第41课时 机械波
目标要求 1.知道机械波的形成条件及特点。2.掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图像。3.知道波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握发生干涉和明显衍射的条件。
考点一 机械波的形成 波的图像
1.机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的 。
②有传播 ，如空气、水等。
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的 和 ，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波 。
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向 。
③介质中每个质点都做 振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期 。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。
(3)分类
横波：质点的振动方向与波的传播方向 ；
纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一条直线上。
2.波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的 ，纵轴表示该时刻各质点的 。
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开 的位移。
(3)图像(如图)
3.波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是 的两个相邻质点间的距离。
(2)频率f：等于波源的 ，由波源决定。
(3)波速v：波在介质中的传播速度，由 本身的性质决定，与波长和频率 。
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v＝＝ 。
1.机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。( )
2.机械波在一个周期内传播的距离是振幅的4倍。( )
3.波速表示介质中质点振动的快慢。( )
4.波长长的波传播速度较快。( )
例1 (2024·江苏连云港市一模改编)t＝0时刻，波源O从平衡位置开始持续振动，t1＝0.2 s时第一次回到平衡位置，形成的简谐横波在介质中恰好传播到A点，如图所示。求：
(1)该波的周期T及波源O点的起振方向；
(2)波在该介质中的波速大小v；
(3)在t2＝0.9 s时，A处质点相对平衡位置的位移；
(4)x＝15 m处的质点第一次到达波谷的时刻。
例2 (来自教材)一列简谐横波在t＝0时的波形图如图所示。介质中x＝2 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin(5πt)(y的单位是cm)。
(1)由图确定这列波的波长λ与振幅；
(2)求出这列波的波速；
(3)试判定这列波的传播方向。
波的传播方向与质点振动方向的互判
“同侧” 法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
考点二 振动图像与波的图像的综合应用
振动图像和波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
研究内容 某质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向 的判断 (看下一时刻的位移) (“同侧”法、“上下坡”法、“微平移”法)
Δt后的 图形 随时间推移，图像延伸，但已有形状不变 随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系 (1)纵坐标均表示质点的位移 (2)纵坐标的最大值均表示振幅 (3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
例3 (2024·河北石家庄市期末)一列简谐横波在t＝ s时的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点，图乙是质点Q的振动图像。关于该简谐波，下列说法中正确的是( )
A.波速为9 cm/s
B.沿x轴正方向传播
C.质点Q的平衡位置坐标x＝9 cm
D.在t＝ s时质点P移动到O点
例4 (多选)(2022·山东卷·9)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
分析振动图像与波的图像的综合问题，主要有以下两个方面：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。
考点三 波传播的周期性和多解性问题
1.波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n+1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
2.造成波传播问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
例5 (多选)(2024·江西吉安市期末)如图所示，一列简谐横波在某种均匀介质中沿着x轴的正方向传播，t＝0时刻的波形图如图中的实线所示，再经过0.2 s的波形图如图中的虚线所示，下列说法中正确的是( )
A.波速的表达式为v＝(20n+5)m/s(n＝0，1，2，3，…)
B.周期的表达式为T＝ s(n＝0，1，2，3，…)
C.若波速为35 m/s，则频率为 Hz
D.若波速为35 m/s，则坐标原点处的质点的振动方程为y＝40sin (17.5πt) cm
解决波的多解问题的思路
1.机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的。机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多个值与之对应，即这三个物理量可分别表示为x＝nλ+Δx，t＝kT+Δt，v＝(其中n＝0，1，2，…且k＝0，1，2，…)。
2.在解决波的多解问题时，一般先判断波的传播方向是否确定，若不确定，可采用假设法依次分析不同传播方向中的周期性问题。
考点四 波的叠加和干涉
1.波的叠加原理：在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2.波的干涉条件： 相同、相位差恒定、振动方向相同。
例6 (多选)(2024·山东卷·9)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t＝0时刻二者在x＝2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x＝2 m处的质点P，下列说法正确的是( )
A.t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B.t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm
C.t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动
D.t＝1.0 s时，P向y轴负方向运动
思考 例6中两列波相遇区域会不会发生干涉现象？
例7 (2024·安徽省歙县期末)如图所示，在矩形ABS2S1中，AB＝4 m、AS1＝3 m，C点为AB边的中点，在S1、S2处有两个振源，振动方程分别为y1＝10sin (πt+) cm、y2＝10sin (πt－) cm，已知两振源产生的两列波在该介质中的传播速度为v＝2 m/s。则下列说法正确的是( )
A.A点振幅为20 cm
B.B点为振动减弱点
C.C点的振幅为20 cm
D.2 s的时间内，C点通过的路程为80 cm
波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
1.图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2.公式法
波的干涉现象中，某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
(1)当两波源振动步调一致时：
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n+1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)当两波源振动步调相反时：
若Δr＝(2n+1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
考点五 波的衍射 多普勒效应
1.发生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长 ，或者跟波长相差不多。
说明：(1)障碍物或孔的尺寸大小并不是决定衍射是否发生的条件，仅是衍射现象是否明显的条件，一般情况下，波长越长越容易发生明显衍射。
(2)当孔的尺寸远小于波长时，尽管衍射十分突出，但由于衍射波的能量很弱，也很难观察到波的衍射现象。
2.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率 ，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率 。
说明：在多普勒效应中，波源的频率是不改变的，只是由于波源和观察者之间的距离发生变化，观察者接收到的频率发生了变化。
例8 (2023·广东卷·4)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波，下列说法正确的是( )
A.两列声波相遇时一定会发生干涉
B.声波由水中传播到空气中，波长会改变
C.该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D.探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
答案精析
考点一
1.(1)①波源 ②介质 (2)①形式 能量 迁移 ②相同 ③受迫 相同 (3)垂直
2.(1)平衡位置 位移 (2)平衡位置
3.(1)相同 (2)振动频率 (3)介质 无关 (4)λf
判断正误
1.√ 2.× 3.× 4.×
例1 (1)0.4 s 沿y轴负方向
(2)5 m/s (3)5 cm (4)3.1 s
解析 (1)由题意知，t1＝0.2 s内波传播了半个波长的距离，则t1＝，T＝2t1＝0.4 s，波源O的起振方向与A点相同，由“上下坡”法知A点起振方向沿y轴负方向；
(2)波在该介质中的波速大小v＝ m/s＝5 m/s；
(3)经Δt＝t2－t1＝0.7 s
Δt＝1T，可知A处质点处于波峰，相对平衡位置位移为5 cm；
