幂函数、指数函数、对数函数
一．选择题（共8小题）
1．（2024 天津）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
2．（2024 新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
3．（2024 济宁三模）已知a＝40.3，b，c＝30.75，这三个数的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
4．（2024 金凤区校级期末）计算（log54） （log1625）＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（2024 四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
6．（2024 北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
7．（2024 海淀区校级三模）在同一个坐标系中画出函数y＝ax，y＝sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024 湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A．lnx2﹣lnx1
B．lnx2﹣lnx1
C．x2x1
D．x2x1
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 山东模拟）已知a，b均为正实数，若logab+logba，ab＝ba，则（ ）
A． B． C． D．2
（多选）10．（2024 惠州期末）下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A．f（x）＝x B．f（x）＝x2 C． D．
（多选）11．（2024 岳麓区校级模拟）已知正数x，y，z满足3x＝4y＝12z，则（ ）
A． B．6z＜3x＜4y C．xy＜4z2 D．x+y＞4z
（多选）12．（2024 武进区校级期中）已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．x3＜y3
C．ln（y﹣x+1）＞0 D．2x﹣y
三．填空题（共4小题）
13．（2024 辛集市校级期中）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 ．
14．（2024 安徽）lg2lg2﹣（）﹣1＝ ．
15．（2024 芗城区校级一模）若函数（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
16．（2024 张家港市校级模拟）若函数f（x）是奇函数，则m＝ ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 射洪县校级模拟）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
18．（2024 忻府区校级期末）已知函数f（x）（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．
19．（2024 上海）已知函数f（x）＝a 2x+b 3x，其中常数a，b满足a b≠0
（1）若a b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．
20．（2024 上海模拟）（文） 已知函数f（x）
（1）当a＝b＝1时，求满足f（x）≥3x的x的 取值范围；
（2）若y＝f（x）是定义域为R的奇函数，求y＝f（x）的解析式；
（3）若y＝f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．
幂函数、指数函数、对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 天津）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求出．
【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，
则b＞a＞1，
log0.70.8＜log0.70.7＝1，
∴c＜a＜b，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
2．（2024 新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵a＝log32，
b＝log53，
c，
∴a＜c＜b．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2024 济宁三模）已知a＝40.3，b，c＝30.75，这三个数的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【考点】指数函数的图象．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】根据幂的运算法则与指数函数的图象与性质，对a、b、c的大小进行比较即可．
【解答】解：a＝40.3＝20.6，b20.75，
且20.6＜20.75，
∴a＜b；
又c＝30.75，
且20.75＜30.75，
∴b＜c；
∴a、b、c的大小关系为：a＜b＜c．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的运算法则与指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
4．（2024 金凤区校级期末）计算（log54） （log1625）＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】换底公式的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【答案】B
【分析】可通过换底公式全部换成10为底的对数，即可对此对数式进行化简，得到计算结果．
【解答】解：（log54） （log1625）
1．
故选：B．
【点评】本题考查对数的运算性质，解答本题，熟练掌握对数的运算性质及对数的换底公式是关键，本题中选择底数很重要，一般换底时都选择常用对数．
5．（2024 四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
【考点】指数函数的实际应用．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．
【解答】解：y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．
当x＝0时，eb＝192，
当x＝22时e22k+b＝48，
∴e22k
e11k
eb＝192
当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3 （eb）＝（）3×192＝24
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．
6．（2024 北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【答案】A
【分析】把已知数据代入m2﹣m1lg，化简后利用对数的运算性质求解．
【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，
由题意可得：，
∴，则．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
