2024~2025学年度第二学期期中联考高一数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题(共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知i是虚数单位，若复数 为纯虚数，则复数z的虚部为( )
2.已知水平放置的△ABC按斜二测画法，得到如图所示的直观图，
其中 ,那么△ABC的周长为( )
3.在△ABC中, , 则∠C=( )
A. B.
4.已知向量，满足 且 则 ( )
C. D. 1
5. 已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为A、B、C, 若, 则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6. 设α、β、γ为三个平面, m、n为两条直线, 且α∩β=m.下述四个命题:
①若m∥n, 则n∥α或n∥β ②若m⊥n, 则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β, 则m∥n ④α⊥γ且β⊥γ, 则m⊥γ
其中所有真命题的编号是( )
A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④
7.已知向量 若 则 在n上的投影向量的坐标为 ( )
8.已知边长为2的正方形ABCD，将△DAC沿对角线AC折起，使以A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大，若E为BC的中点，则异面直线 DE与AB 所成角的正切值为 ( )
A. B. C. D. 2
9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素。如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形。若AB=18，BC=8，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为( )
A. 312 B. 304 C. 192 D. 184
二、填空题(共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上)
10. 已知i是虚数单位，化简 的结果为 .
11.已知圆锥的母线长为3，侧面积为6π，则该圆锥的体积为 .
12. 已知 与方的夹角为45°，若向量 (3+λ)与 的夹角是钝角，则实数λ的取值范围 .
13. 在△ABC中, M、N分别为BC、AC的中点, AM与BN相交于点 P.若
则cos∠APN= .
14.已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为 和2 ，
其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
15. 在△ABC 中, ∠BAC=60°, BC=1, 点D为 AB 的中点, 点 E 为CD上一点,
且满足 则 的最大值为 .
三.解答题：本大题6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分14分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a,b,c,
(Ⅰ) 求角B的值;
(Ⅱ) 若△ABC 的面积 且 求b.
求 的值.
17.(本小题满分15分)
如图，四棱柱 中， 底面ABCD是平行四边形，
侧棱 M，N分别是 和BC的中点.
(I) 求证: MN∥平面DCC D ;
(II) 求证: 平面
(III) 求直线A N与平面. 所成角的正切值.
18. (本小题满分15分)
在 中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c向量
且满足
(Ⅰ) 求角A的值;
(2)角A的平分线交BC边与点D，求 的最小值。
19. (本小题满分15分)
已知在四棱锥. 中，底面ABCD是矩形， , E、F分别是AB、PD的中点,且
(Ⅰ) 求证:
(Ⅱ)求点A到平面PED的距离.
(Ⅲ)求平面PCE 与平面PAD 所成锐二面角的正弦值.
20.(本小题满分16分)
在锐角 中， 点O为 的外心.
(I) 若 求 的值；
(Ⅱ) 若 求 的值；
(Ⅲ)若 求 的最大值.