(4)x＝15 m处的质点第一次到达波谷时，波谷在t1＝0.2 s时的基础上向前传播，
x'＝15 m－0.5 m＝14.5 m，所用时间为t'＝ s＝2.9 s
则x＝15 m处的质点第一次到达波谷的时刻t15＝0.2 s+2.9 s＝3.1 s。
例2 (1)4 m 10 cm (2)10 m/s (3)x轴正方向
解析 (2)由振动表达式知T＝＝0.4 s，得波速v＝＝10 m/s。
(3)根据P振动表达式可知，t＝0时刻P向y轴正方向振动，根据“同侧法”可知该波沿x轴正方向传播。
例3 C [由题图甲可以看出，该波的波长为λ＝36 cm，由题图乙可以看出周期为T＝2 s，波速为v＝＝18 cm/s，A错误；当t＝ s时，Q点向上运动，结合题图甲根据“上下坡”法可得波沿x轴负方向传播，B错误；由题图甲可知，x＝0处，y＝－＝Asin(－30°)，则xP＝λ＝3 cm，由题图乙可知，t＝0时，质点Q处于平衡位置，经过Δt＝ s，其振动状态向x轴负方向传播到P点处，则x－xP＝vΔt＝18× cm＝6 cm，则x＝9 cm，C正确；波沿x轴负方向传播，而质点P只会在平衡位置附近振动，不会随波迁移，D错误。]
例4 AC [由振动图像可知，周期为T＝12 s，振幅A＝20 cm，设原点处的质点的振动方程为
y＝Asin t+φ)
将(0，10)代入，有10＝20sin φ，解得φ＝
在t＝7 s时刻
y7＝20sin ×7+ cm
＝－10 cm
由振动图像可知在t＝7 s时刻质点在y轴负半轴向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形如C所示；若波向左传播，则波形如A所示，故选A、C。]
例5 BCD [由题图可知波长λ＝4 m，波沿x轴正方向传播，Δt＝0.2 s时间内，波沿x轴正方向传播的距离为Δx＝+nλ(n＝0，1，2，3，…)，波速为v＝，则波速v＝(20n+15) m/s(n＝0，1，2，3，…)，A项错误；由v＝，可得周期的表达式为T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，B项正确；由v＝，可得当v＝35 m/s时，波动周期T＝ s，则频率为f＝ Hz，C项正确；当波速v＝35 m/s时，T＝ s，故坐标原点处的质点的振动方程为y＝Asin t，结合A＝40 cm，综合可得y＝40sin (17.5πt) cm，D项正确。]
考点四
2.频率
例6 BC [T1＝＝2 s，T2＝＝1 s
Δt1＝0.5 s＝，
甲波经0.5 s，P质点处于波谷，
乙波经0.5 s，P质点在平衡位置
根据叠加原理可知，t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm，故A错误，B正确；
Δt2＝1.0 s＝＝T2，
经1.0 s甲波在P点引起的振动向上，乙波在P点引起的振动也向上，
根据叠加原理可知，t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动，故C正确，D错误。]
思考 不会，因类两列波的频率不同。
例7 A [由题意两列波的周期都为T＝＝2 s，故两列波的波长均为λ＝vT＝4 m，结合几何知识可知A点到两波源的距离差为Δs＝AS2－AS1＝2 m＝λ，根据题意，两波源的相位差为Δφ＝－(－＝π，故A点为振动加强点，振幅为20 cm；由对称性可知B点也为振动加强点，故A正确，B错误；C点到两波源的距离差为零，故为振动减弱点，振幅为0，故2 s的时间内，C点通过的路程为0，故C、D错误。]
考点五
1.小
2.(2)增加 变小
例8 B [根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，而两列声波发生干涉的条件是频率相等，所以两列声波相遇时不一定发生干涉，故A、D错误；声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B正确；根据波长的计算公式可得λ＝ m＝1×10－3 m，当遇到尺寸约1 m的被探测物时不会发生明显衍射，故C错误。](共96张PPT)
物理
大
一
轮
复
习
第八章
机械振动与机械波
第41课时
机械波
目标
要求
1.知道机械波的形成条件及特点。
2.掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图像。
3.知道波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握发生干涉和明显衍射的条件。
课时精练
内容索引
考点一 机械波的形成 波的图像
考点二 振动图像与波的图像的综合应用
考点三 波传播的周期性和多解性问题
考点四 波的叠加和干涉
考点五 波的衍射 多普勒效应
1.机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的 。
②有传播 ，如空气、水等。
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的 和 ，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波 。
机械波的形成 波的图像
考点一
波源
介质
形式
能量
迁移
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向 。
③介质中每个质点都做 振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期 。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。
(3)分类
横波：质点的振动方向与波的传播方向 ；
纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一条直线上。
相同
受迫
相同
垂直
2.波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的 ，纵轴表示该时刻各质点的 。
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开 的位移。
(3)图像(如图)
平衡位置
位移
平衡位置
3.波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是 的两个相邻质点间的距离。
(2)频率f：等于波源的 ，由波源决定。
(3)波速v：波在介质中的传播速度，由 本身的性质决定，与波长和频率 。
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v＝＝ 。
相同
振动频率
介质
无关
λf
1.机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。
( )
2.机械波在一个周期内传播的距离是振幅的4倍。( )
3.波速表示介质中质点振动的快慢。( )
4.波长长的波传播速度较快。( )
√
×
判断正误
×
×
(2024·江苏连云港市一模改编)t＝0时刻，波源O从平衡位置开始持续振动，t1＝0.2 s时第一次回到平衡位置，形成的简谐横波在介质中恰好传播到A点，如图所示。求：
(1)该波的周期T及波源O点的起振方向；
例1
答案 0.4 s 沿y轴负方向
由题意知，t1＝0.2 s内波传播了半个波长的距离，则t1＝，T＝2t1＝0.4 s，波源O的起振方向与A点相同，由“上下坡”法知A点起振方向沿y轴负方向；
(2)波在该介质中的波速大小v；
答案 5 m/s
波在该介质中的波速大小v＝ m/s＝5 m/s；
(3)在t2＝0.9 s时，A处质点相对平衡位置的位移；
答案 5 cm
经Δt＝t2－t1＝0.7 s
Δt＝1T，可知A处质点处于波峰，相对平衡位置位移为5 cm；
(4)x＝15 m处的质点第一次到达波谷的时刻。
答案 3.1 s
x＝15 m处的质点第一次到达波谷时，波谷在t1＝0.2 s时的基础上向前传播，
x'＝15 m－0.5 m＝14.5 m，所用时间为t'＝ s＝2.9 s
则x＝15 m处的质点第一次到达波谷的时刻t15＝0.2 s＋2.9 s＝3.1 s。
(来自教材)一列简谐横波在t＝0时的波形图如图所示。介质中x＝2 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin(5πt)(y的单位是cm)。
(1)由图确定这列波的波长λ与振幅；
例2
答案 4 m 10 cm
(2)求出这列波的波速；
答案 10 m/s
由振动表达式知T＝＝0.4 s，得波速v＝＝10 m/s。
(3)试判定这列波的传播方向。
答案 x轴正方向
根据P振动表达式可知，t＝0时刻P向y轴正方向振动，根据“同侧法”可知该波沿x轴正方向传播。
波的传播方向与质点振动方向的互判
总结提升
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
总结提升
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
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振动图像与波的图像的综合应用
考点二
振动图像和波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
研究内容 某质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
比较项目 振动图像 波的图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向 的判断 (看下一时刻的位移)
(“同侧”法、“上下坡”法、“微平移”法)
比较项目 振动图像 波的图像
Δt后的 图形 随时间推移，图像延伸，但已有形状不变 随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系 (1)纵坐标均表示质点的位移 (2)纵坐标的最大值均表示振幅 (3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
(2024·河北石家庄市期末)一列简谐横波在t＝ s时的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点，图乙是质点Q的振动图像。关于该简谐波，下列说法中正确的是
A.波速为9 cm/s
B.沿x轴正方向传播
C.质点Q的平衡位置坐标x＝9 cm
D.在t＝ s时质点P移动到O点
例3
√
由题图甲可以看出，该波的波长为λ＝36 cm，由题图乙可以看出周期为T
＝2 s，波速为v＝＝18 cm/s，A错误；
当t＝ s时，Q点向上运动，结合题图甲根据“上下坡”法可得波沿x轴负方向传播，B错误；
由题图甲可知，x＝0处，y＝－＝Asin(－30°)，则xP＝λ＝3 cm，由题图乙可知，t＝0时，质点Q处于平衡位置，经过Δt＝ s，其振动状态向x轴负方向传播到P点处，则x－xP＝vΔt＝18× cm＝6 cm，则x＝9 cm，
C正确；
波沿x轴负方向传播，而质点P只会在平衡位置附近振动，不会随波迁移，D错误。