7．（2024 海淀区校级三模）在同一个坐标系中画出函数y＝ax，y＝sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】指数函数的图象；正弦函数的图象．
【专题】压轴题；数形结合．
【答案】D
【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定．
【解答】解：正弦函数的周期公式T，∴y＝sinax的最小正周期T；
对于A：T＞2π，故a＜1，因为y＝ax的图象是减函数，故错；
对于B：T＜2π，故a＞1，而函数y＝ax是增函数，故错；
对于C：T＝2π，故a＝1，∴y＝ax＝1，故错；
对于D：T＞2π，故a＜1，∴y＝ax是减函数，故对；
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题．
8．（2024 湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A．lnx2﹣lnx1
B．lnx2﹣lnx1
C．x2x1
D．x2x1
【考点】对数的运算性质．
【专题】导数的综合应用．
【答案】C
【分析】分别设出两个辅助函数f（x）＝ex+lnx，g（x），由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案．
【解答】解：令f（x）＝ex﹣lnx，
则f′（x），
当x趋近于0时，xex﹣1＜0，当x＝1时，xex﹣1＞0，
因此在（0，1）上必然存在f′（x）＝0，
因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；
令g（x），
，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上为减函数，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴，
即．
∴选项C正确而D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 山东模拟）已知a，b均为正实数，若logab+logba，ab＝ba，则（ ）
A． B． C． D．2
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】AD
【分析】设t＝logab，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由ab＝ba可求出a，b的值．
【解答】解：令t＝logab，
则t，
∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，
∴t或t＝2，
∴logab或logab＝2
∴a＝b2，或a2＝b
∵ab＝ba，代入得
∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2
∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4
∴．或
故选：AD．
【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．
（多选）10．（2024 惠州期末）下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A．f（x）＝x B．f（x）＝x2 C． D．
【考点】幂函数的概念．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】BD
【分析】由题意知，当x＞0时，f（x）的图象是凹形曲线；
由此分析选项中的函数曲线是否满足题意即可．
【解答】解：由题意知，当x＞0时，f（x）的图象是凹形曲线；
对于A，函数f（x）＝x的图象是一条直线，则当x2＞x1＞0时，有，不满足题意；
对于B，函数f（x）＝x2的图象是凹形曲线，则当x2＞x1＞0时，有，满足题意；
对于C，函数的图象是凸形曲线，则当x2＞x1＞0时，有，不满足题意；
对于D，在第一象限内，函数的图象是一条凹形曲线，则当x2＞x1＞0时，有，满足题意．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分析问题与转化问题的能力，是中档题．
（多选）11．（2024 岳麓区校级模拟）已知正数x，y，z满足3x＝4y＝12z，则（ ）
A． B．6z＜3x＜4y C．xy＜4z2 D．x+y＞4z
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】化指数式为对数式，求得x，y，z，再由对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由于正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，设3x＝4y＝12z＝t，t＞1，
则x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，
对于A，∵logt3，同理logt4，logt12，
∴logt3+logt4＝logt12，故A正确，
对于B，∵1，∴6z＜3x，∵1，∴3x＜4y，则6z＜3x＜4y，故B正确，
对于C，∵xy﹣4z2＝log3t log4t﹣4 0，∴xy＞4z2，故C错误，
对于D，∵x+y﹣4z＝log3t+log4t﹣4log12tlgt（）＝lgt 0，∴x+y＞4z，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）12．（2024 武进区校级期中）已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．x3＜y3
C．ln（y﹣x+1）＞0 D．2x﹣y
【考点】对数函数的单调性与最值；对数的运算性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析．
【答案】BC
【分析】由题意利用对数函数的单调性和运算性质，不等式的基本性质，得出结论．
【解答】解：∵正实数x，y满足，∴log2x﹣2﹣x＜log2y﹣2﹣y．
令f（x）＝log2x﹣2﹣x，则 f（y）＝log2y﹣2﹣y，则 f（x）＜f（y）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，故由f（x）＜f（y）可得 0＜x＜y，∴，故A错误；
∴x3＜y3，故B正确；
∴y﹣x+1＞1，∴ln（y﹣x+1）＞ln1＝0，故C正确；
根据 2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，
故选：BC．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性和运算性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 辛集市校级期中）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 ﹣3＜m＜5 ．
【考点】指数函数综合题．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式Δ＜0，解不等式即可得到结论．
【解答】解：不等式等价为，
即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，
∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，
即Δ＝（m+1）2﹣4（m+4）＜0，
即m2﹣2m﹣15＜0，
解得﹣3＜m＜5，
故答案为：﹣3＜m＜5．
【点评】本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．
