到平面的距离等于到平面的距离的，
三棱锥的体积为：
.
（3）解：如图，取中点，连接，
又因为为的中点，
且，
由（1）知平面，平面，
直线与平面所成角为，
又因为平面，，
又因为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意和余弦定理可得的长，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得，再利用证出平面.
（2）先根据线面角求出的长，再根据和三棱锥的体积公式可得三棱锥的体积.
（3）取中点，则易证平面，从而可得所求角为，再根据正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）底面为平行四边形，，，
根据余弦定理，
即，解得，，
，又，，
又平面，平面，，
又，平面，
平面；
（2）平面，平面，所以，
直线与底面所成的角为，即，又，，
又为的中点，到平面的距离等于到平面的距离的，
三棱锥的体积为：
；
（3）如图，取中点，连接，又为的中点，
且，
由（1）知平面，平面，
直线与平面所成角为，又平面，，
又，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．【答案】（1）解：因为，又因为，，
所以，与矛盾，
所以③不成立，则满足条件的三个条件为①②④，
由②可知，，
由①可知，，
则，，所以，
所以.
（2）解：由（1）可知，，
由题意可知，，
则，得，
所以
，
所以函数的值域是.
（3）解：因为，，则，
又因为，当时，得，，，
所以在区间上，函数的最大值为2，最小值为1，
则，
得.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先由已知条件判断③不成立，再根据函数的性质得出函数的解析式.
（2）由已知条件得出的值，再根据辅助角公式化简函数为正弦型函数，则由正弦型函数求值域的方法，从而得出函数的值域.
（3）先分析正弦函数的图象和性质，从而得出函数的最大值，再根据函数在上的最大值比最小值大1，从而求出实数的值.
（1），因为，，所以，与矛盾，
所以③不成立，则满足条件的三个条件为①②④，
由②可知，，由①可知，，
，，则，
所以；
（2）由（1）可知，，
由题意可知，，
即，得，
，
所以函数的值域是；
（3），，则，
，当时，得，，，
所以在区间上，函数的最大值为2，最小值为1，
则，得.
四川省成都市蓉城高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题
1．（2024高一下·成都期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B．3 C．12 D．
【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，则，得.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直的坐标表示，从而得出实数的值.
2．（2024高一下·成都期末）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．过平面外一点只有一条直线与这个平面平行
D．直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为垂直于同一条直线的两直线平行，相交，或异面，故A错误；
对于B，因为平行于同一平面的两个平面平行，故B正确；
对于C，因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故C错误；
对于D，因为直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥，绕斜边旋转一周，
形成上下两个圆锥，两个圆锥的底面重合，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和线线，线面和面面的位置关系，从而逐项判断找出说法正确的选项.
3．（2024高一下·成都期末）在中，已知，记，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据向量减法运算法则和向量求模公式，从而得出的值.
4．（2024高一下·成都期末）定义：，在中，内角所对的边分别为，则满足的一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，所以，
由正弦定理可得，即，
又因为，，
所以，所以，即，
所以为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据所给定义得到，由正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式得到，从而判断出的形状.
5．（2024高一下·成都期末）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A．36 B．46 C．56 D．66
【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由，，，，且，
则交于同一点，
该“刍童”为四棱台，矩形的面积为，
矩形的面积为，且上下底面的高为3，
所以四棱台的体积.
故答案为：C.
【分析】先由四棱台的结构特征判断出该“刍童”为四棱台，再结合矩形的面积公式和四棱台的体积公式，从而得出此“刍童”的体积.
6．（2024高一下·成都期末）在边长为1的正中，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在边长为1的正三角形中，，，
所以，，
所以，
，
，
所以，
因为，
所以．
故答案为：A．
【分析】先求出，再根据数量积的运算律求出，，的值，最后由数量积求向量夹角公式可得与的夹角.
7．（2024高一下·成都期末）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．线段与所在的直线异面
B．线段与所在的直线平行
C．线段与所在的直线所成的角为
D．线段与所在的直线相交
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由正方体展开图还原正方体如下图所示：
由图可知，线段与所在的直线相交，故A错误；
因为线段与所在的直线异面，故B错误；
如图，连接，，
由正方体的性质可知，为等边三角形，
所以为与所在的直线所成的角，故C正确；
如图，连接，
则，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以与不相交，故D错误.