(多选)(2022·山东卷·9)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是
例4
√
√
由振动图像可知，周期为T＝12 s，振幅A＝20 cm，
设原点处的质点的振动方程为y＝Asin (t＋φ)将(0，10)代入，有10＝20sin φ，解得φ＝
在t＝7 s时刻
y7＝20sin (×7＋) cm＝－10 cm
由振动图像可知在t＝7 s时刻质点在y轴负半轴向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形如C所示；若波向左传播，则波形如A所示，故选A、C。
分析振动图像与波的图像的综合问题，主要有以下两个方面：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。
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波传播的周期性和多解性问题
考点三
1.波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
2.造成波传播问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
(多选)(2024·江西吉安市期末)如图所示，一列简谐横波在某种均匀介质中沿着x轴的正方向传播，t＝0时刻的波形图如图中的实线所示，再经过0.2 s的波形图如图中的虚线所示，下列说法中正确的是
A.波速的表达式为v＝(20n＋5)m/s(n＝0，1，2，
3，…)
B.周期的表达式为T＝ s(n＝0，1，2，
3，…)
C.若波速为35 m/s，则频率为 Hz
D.若波速为35 m/s，则坐标原点处的质点的振动方程为y＝40sin (17.5πt) cm
例5
√
√
√
由题图可知波长λ＝4 m，波沿x轴正方向传播，Δt＝
0.2 s时间内，波沿x轴正方向传播的距离为Δx＝＋nλ(n＝0，1，2，3，…)，波速为v＝，则波速v＝
(20n＋15) m/s(n＝0，1，2，3，…)，A项错误；
由v＝，可得周期的表达式为T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，B项正确；
由v＝，可得当v＝35 m/s时，波动周期T＝ s，则频率为f＝ Hz，
C项正确；
当波速v＝35 m/s时，T＝ s，故坐标原点处的质点的振动方程为y＝Asin t，
结合A＝40 cm，综合可得y＝40sin (17.5πt) cm，D项正确。
解决波的多解问题的思路
1.机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的。机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多个值与之对应，
即这三个物理量可分别表示为x＝nλ＋Δx，t＝kT＋Δt，v＝(其
中n＝0，1，2，…且k＝0，1，2，…)。
2.在解决波的多解问题时，一般先判断波的传播方向是否确定，若不确定，可采用假设法依次分析不同传播方向中的周期性问题。
总结提升
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波的叠加和干涉
考点四
1.波的叠加原理：在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2.波的干涉条件： 相同、相位差恒定、振动方向相同。
频率
(多选)(2024·山东卷·9)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t＝0时刻二者在x＝2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x＝2 m处的质点P，下列说法正确的是
A.t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B.t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm
C.t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动
D.t＝1.0 s时，P向y轴负方向运动
例6
√
√
T1＝＝2 s，T2＝＝1 s
Δt1＝0.5 s＝，
甲波经0.5 s，P质点处于波谷，
乙波经0.5 s，P质点在平衡位置
根据叠加原理可知，t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm，故A错误，B正确；
Δt2＝1.0 s＝＝T2，
经1.0 s甲波在P点引起的振动向上，乙波在P点引起的振动也向上，
根据叠加原理可知，t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动，故C正确，D错误。
思考 例6中两列波相遇区域会不会发生干涉现象？
答案 不会，因类两列波的频率不同。
(2024·安徽省歙县期末)如图所示，在矩形ABS2S1中，AB＝4 m、AS1＝3 m，C点为AB边的中点，在S1、S2处有两个振源，振动方程分别为y1＝10sin (πt＋) cm、y2＝10sin (πt－) cm，已知两振源产生的两列波在该介质中的传播速度为v＝2 m/s。则下列说法正确的是
A.A点振幅为20 cm
B.B点为振动减弱点
C.C点的振幅为20 cm
D.2 s的时间内，C点通过的路程为80 cm
例7
√
由题意两列波的周期都为T＝＝2 s，故两列波的波长均为λ＝vT＝4 m，结合几何知识可知A点到两波源的距离差
为Δs＝AS2－AS1＝2 m＝λ，根据题意，两波源的相位差为Δφ＝－(－)＝π，故A点为振动加强点，振幅为20 cm；
由对称性可知B点也为振动加强点，故A正确，B错误；
C点到两波源的距离差为零，故为振动减弱点，振幅为0，故2 s的时间内，C点通过的路程为0，故C、D错误。
1.图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中
心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
总结提升
2.公式法
波的干涉现象中，某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
(1)当两波源振动步调一致时：
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)当两波源振动步调相反时：
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
总结提升
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波的衍射 多普勒效应
考点五
1.发生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长 ，或者跟波长相差不多。
说明：(1)障碍物或孔的尺寸大小并不是决定衍射是否发生的条件，仅是衍射现象是否明显的条件，一般情况下，波长越长越容易发生明显衍射。
(2)当孔的尺寸远小于波长时，尽管衍射十分突出，但由于衍射波的能量很弱，也很难观察到波的衍射现象。
小
2.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率 ，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率 。
说明：在多普勒效应中，波源的频率是不改变的，只是由于波源和观察者之间的距离发生变化，观察者接收到的频率发生了变化。
增加
变小
(2023·广东卷·4)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波，下列说法正确的是
A.两列声波相遇时一定会发生干涉
B.声波由水中传播到空气中，波长会改变
C.该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D.探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
例8
√
根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，而两列声波发生干涉的条件是频率相等，所以两列声波相遇时不一定发生干涉，故A、D错误；
声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B正确；
根据波长的计算公式可得λ＝ m＝1×10－3 m，当遇到尺寸约1 m
的被探测物时不会发生明显衍射，故C错误。
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课时精练
A
B
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D BC D ABD D BCD
题号 9 10
答案 AD (1)2 m/s 2 s (2)55 cm
答案
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A
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 BD BC B C C BC (1)4 m (2)72 cm
题号 8 9 10
答案 A C (1)见解析图 (2)见解析
B
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答案
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1.(九省联考·安徽·3)“水袖功”是中国古典舞中用于表达情感的常用技巧，舞者通过手把有规律的抖动传导至袖子上，营造出一种“行云流水”的美感。这一过程其实就是机械波的传播。下列关于机械波中横波的说法正确的是
A.介质中质点沿波的传播方向移动
B.介质中质点的振动速度等于波速
C.横波是传递能量的一种方式
D.横波由一种介质进入另一种介质时频率发生变化
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基础落实练
答案
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答案
介质中质点不会沿波的传播方向移动，只在自己平衡位置附近振动，故A错误；
介质中质点的振动速度不等于波速，波速与介质有关，振动的速度与距平衡位置的远近有关，故B错误；
横波和纵波都能传递能量，故横波是传递能量的一种方式，故C正确；
频率由波源决定，与介质无关，故横波由一种介质进入另一种介质时频率不发生变化，故D错误。
2.(2024·江苏卷·7)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA＝2AB，t＝0时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B开始振动的时刻为
A.t1 B.