14．（2024 安徽）lg2lg2﹣（）﹣1＝ ﹣1 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．
【解答】解：lg2lg2﹣（）﹣1
＝lg5﹣lg2+2lg2﹣2
＝lg5+lg2﹣2
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．
15．（2024 芗城区校级一模）若函数（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是 （0，1）∪（1，4] ．
【考点】对数函数的值域．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则其真数可取实数中每一个正数，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．
【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数可取每一个正数，
即不恒成立，即存在x∈R使得4，又a＞0且a≠1
故可求的最小值，令其小于等于4
∵
∴4，解得a≤4，
故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]
故应填（0，1）∪（1，4]
【点评】考查存在性问题的转化，请读者与恒成立问题作比较，找出二者逻辑关系上的不同．
16．（2024 张家港市校级模拟）若函数f（x）是奇函数，则m＝ 2 ．
【考点】有理数指数幂及根式；函数的奇偶性．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用奇函数的性质即可得出．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）0，
化为（m﹣2）（2x﹣1）＝0，
∵上式恒成立，∴m﹣2＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 射洪县校级模拟）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）＝f（﹣x），取x＝﹣1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）＝g（x）有且只有一个实根，化简可得有且只有一个实根，令t＝2x＞0，则转化成方程有且只有一个正根，讨论a＝1，以及Δ＝0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝f（﹣x）得到：f（﹣1）＝f（1） log4（4﹣1+1）﹣k＝log4（4+1）+k，
∴．
（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程有且只有一个实根
化简得：方程有且只有一个实根
令t＝2x＞0，则方程有一个正根
①，不合题意；
②或﹣3
若，不合题意；若
③若一个正根和一个负根，则，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a＝﹣3}
【点评】本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．
18．（2024 忻府区校级期末）已知函数f（x）（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据幂函数的性质，求出m，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴﹣2m2+m+3为偶数，
又f（3）＜f（5），∴，即有：1，
∴﹣2m2+m+3＞0，∴﹣1＜m，又m∈Z，∴m＝0或m＝1．
当m＝0时，﹣2m2+m+3＝3为奇数（舍去），
当m＝1时，﹣2m2+m+3＝2为偶数，符合题意．
∴m＝1，f（x）＝x2
（2）由（1）知：g（x）＝loga[f（x）﹣ax]＝loga （x2﹣ax） （a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数．
令u（x）＝x2﹣ax，y＝logau；
①当a＞1时，y＝logau是关于u的增函数，只需u（x）＝x2﹣ax在区间[2，3]上为增函数．
即： 1＜a＜2
②当0＜a＜1时，y＝logau是关于u的减函数，只需u（x）＝x2﹣ax在区间[2，3]上为减函数．
即： a∈ ，
综上可知：a的取值范围为：（1，2）．
【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及与对数函数有关的复合函数，综合性较强，运算量较大．
19．（2024 上海）已知函数f（x）＝a 2x+b 3x，其中常数a，b满足a b≠0
（1）若a b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把a b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．
（2）把a b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a 2x＞﹣2b 3x，再根据a的正负性得或；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．
【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y＝a 2x与y＝b 3x均为增函数，所以f（x）＝a 2x+b 3x在R上为增函数；
②若a＜0，b＜0，则y＝a 2x与y＝b 3x均为减函数，所以f（x）＝a 2x+b 3x在R上为减函数．
（2）①若a＞0，b＜0，
由f（x+1）＞f（x）得a 2x+1+b 3x+1＞a 2x+b 3x，
化简得a 2x＞﹣2b 3x，即，
解得x；
②若a＜0，b＞0，
由f（x+1）＞f（x）可得，
解得x．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．
20．（2024 上海模拟）（文） 已知函数f（x）
（1）当a＝b＝1时，求满足f（x）≥3x的x的 取值范围；
（2）若y＝f（x）是定义域为R的奇函数，求y＝f（x）的解析式；
（3）若y＝f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．
【考点】指数函数综合题；函数的奇偶性．
【专题】计算题；证明题；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，3x；从而解不等式；
（2）由题意知f（0）0，再由f（1）+f（﹣1）＝0解出a．b；从而验证即可；
（3）由单调性的定义去证明．
【解答】解：（1）由题意知，3x；
化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，
解得，﹣1≤3x；
故x≤﹣1；
（2）由题意，f（0）0，
故a＝1；
再由f（1）+f（﹣1）＝0得，b＝3；
经验证f（x）是奇函数，
（3）证明：∵y＝f（x）的定义域为R，∴b≥0；
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）＝（3a+b），
∵x1＜x2，∴0；
故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，
当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，
当3a+b＝0时，f（x）在R上不具有单调性．
【点评】本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．
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