故答案为：C.
【分析】先还原正方体，再根据线线的位置关系和异面直线所成的角求解方法，从而逐项判断找出正确的选项.
8．（2024高一下·成都期末）已知向量，记.如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念；同角三角函数间的基本关系；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：因为直四棱柱的底面为菱形且，
所以为等边三角形，所以，
设，
则，且，
又因为且，所以，
所以，故A正确；
对于B：因为，在中，，，
所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C：因为，，，
所以，
所以，
所以，故C错误；
对于D：因为，，，
所以，所以，
所以，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据直棱柱的性质求出相应的线段的长度，利用余弦定理和同角三角函数基本关系式求出相应的角的正弦值，再由所给定义计算可得结论错误的选项.
9．（2024高一下·成都期末）已知的内角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则或
【答案】A,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，根据余弦定理得出，所以，故A正确；
对于B，若，则或，所以或，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，则，，
所以，则角是锐角，所以，
因为，
所以，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据余弦定理判断出选项A；根据已知条件和诱导公式，从而得到角的关系，则判断出选项B；根据余弦定理变形判断出选项C；根据两角和的余弦公式判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高一下·成都期末）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将的图象向右移个单位长度得到的图象.已知的图象过点，则的值可以为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据三角函数图象的变换规律可知，，，
因为函数的图象过点，所以，
则，所以，
所以的值可以为2或4.
故答案为：CD.
【分析】先由正弦型函数的图象变换求出函数的解析式，再根据函数的图象过点和代入法，从而得出可能的取值.
11．（2024高一下·成都期末）2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体，设为外壳上的一个动点，则（ ）
A．存在无数个点，使得平面
B．当平面平面时，点的轨迹长度为
C．当平面时，点的轨迹长度为
D．存在无数个点，使得平面平面
【答案】A,C,D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；球的表面积与体积公式及应用；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：因为该球的表面积，
所以，且正方体的棱长，满足，则.
对于A，由题意可知，平面平面，且平面，
故平面，
则点的轨迹为正方形的外接圆，故有无数个点满足，故A正确；
对于B，易知平面，且平面平面，平面，
故点的轨迹为矩形的外接圆，其周长为，故B错误；
C.因为平面，设过且与平面平行的平面为，则的轨迹为与外接球的交线，其半径为，周长为，故C正确；
D.若平面平面，则点在以为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点满足，故D正确.
故选：ACD
【分析】根据面面平行的性质定理判断出选项A；根据直线平面，从而得出点的轨迹，则判断出选项B；根据面面平行的性质定理判断出点的轨迹，则可判断选项C；利用平面平面确定点的轨迹，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高一下·成都期末）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为 .
【答案】.
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图所示，设，
则，
因为是夹角为60°的两个单位向量，可得，
取的中点，可得，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】设，则且，取的中点，从而得到且，再结合数量积求向量投影的公式，从而得出向量在向量上的投影向量.
13．（2024高一下·成都期末）坐落于四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆是四川省第五批省级爱国主义教育基地之一.南宋著名数学家秦九韶在湖州为母亲守孝三年时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，它是中国朴素理学思想运用于生活实际的伟大数学成果.书中提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为.若已知，且，则的周长为 .
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
由正弦定理可得，
令，则，，
又因为，
所以，解得（负值已舍去），
所以.
故答案为：.
【分析】由正弦定理可得，令，则，，由所给面积公式求出满足要求的的值，再结合三角形的周长公式得出的周长.
14．（2024高一下·成都期末）在空间内，若，则直线与平面所成角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，过点作平面，垂足为点，点在的平分线上，
作，连结，
因为平面，平面，
所以，且，，平面，
所以平面，平面，
所以，
设，则，，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】先构造线面角，根据直线在平面的射影为的角平分线，再结合线面垂直的定义得出线线垂直，则根据余弦函数的定义得出直线与平面所成角的余弦值.
15．（2024高一下·成都期末）已知的内角所对的边分别为，向量，.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：由，得，
由正弦定理得：，
，，
，则，
，
.
（2）解：因为，所以，
.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，再由正弦定理边化角可得的值，则根据三角形中角A的取值范围，从而可得角的值.