C.2t1 D.
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答案
√
机械波的波速v不变，设OA＝2AB＝2L，可得t1＝，tAB＝t1，故B开始振动的时刻为t＝t1＋tAB＝t1，故选B。
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答案
3.(2023·北京卷·4)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t＝0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为y＝Asin(t)，则t＝T时的波形图为
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答案
由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源处质点的位移和振动方向应与t＝0时相同，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图，故选D。
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答案
4.(多选)(八省联考·四川·8)甲、乙两列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，传播速度均为1 cm/s。下列说法正确的是
A.甲的周期为2 s
B.甲与乙的频率之比为3∶2
C.t＝0时刻，质点P的位移为零
D.t＝0时刻，质点Q的速度沿y轴正方向
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√
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答案
根据题图(a)，可得λ甲＝2 cm
又λ甲＝vT甲
其中v＝1 cm/s，解得T甲＝ s，故A错误；
同理，根据题图(b)，可得λ乙＝2 cm
又λ乙＝vT乙
可得T乙＝2 s
根据f＝可得，故B正确；
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答案
由题图(a)可知，t＝0时刻，质点P在平衡位置，位移为零，故C正确；
根据同侧法可知t＝0时刻，质点Q的速度沿y轴负方向，故D错误。
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答案
5.(八省联考·陕西·5)某同学在漂浮于湖中的木筏上休息，看到湖面上的水波正平稳地向着湖岸传播。该同学估测出相邻波峰与波谷之间水平距离为1.5 m，当某波峰经过木筏时开始计数，此后经20 s恰好有12个波峰通过木筏，则该水波
A.波长约为1.5 m B.周期约为3.3 s
C.频率约为1.7 Hz D.波速约为1.8 m/s
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答案
因相邻波峰与波谷之间的水平距离为1.5 m，可知波长为λ＝3 m，20 s内
有12个波峰通过木筏，可知12T＝20 s，解得T≈1.7 s，频率f＝ Hz＝0.6 Hz，波速v＝＝1.8 m/s，故选D。
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答案
6.(多选)(2023·全国乙卷·34(1)改编)一列简谐横波沿x轴传播，图(a)是t＝0时刻的波形图；P是介质中位于x＝2 m处的质点，其振动图像如图(b)所示。下列说法正确的是
A.波速为2 m/s
B.波向左传播
C.x＝3 m处的质点在t＝7 s时位于平衡位置
D.质点P在0~7 s时间内运动的路程为70 cm
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答案
由题图(a)可知波长为4 m，由题图(b)
可知波的周期为2 s，则波速为v＝ m/s＝2 m/s，故A正确；
由题图(b)可知t＝0时，P点向下运动，根据“上下坡”法结合题图(a)可知波向左传播，故B正确；
根据题图(a)可知t＝0时x＝3 m处的质点位于波谷处，由于t＝7 s＝3T＋T，
可知在t＝7 s时x＝3 m处的质点位于波峰处；质点P在0~7 s内运动的路程
为s＝3×4A＋×4A＝70 cm，故C错误，D正确。
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答案
7.(2022·北京卷·6)在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a，t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t＝T时的波形如图所示。下列说法正确的是
A.t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B.t＝T时，质点P4的速度最大
C.t＝T时，质点P3和P5相位相同
D.该列绳波的波速为
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答案
由t＝T时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据“上下坡”法，可知此时质点P6沿y轴正方向运动，故波源起振的方向也沿y轴正方向，则t＝0时，质点P0沿y轴正方向运动，故A错误；
由题图可知，在t＝T时，质点P4处于正的最大位移处，速度为零，故B错误；
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答案
由题图可知，在t＝T时，质点P3沿y轴负方向运动，质点P5沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相同，故C错误；
由题图可知＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的波速为v＝，故D正确。
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答案
8.(多选)(2025·贵州贵阳市开学考)如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播，其波速为0.4 m/s，其中P质点的平衡位置坐标x＝0.6 m。从图中状态开始计时，则下列说法正确的是
A.这列简谐横波的周期为0.4 s
B.0.5 s时刻，P质点振动的方向沿y轴正方向
C.1.0 s时刻，P质点受到的回复力为零
D.在0~1.0 s这段时间内，P质点经过的路程为4 cm
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能力综合练
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答案
由题图可知，波长λ＝0.4 m，周期T＝ s＝1.0 s，故A错误；
由t＝0.5 s＝T，可知0.5 s时刻，波形向右平移的距离为λ＝0.2 m，所以0.5 s时刻P质点正要
开始振动，振动的方向沿y轴正方向，故B正确；
1.0 s时刻，P质点恰好回到平衡位置，向y轴负方向振动，受到的回复力为零，故C正确；
在0~1.0 s这段时间内，P质点振动的时间为T，经过的路程为s＝2A＝4 cm，
故D正确。
9.(多选)(八省联考·河南·9)某简谐横波在t＝0时刻的波形图如图所示。x＝0处质点的位移为y＝－4 cm，x＝0.7 m处的质点P位于平衡位置且振动方向向下。已知该波的周期为1.2 s，则
A.该波的波长为1.2 m
B.该波的波速为2 m/s
C.该波沿x轴正方向传播
D.t＝0.1 s时刻，x＝0处的质点位于平衡位置
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答案
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答案
设该简谐横波的波动方程为y＝Asin (x+φ)
将A＝8 cm和坐标(0，－4 cm)代入，
解得φ＝－
所以该简谐横波的波动方程为y＝8sin (x－) cm
将(0.7 m，0)代入波动方程，解得该波的波长为λ＝1.2 m，故A正确；
由v＝可得该波的波速为v＝ m/s＝1 m/s，故B错误；
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答案
已知质点P位于平衡位置且振动方向向下，由“同侧法”可知，该波沿x轴负方向传播，故C错误；
