2024-2025学年江苏省扬州大学附属中学东部分校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
2.曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.如图，三棱锥中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑中，平面，且，点，分别为线段与线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. ，或 D. ，或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. B.
C. D.
10.如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则( )
A.
B.
C. 侧棱与底面所成角的余弦值为
D. 直线与所成角的正弦值为
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在处取得最小值
B.
C. 有两个不同的零点
D. 对任，函数有三个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调增区间为______．
13.已知，，，夹角为，则 ______．
14.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的解析式及单调区间；
求函数在区间的最大值与最小值．
16.本小题分
在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，．
用，，表示，，；
求的长；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的极值；
若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面．
Ⅰ若是的中点，证明：；
Ⅱ求二面角的正弦值．
Ⅲ在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处曲线的切线方程；
求函数的单调区间；
设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
因为函数在处取得极值，
所以，解得，
故，定义域为，
，令，得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
由知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故的最大值为，最小值为．
16.解：如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，；
所以，
，
；
，，，
故，
所以，即的长为；
因为，，
同理可求得，，
又因为．
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
17.解：当时，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
若存在，使不等式成立，
则，即，
问题转化为，
令，，
，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为
18.Ⅰ证明：平面平面 ，平面 平面 ，四边形 是矩形．
平面，平面，
若是 的中点，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，，
则，，，
，
，，
，
，．
Ⅱ解：由Ⅰ可知：，
设平面的法向量为，
由，取，
平面的一个法向量为，
取，设平面的法向量为，
则，取，则，
，，
所以二面角的正弦值为．
Ⅲ解：假设存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，
直线与平面的法向量所成角的余弦值为，
设，则，
，
，解得，舍去，
在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
该点的坐标为．
19.解：当时，，则，
所以，切线的斜率，
故切线方程为，即．
由，得．
当时，因为，所以，，
所以的单调递增区间为；
当时，由，得．
在区间上，；在区间上，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
根据条件可知．
因为，，
所以，
由知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，所以，解得，
所以的取值范围为．
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