（2）利用数量积定义得出的值，根据向量共线定理得出线段比例，再结合三角形面积公式得出的面积的值.
（1）由得：，
由正弦定理得：，
，，，则，
，.
（2）因为，所以，
.
16．（2024高一下·成都期末）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，是棱的中点，是棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：连结，交于点，连结，
因为点分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为平面，且平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，且平面，
所以.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）利用中位线定理证出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，从而证出平面.
（2）利用线面垂直证出线线垂直，再结合线线垂直证出直线平面，则根据线面垂直的定义证出.
（1）连结，交于点，连结，
点分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，且平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面，且平面，
所以.
17．（2024高一下·成都期末）在中，内角所对的边分别为.已知，的面积为.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由，
根据正弦定理边化角，
得，
即，则，①
由，得，
由，所以②，
由①②得，
由余弦定理可知，，
所以.
（2）解：由（1）可知，，，
所以，则，
所以，，
所以.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据正弦定理边化角，根据三角恒等变换和三角形的面积公式得出的值，再根据余弦定理得出的值.
（2）根据三角形的三边和余弦定理求出的值，根据同角三角函数基本关系式得出的值，再根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合两角和的余弦公式得出的值.
（1）由，根据正弦定理边化角，得，
即，则，①
由，得，
由，所以②，
由①②得，
由余弦定理可知，，
所以；
（2）由（1）可知，，，
所以，则，
，，
.
18．（2024高一下·成都期末）如图，在四棱锥中，为棱的中点，底面为平行四边形，平面，直线与底面所成的角为.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：底面为平行四边形，，，
根据余弦定理，
则，解得，
，，
因为，，
又因为平面，平面，，
又因为，平面，
平面.
（2）解：平面，平面，所以，
直线与底面所成的角为，即，
又因为，，
又因为点为的中点，
到平面的距离等于到平面的距离的，
三棱锥的体积为：
.
（3）解：如图，取中点，连接，
又因为为的中点，
且，
由（1）知平面，平面，
直线与平面所成角为，
又因为平面，，
又因为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意和余弦定理可得的长，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得，再利用证出平面.
（2）先根据线面角求出的长，再根据和三棱锥的体积公式可得三棱锥的体积.
（3）取中点，则易证平面，从而可得所求角为，再根据正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）底面为平行四边形，，，
根据余弦定理，
即，解得，，
，又，，
又平面，平面，，
又，平面，
平面；
（2）平面，平面，所以，
直线与底面所成的角为，即，又，，
又为的中点，到平面的距离等于到平面的距离的，
三棱锥的体积为：
；
（3）如图，取中点，连接，又为的中点，
且，
由（1）知平面，平面，
直线与平面所成角为，又平面，，
又，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．（2024高一下·成都期末）已知函数仅满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④.
（1）请找出函数满足的三个条件，并说明理由和求出函数的解析式；
（2）若函数在处取得最大值，求实数的值及的值域；
（3）若函数在上的最大值比最小值大1，求实数的值.
【答案】（1）解：因为，又因为，，
所以，与矛盾，
所以③不成立，则满足条件的三个条件为①②④，
由②可知，，
由①可知，，
则，，所以，
所以.
（2）解：由（1）可知，，
由题意可知，，
则，得，
所以
，
所以函数的值域是.
（3）解：因为，，则，
又因为，当时，得，，，
所以在区间上，函数的最大值为2，最小值为1，
则，
得.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先由已知条件判断③不成立，再根据函数的性质得出函数的解析式.
（2）由已知条件得出的值，再根据辅助角公式化简函数为正弦型函数，则由正弦型函数求值域的方法，从而得出函数的值域.
（3）先分析正弦函数的图象和性质，从而得出函数的最大值，再根据函数在上的最大值比最小值大1，从而求出实数的值.
（1），因为，，所以，与矛盾，
所以③不成立，则满足条件的三个条件为①②④，
由②可知，，由①可知，，
，，则，
所以；
（2）由（1）可知，，
由题意可知，，
即，得，
，
所以函数的值域是；
（3），，则，
，当时，得，，，
所以在区间上，函数的最大值为2，最小值为1，
则，得.