由x＝v·Δt＝1×0.1 m＝0.1 m，由波动方程y＝8sin (x－) cm＝8sin (×0.1－) cm＝0，故t＝0.1 s时刻，x
＝0处的质点位于平衡位置，故D正确。
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答案
10.(2024·江西赣州市期末)一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t1＝0时刻恰好传播到x＝－2 m处，此时波形如图所示。a、b两质点的坐标分别为(3 m，0)和(7 m，0)，已知t2＝3 s时，质点a第一次出现在波峰位置。
(1)求这列波的传播速度和周期；
答案 2 m/s 2 s
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答案
根据题图可知，该波的波长为λ＝4 m
质点a与t1＝0时刻的最近波峰的水平距离为Δx＝6 m
当该波峰传到质点a时，a质点第一次出现在波峰位置，则该波的传播速
度为v＝ m/s＝2 m/s
这列波的周期为T＝ s＝2 s
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答案
(2)当质点b第二次出现在波谷位置时，求质点a通过的路程。
答案 55 cm
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答案
质点a开始振动的时刻为t3＝ s＝2.5 s
质点b开始振动的时刻为t4＝ s＝4.5 s
简谐横波沿x轴正方向传播，根据同侧法
可知质点b向上起振，从开始振动到第二次出现在波谷位置时，经历的时
间为t5＝T＝3.5 s
则当质点b第二次出现在波谷位置时，质点a振动的时间为Δt＝t4＋t5－t3
＝5.5 s＝T
质点a通过的路程为s＝×4A＝11A＝55 cm。
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1.(多选)(2023·辽宁卷·8)“球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船以设计的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波的叠加可以大幅度减小水对轮船的阻力。下列现象的物理原理与之相同的是
A.插入水中的筷子，看起来折断了
B.阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹
C.驶近站台的火车，汽笛音调变高
D.振动音叉的周围，声音忽高忽低
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基础落实练
答案
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该现象属于波的叠加原理；插入水中的筷子看起来折断了是光的折射造成的，与该问题的物理原理不相符；阳光下的肥皂膜呈现彩
色条纹，是由于光从薄膜上下表面的反射光叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符；驶近站台的火车汽笛音调变高是多普勒现象，与该问题的物理原理不相符；振动音叉的周围声音忽高忽低，是声音的叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符，故选B、D。
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2.(多选)(2025·福建龙岩市开学考)公路巡警开车在限速100 km/h的高速公路上以100 km/h的恒定速度巡查，在同一车道上巡警车向前方的一辆轿车发出已知频率的超声波，结果该超声波被那辆轿车反射回来，巡警车接收到的超声波频率比发出的低。则下列说法正确的是
A.此现象属于波的衍射
B.此现象属于多普勒效应
C.该轿车超速
D.该轿车未超速
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该超声波被那辆轿车反射回来，巡警车接收到的超声波频率比发出的低，此现象为多普勒效应，A错误，B正确；
巡警车接收到的超声波频率比发出的低，由多普勒效应知巡警车与轿车在相互远离，而巡警车车速恒定且在后面，可判断轿车的车速比巡警车的车速大，故该轿车超速，C正确，D错误。
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3.(2024·河南洛阳市期末)如图甲所示为某款采用了主动降噪技术的汽车宣传海报，汽车主动降噪技术是指通过消音扬声器发出与噪声源相位相反、幅度相同的降噪声波，与外界噪声叠加以达到汽车降噪的一种降噪技术。如图乙所示为理想情况下的降噪过程，实线表示噪声声波，虚线表示降噪声波，假设两声波均为简谐波，下列说法正确的是
A.主动降噪技术应用了波的衍射原理
B.噪声声波和降噪声波的波速大小一
定相等
C.图乙中噪声声波和降噪声波的频率可以不相等
D.图乙中噪声声波和降噪声波相遇的P点的振幅增大
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答案
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主动降噪技术应用了波的干涉原理，故A错误；
声波在同种介质中波速大小相等，故
B正确；
两声波频率相等时才能产生稳定干涉，故C错误；
降噪声波与噪声声波相位相反，频率相同，振幅相同，P点的振幅为零，故D错误。
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4.(2025·江西南昌市开学考)两个步调相同的相干波源S1、S2上下振动，波在水平面内传播，形成了如图所示的干涉图样，其中实线表示波峰，虚线表示波谷。若两列波的振幅分别为A1＝5 cm，A2＝10 cm，下列说法中正确的是
A.质点a始终保持静止不动
B.质点b的位移始终大于质点d的位移
C.质点b与质点c的振动始终加强
D.任意时刻，质点c和质点d在竖直方向上的高度差不超过15 cm
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答案
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质点a为两波源连线的中垂线上，到两波源的距离相等，且两波源振动完全相同，所以质点a为振动加强点，不会静止不动，故A错误；
质点b是波峰与波峰相遇，是振动加强点，振幅最大，
为两波振幅之和15 cm；质点d是波峰与波谷相遇，所以d为振动减弱点，振幅最小，为两波振幅之差5 cm，但质点b的位移不一定大于质点d的位移，故B错误；
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质点b是波峰与波峰相遇，质点c是波谷与波谷相遇，它们均属于振动加强点，振动始终加强，故C正确；
质点c是振动加强点，振幅最大，为两波振幅之和15 cm，质点d为振动减弱点，振幅最小，为两波振幅之差5 cm，
d在波峰，c在波谷，则此时c、d两质点的竖直高度差最大为20 cm，故D错误。
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5.(2023·海南卷·4)右面上下两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是
A.该波的周期是5 s
B.该波的波速是3 m/s
C.4 s时P质点向上振动
D.4 s时Q质点向上振动
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答案
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由两个质点的振动图像可知，该波的周期是4 s，A错误；
4 s时，P质点向上振动，Q质点向下振动，C正确，D错误；
两个质点振动步调相反，可知两质点间距离等于
(n＋)λ(n＝0，1，2，…)，只有当n＝0时，λ＝6 m，
λ＝12 m，v＝＝3 m/s，n≥1时，v≠3 m/s，B错误。
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6.(多选)(2024·湖南娄底市期末)一列简谐横波沿直线传播，A和B两点是沿传播方向上的两点，波由A传向B，A、B两点平衡位置相距s＝3 m，从0时刻起A点的振动图像如图中的甲所示，B点的振动图像如图中的乙所示，则下列说法正确的是
A.该波的波长可能为4 m
B.该波的波长可能为2.4 m
C.该机械波的最大传播速度为0.6 m/s
D.该波遇到10 m的孔，一定能发生明显的衍射
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根据题意可知，由于波由A传向B，由题图可知，A
质点的振动形式经过t＝(n＋)T(n＝0，1，2，3，…)传到B质点，则有3 m＝(n＋)λ(n＝0，1，2，3，…)
可知，当n＝0时λ0＝12 m，当n＝1时，λ1＝2.4 m
由题图可知，该波的周期为20 s，波长最大时，波速最大，则有vm＝＝0.6 m/s，故A错误，B、C正确；
由于该机械波的波长不确定，可能很短，故该波遇到10 m的孔，不一定能发生明显的衍射，故D错误。
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7.(2025·河北省部分学校质检)如图所示，在xOy平面内有两个点波源S1、S2分别位于x轴上x1＝0、x2＝10 m处，它们在同一均匀介质中均从t＝0开始沿y轴正方向做简谐运动，波源S1开始的振动方程为y1＝5sin (5πt) cm，波源S2开始的振动方程为y2＝3sin (5πt) cm，质点P位于x轴上x3＝1 m处，已知质点P在t＝0.1 s时开始振动，求：
(1)这两列波在介质中的波长；
答案 4 m
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由题意知ω＝5π rad/s，周期T＝＝0.4 s，波速v＝＝10 m/s，波长为λ＝vT＝4 m
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(2)在t＝0至t＝1.3 s内质点P通过的路程。
答案 72 cm
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P点到两波源的路程差d＝S2P－S1P＝8 m＝2λ，所以P点是振动加强点。
0~0.1 s内，P不振动；
0.1~0.9 s内，P只参与由波源S1产生的振动，
s1＝8A＝40 cm
0.9~1.3 s内，P同时参与由波源S1和S2产生的振动且振动加强，
故s2＝4(A1＋A2)＝32 cm
综上所述，在t＝0至t＝1.3 s内质点P通过的路程s＝s1＋s2＝72 cm。
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8.(2024·江西卷·6)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是
A.振动减弱；d＝4.725 mm
B.振动加强；d＝4.725 mm
C.振动减弱；d＝9.45 mm
D.振动加强；d＝9.45 mm
能力综合练
√
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根据反射信号图像可知，超声波的传播周期为T＝2×10－7 s，又波速v＝6 300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ＝vT＝1.26×10－3 m，结合题图可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt＝1.5×10－6 s，故两
个反射信号的路程差2d＝vΔt＝9.45×10－3 m＝λ，解得d＝4.725 mm，
则两个反射信号在探头处振动减弱，故A正确。
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9.(2023·湖南卷·3)如图(a)，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直AB。t＝0时，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图(b)所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是
A.这三列波的波速均为2 m/s
B.t＝2 s时，D处的质点开始振动
C.t＝4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动
D.t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
√
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由题图(b)的振动图像可知，振动的
周期为4 s，故三列波的波速为v＝
＝1 m/s，A错误；
由题图(a)可知，与D处距离最近的波
源是波源C，距离为3 m，故开始振动后波源C处的横波传播到D处所需
的时间为tC＝＝3 s，故t＝2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误；
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由几何关系可知AD＝BD＝5 m，波源A、B产生的横波传播到D处所需的
时间为tAB＝＝5 s，故t＝4.5 s时，
仅波源C处的横波传播到D处，此时
D处的质点振动时间为t1＝t－tC＝1.5 s，由振动图像可知此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确；
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t＝6 s时，波源C处的横波传播到D处后振动时间为t2＝t－tC＝3 s，由振动图像可知此时D处为波源C处传播横波的波谷；t＝6 s时，波源A、B处的
横波传播到D处后振动时间为t3＝t－tAB＝1 s，由振动图像可知此时D处为波源A、B处传播横波的波峰。根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y＝2A－A＝2 cm，故t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。
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10.(2023·全国甲卷·34(2))分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)；
答案 见解析图
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根据Δx＝vt得Δx＝4×2.5 m＝10 m
可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，
根据同侧法及两波的波长λ＝8 m可得波形图如图所示。
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(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
答案 见解析
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返回
根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，起振方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差Δx
＝(n＝0，1，2，…)，
Δx＝|(x－0)－(10 m－x)|
解得在图示范围内，振幅最大的平衡位置有x＝3 m、x＝7 m
振动减弱的条件为Δx＝nλ(n＝0，1，2，…)
解得在图示范围内，振幅最小的平衡位置有
x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
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10第41课时 机械波[A]
分值：60分
1~7题每小题5分，共35分
1.(九省联考·安徽·3)“水袖功”是中国古典舞中用于表达情感的常用技巧，舞者通过手把有规律的抖动传导至袖子上，营造出一种“行云流水”的美感。这一过程其实就是机械波的传播。下列关于机械波中横波的说法正确的是( )
A.介质中质点沿波的传播方向移动
B.介质中质点的振动速度等于波速
C.横波是传递能量的一种方式
D.横波由一种介质进入另一种介质时频率发生变化
2.(2024·江苏卷·7)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA＝2AB，t＝0时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B开始振动的时刻为( )
A.t1 B. C.2t1 D.
3.(2023·北京卷·4)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t＝0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为y＝Asin(t)，则t＝T时的波形图为( )
4.(多选)(八省联考·四川·8)甲、乙两列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，传播速度均为1 cm/s。下列说法正确的是( )
A.甲的周期为2 s
B.甲与乙的频率之比为3∶2
C.t＝0时刻，质点P的位移为零
D.t＝0时刻，质点Q的速度沿y轴正方向
5.(八省联考·陕西·5)某同学在漂浮于湖中的木筏上休息，看到湖面上的水波正平稳地向着湖岸传播。该同学估测出相邻波峰与波谷之间水平距离为1.5 m，当某波峰经过木筏时开始计数，此后经20 s恰好有12个波峰通过木筏，则该水波( )
A.波长约为1.5 m B.周期约为3.3 s
C.频率约为1.7 Hz D.波速约为1.8 m/s
6.(多选)(2023·全国乙卷·34(1)改编)一列简谐横波沿x轴传播，图(a)是t＝0时刻的波形图；P是介质中位于x＝2 m处的质点，其振动图像如图(b)所示。下列说法正确的是( )
A.波速为2 m/s
B.波向左传播
C.x＝3 m处的质点在t＝7 s时位于平衡位置
D.质点P在0~7 s时间内运动的路程为70 cm
7.(2022·北京卷·6)在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a，t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t＝T时的波形如图所示。下列说法正确的是( )
A.t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B.t＝T时，质点P4的速度最大
C.t＝T时，质点P3和P5相位相同
D.该列绳波的波速为
8、9题每小题6分，10题13分，共25分
8.(多选)(2025·贵州贵阳市开学考)如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播，其波速为0.4 m/s，其中P质点的平衡位置坐标x＝0.6 m。从图中状态开始计时，则下列说法正确的是( )
A.这列简谐横波的周期为0.4 s
B.0.5 s时刻，P质点振动的方向沿y轴正方向
C.1.0 s时刻，P质点受到的回复力为零
D.在0~1.0 s这段时间内，P质点经过的路程为4 cm
9.(多选)(八省联考·河南·9)某简谐横波在t＝0时刻的波形图如图所示。x＝0处质点的位移为y＝－4 cm，x＝0.7 m处的质点P位于平衡位置且振动方向向下。已知该波的周期为1.2 s，则( )
A.该波的波长为1.2 m
B.该波的波速为2 m/s
C.该波沿x轴正方向传播
D.t＝0.1 s时刻，x＝0处的质点位于平衡位置
10.(13分)(2024·江西赣州市期末)一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t1＝0时刻恰好传播到x＝－2 m处，此时波形如图所示。a、b两质点的坐标分别为(3 m，0)和(7 m，0)，已知t2＝3 s时，质点a第一次出现在波峰位置。
(1)(6分)求这列波的传播速度和周期；
(2)(7分)当质点b第二次出现在波谷位置时，求质点a通过的路程。
答案精析
1.C 2.B
3.D [由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源处质点的位移和振动方向应与t＝0时相同，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图，故选D。]
4.BC [根据题图(a)，可得λ甲＝2 cm
又λ甲＝vT甲
其中v＝1 cm/s，解得T甲＝ s，故A错误；
同理，根据题图(b)，可得λ乙＝2 cm
又λ乙＝vT乙
可得T乙＝2 s
根据f＝可得
，故B正确；
由题图(a)可知，t＝0时刻，质点P在平衡位置，位移为零，故C正确；
根据同侧法可知t＝0时刻，质点Q的速度沿y轴负方向，故D错误。]
5.D [因相邻波峰与波谷之间的水平距离为1.5 m，可知波长为λ＝3 m，20 s内有12个波峰通过木筏，可知12T＝20 s，解得T≈1.7 s，频率f＝ Hz＝0.6 Hz，波速v＝＝1.8 m/s，故选D。]
6.ABD [由题图(a)可知波长为4 m，由题图(b)可知波的周期为2 s，则波速为v＝ m/s＝2 m/s，故A正确；由题图(b)可知t＝0时，P点向下运动，根据“上下坡”法结合题图(a)可知波向左传播，故B正确；根据题图(a)可知t＝0时x＝3 m处的质点位于波谷处，由于t＝7 s＝3T+T，可知在t＝7 s时x＝3 m处的质点位于波峰处；质点P在0~7 s内运动的路程为s＝3×4A+×4A＝70 cm，故C错误，D正确。]
7.D [由t＝T时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据“上下坡”法，可知此时质点P6沿y轴正方向运动，故波源起振的方向也沿y轴正方向，则t＝0时，质点P0沿y轴正方向运动，故A错误；由题图可知，在t＝T时，质点P4处于正的最大位移处，速度为零，故B错误；由题图可知，在t＝T时，质点P3沿y轴负方向运动，质点P5沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相同，故C错误；由题图可知＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的波速为v＝，故D正确。]
8.BCD [由题图可知，波长λ＝0.4 m，周期T＝ s＝1.0 s，故A错误；由t＝0.5 s＝T，可知0.5 s时刻，波形向右平移的距离为λ＝0.2 m，所以0.5 s时刻P质点正要开始振动，振动的方向沿y轴正方向，故B正确；1.0 s时刻，P质点恰好回到平衡位置，向y轴负方向振动，受到的回复力为零，故C正确；在0~1.0 s这段时间内，P质点振动的时间为T，经过的路程为s＝2A＝4 cm，故D正确。]
9.AD [设该简谐横波的波动方程为
y＝Asin (x+φ)
将A＝8 cm和坐标(0，－4 cm)代入，
解得φ＝－
所以该简谐横波的波动方程为
y＝8sin (x－) cm
将(0.7 m，0)代入波动方程，解得该波的波长为λ＝1.2 m，故A正确；
由v＝可得该波的波速为v＝ m/s＝1 m/s，故B错误；
已知质点P位于平衡位置且振动方向向下，由“同侧法”可知，该波沿x轴负方向传播，故C错误；
由x＝v·Δt＝1×0.1 m＝0.1 m，由波动方程y＝8sin (x－) cm＝8sin (×0.1－) cm＝0，故t＝0.1 s时刻，x＝0处的质点位于平衡位置，故D正确。]
10.(1)2 m/s 2 s (2)55 cm
解析 (1)根据题图可知，该波的波长为λ＝4 m
质点a与t1＝0时刻的最近波峰的水平距离为Δx＝6 m
当该波峰传到质点a时，a质点第一次出现在波峰位置，则该波的传播速度为v＝ m/s＝2 m/s
这列波的周期为T＝ s＝2 s
(2)质点a开始振动的时刻为t3＝ s＝2.5 s
质点b开始振动的时刻为t4＝ s＝4.5 s
简谐横波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知质点b向上起振，从开始振动到第二次出现在波谷位置时，经历的时间为t5＝T＝3.5 s
则当质点b第二次出现在波谷位置时，质点a振动的时间为Δt＝t4+t5－t3＝5.5 s＝T
质点a通过的路程为s＝×4A＝11A＝55 cm。第41课时 机械波[B]
分值：60分
1~6题每小题4分，7题10分，共34分
1.(多选)(2023·辽宁卷·8)“球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船以设计的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波的叠加可以大幅度减小水对轮船的阻力。下列现象的物理原理与之相同的是( )
A.插入水中的筷子，看起来折断了
B.阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹
C.驶近站台的火车，汽笛音调变高
D.振动音叉的周围，声音忽高忽低
2.(多选)(2025·福建龙岩市开学考)公路巡警开车在限速100 km/h的高速公路上以100 km/h的恒定速度巡查，在同一车道上巡警车向前方的一辆轿车发出已知频率的超声波，结果该超声波被那辆轿车反射回来，巡警车接收到的超声波频率比发出的低。则下列说法正确的是( )
A.此现象属于波的衍射
B.此现象属于多普勒效应
C.该轿车超速
D.该轿车未超速
3.(2024·河南洛阳市期末)如图甲所示为某款采用了主动降噪技术的汽车宣传海报，汽车主动降噪技术是指通过消音扬声器发出与噪声源相位相反、幅度相同的降噪声波，与外界噪声叠加以达到汽车降噪的一种降噪技术。如图乙所示为理想情况下的降噪过程，实线表示噪声声波，虚线表示降噪声波，假设两声波均为简谐波，下列说法正确的是( )
A.主动降噪技术应用了波的衍射原理
B.噪声声波和降噪声波的波速大小一定相等
C.图乙中噪声声波和降噪声波的频率可以不相等
D.图乙中噪声声波和降噪声波相遇的P点的振幅增大
4.(2025·江西南昌市开学考)两个步调相同的相干波源S1、S2上下振动，波在水平面内传播，形成了如图所示的干涉图样，其中实线表示波峰，虚线表示波谷。若两列波的振幅分别为A1＝5 cm，A2＝10 cm，下列说法中正确的是( )
A.质点a始终保持静止不动
B.质点b的位移始终大于质点d的位移
C.质点b与质点c的振动始终加强
D.任意时刻，质点c和质点d在竖直方向上的高度差不超过15 cm
5.(2023·海南卷·4)下面上下两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是( )
A.该波的周期是5 s
B.该波的波速是3 m/s
C.4 s时P质点向上振动
D.4 s时Q质点向上振动
6.(多选)(2024·湖南娄底市期末)一列简谐横波沿直线传播，A和B两点是沿传播方向上的两点，波由A传向B，A、B两点平衡位置相距s＝3 m，从0时刻起A点的振动图像如图中的甲所示，B点的振动图像如图中的乙所示，则下列说法正确的是( )
A.该波的波长可能为4 m
B.该波的波长可能为2.4 m
C.该机械波的最大传播速度为0.6 m/s
D.该波遇到10 m的孔，一定能发生明显的衍射
7.(10分)(2025·河北省部分学校质检)如图所示，在xOy平面内有两个点波源S1、S2分别位于x轴上x1＝0、x2＝10 m处，它们在同一均匀介质中均从t＝0开始沿y轴正方向做简谐运动，波源S1开始的振动方程为y1＝5sin (5πt) cm，波源S2开始的振动方程为y2＝3sin (5πt) cm，质点P位于x轴上x3＝1 m处，已知质点P在t＝0.1 s时开始振动，求：
(1)(3分)这两列波在介质中的波长；
(2)(7分)在t＝0至t＝1.3 s内质点P通过的路程。
8、9题每小题6分，10题14分，共26分
8.(2024·江西卷·6)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是( )
A.振动减弱；d＝4.725 mm
B.振动加强；d＝4.725 mm
C.振动减弱；d＝9.45 mm
D.振动加强；d＝9.45 mm
9.(2023·湖南卷·3)如图(a)，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直AB。t＝0时，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图(b)所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是( )
A.这三列波的波速均为2 m/s
B.t＝2 s时，D处的质点开始振动
C.t＝4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动
D.t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
10.(14分)(2023·全国甲卷·34(2))分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)(6分)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)；
(2)(8分)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
答案精析
1.BD 2.BC
3.B [主动降噪技术应用了波的干涉原理，故A错误；
声波在同种介质中波速大小相等，故B正确；
两声波频率相等时才能产生稳定干涉，故C错误；
降噪声波与噪声声波相位相反，频率相同，振幅相同，P点的振幅为零，故D错误。]
4.C [质点a为两波源连线的中垂线上，到两波源的距离相等，且两波源振动完全相同，所以质点a为振动加强点，不会静止不动，故A错误；质点b是波峰与波峰相遇，是振动加强点，振幅最大，为两波振幅之和15 cm；质点d是波峰与波谷相遇，所以d为振动减弱点，振幅最小，为两波振幅之差5 cm，但质点b的位移不一定大于质点d的位移，故B错误；质点b是波峰与波峰相遇，质点c是波谷与波谷相遇，它们均属于振动加强点，振动始终加强，故C正确；质点c是振动加强点，振幅最大，为两波振幅之和15 cm，质点d为振动减弱点，振幅最小，为两波振幅之差5 cm，d在波峰，c在波谷，则此时c、d两质点的竖直高度差最大为20 cm，故D错误。]
5.C [由两个质点的振动图像可知，该波的周期是4 s，A错误；4 s时，P质点向上振动，Q质点向下振动，C正确，D错误；两个质点振动步调相反，可知两质点间距离等于(n+λ(n＝0，1，2，…)，只有当n＝0时，λ＝6 m，λ＝12 m，v＝＝3 m/s，n≥1时，v≠3 m/s，B错误。]
6.BC [根据题意可知，由于波由A传向B，由题图可知，A质点的振动形式经过t＝(n+T(n＝0，1，2，3，…)传到B质点，则有3 m＝(n+λ(n＝0，1，2，3，…)
可知，当n＝0时λ0＝12 m，当n＝1时，λ1＝2.4 m
由题图可知，该波的周期为20 s，波长最大时，波速最大，则有vm＝＝0.6 m/s，故A错误，B、C正确；由于该机械波的波长不确定，可能很短，故该波遇到10 m的孔，不一定能发生明显的衍射，故D错误。]
7.(1)4 m (2)72 cm
解析 (1)由题意知ω＝5π rad/s，周期T＝＝0.4 s，波速v＝＝10 m/s，波长为λ＝vT＝4 m
(2)P点到两波源的路程差d＝S2P－S1P＝8 m＝2λ，所以P点是振动加强点。
0~0.1 s内，P不振动；
0.1~0.9 s内，P只参与由波源S1产生的振动，
s1＝8A＝40 cm
0.9~1.3 s内，P同时参与由波源S1和S2产生的振动且振动加强，
故s2＝4(A1+A2)＝32 cm
综上所述，在t＝0至t＝1.3 s内质点P通过的路程s＝s1+s2＝72 cm。
8.A [根据反射信号图像可知，超声波的传播周期为T＝2×10－7 s，又波速v＝6 300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ＝vT＝1.26×10－3 m，结合题图可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt＝1.5×10－6 s，故两个反射信号的路程差2d＝vΔt＝9.45×10－3 m＝λ，解得d＝4.725 mm，则两个反射信号在探头处振动减弱，故A正确。]
9.C [由题图(b)的振动图像可知，振动的周期为4 s，故三列波的波速为v＝＝1 m/s，A错误；由题图(a)可知，与D处距离最近的波源是波源C，距离为3 m，故开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时间为tC＝＝3 s，故t＝2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误；由几何关系可知AD＝BD＝5 m，波源A、B产生的横波传播到D处所需的时间为tAB＝＝5 s，故t＝4.5 s时，仅波源C处的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为t1＝t－tC＝1.5 s，由振动图像可知此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确；t＝6 s时，波源C处的横波传播到D处后振动时间为t2＝t－tC＝3 s，由振动图像可知此时D处为波源C处传播横波的波谷；t＝6 s时，波源A、B处的横波传播到D处后振动时间为t3＝t－tAB＝1 s，由振动图像可知此时D处为波源A、B处传播横波的波峰。根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y＝2A－A＝2 cm，故t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。]
10.(1)见解析图 (2)见解析
解析 (1)根据Δx＝vt得Δx＝4×2.5 m＝10 m
可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，
根据同侧法及两波的波长λ＝8 m可得波形图如图所示。
(2)根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，起振方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差Δx＝n＝0，1，2，…)，
Δx＝|(x－0)－(10 m－x)|
解得在图示范围内，振幅最大的平衡位置有
x＝3 m、x＝7 m
振动减弱的条件为Δx＝nλ(n＝0，1，2，…)
解得在图示范围内，振幅最小的平衡位置有
x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
