2024-2025 学年新疆吐鲁番市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某小组有 8 名男生、4 名女生，现要从中选取一名同学当组长，则不同的选法有( )
A. 32 种 B. 8 种 C. 12 种 D. 4 种
2.已知在等比数列{ }中， 1 = 3，公比 = 3，则数列{ }的通项公式是( )
A. +1 1 = 3 B. = 3 C. = 3 D. = 3
3.在等比数列{ }中，且 3 9 = 4 4，则 8 =( )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
4.(2 + 1 )6 的展开式中常数项是( )
A. 60 B. 160 C. 120 D. 240
5.曲线 ( ) = 在点 = 1 处的切线方程为( )
A. = + 1 B. = 1 C. = 2 + 2 D. = 2 2
6 1.已知数列{ }的前 项和为 ，若 = ( +1)，则 2025 =( )
A. 2024 B. 2025 1 12025 2026 C. 2025 D. 2024
7.已知等比数列{ }的前 项和为 ， 5 = 10， 10 = 50，则 15等于( )
A. 150 B. 170 C. 190 D. 210
8.如图是函数 ( )的导函数 ′( )的图象，对于下列四个判断，其中正确的是( )
A.当 = 3 时， ( )取得最小值 B. ( )在[ 2,1]上单调递增
C.当 = 2 时， ( )取得极大值 D. ( )在[ 1,2]上不具备单调性
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在 4 与 9 中间插入一个数 ，使这 3 个数成等比数列，则 =( )
A. 6 B. 6.5 C. 6 D. 6.5
10.下列求函数的导数正确的是( )
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A. ( 3 ) =
3
′ 2 B. (
2 + )′ = 2 + 12
C. ( 2 3)′ = 2 3 D. ( ) = + ′ 2
11.已知数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1， +1 = 22 1( ∈ )，则下列说法正确的是( )
A.数列{ }的奇数项成等比数列 B.数列{ }的偶数项成等差数列
C. +16 = 63 D. = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.用 0，1，…，5 六个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为______．
13.已知直线 1 = 0 与抛物线 = 2相切，则 = ______．
14.若一个数列的第 项等于这个数列的前 项的乘积，则称该数列为“ 积数列”.若每项都是正数的等比
数列{ }是一个“1010 积数列”，且 1 > 1，则当其前 项的积最大时， = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
现有本班 5 名男生和 4 名女生，求：
(1)若从这 5 名男生中选出 2 名，分别担任体育委员和劳动委员；再从 4 名女生中选出 3 名，分别担任班长、
学习委员、和纪律委员，一共有多少种选法？
(2)若从 5 名男生和 4 名女生中各选出 2 人参加中华优秀传统文化知识竞赛，有多少种选法？
(3)若从 5 名男生和 4 名女生中各选出 2 人，男生一组，女生一组，去敬老院参加敬老活动，其中一组负责
拖地，另一组负责叠床铺，有多少种选法？
16.(本小题 15 分)
已知在等比数列{ }中， 3 = 8， 6 = 64．
(1)求数列{ }的通项公式与前 项和 ；
(2)设 = + 2 ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 9 + 1．
(1)求函数 ( )的单调区间．
(2)求函数 ( )的极值．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ 2 }的前 项和为 ，数列{ }是公比为 3 的等比数列，且 = ( ∈ )， 1 = 1．
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(1)求数列{ }，{ }的通项公式；
(2)令 = ( + 1) ，求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + 2 ， ∈ [0,2]．
(1)当 = 1 时，求 ( )的值域；
(2)若对任意 ∈ [0,2]，不等式 ( ) ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.100
13.14
14.505
15.解：(1)若从这 5 名男生中选出 2 名，分别担任体育委员和劳动委员；再从 4 名女生中选出 3 名，分别
担任班长、学习委员、和纪律委员，
则一共有 25 34 = 480 种选法．
(2)若从 5 名男生和 4 名女生中各选出 2 人参加中华优秀传统文化知识竞赛，有 2 25 4 = 60 种选法．
(3)若从 5 名男生和 4 名女生中各选出 2 人，男生一组，女生一组，去敬老院参加敬老活动，其中一组负责
拖地，另一组负责叠床铺，有 2 25 4 22 = 120 种选法．
16.解：(1)因为在等比数列{ }中， 3 = 8， 6 = 64，
所以 3 = 6 = 8，所以 = 2，所以 1 =
3 = 2，
3 2
所以 = 2 ，
= 2(1 2
)
所以 +1 1 2 = 2 2；
(2)由(1)可知 = 2 + 2 ，
= 2(1 2
) + (2+2 ) 所以 = 2 +1 2 1 2 2 2 + + ．
17.解：(1)定义域为 ，
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令 ′( ) = 3 2 6 9 = 3( + 1)( 3) = 0，得 = 1 或 3，
′( ) < 0 1 < < 3， ′( ) > 0 < 1 或 > 3，
所以 ( )的递减区间为( 1,3)，递增区间为( ∞, 1)，(3, + ∞)；
(2)结合(1)知，当 变化时， ′( )， ( )变化如下：
( ∞, 1) 1 ( 1,3) 3 (3, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 递增 ( 1) = 4 递减 (3) = 26 递增
所以 ( )的极小值为 26，极大值为 4．
18.解：(1)数列{ }的前 项和为 ，且 2 = ( ∈ )，
可得 1 = 1 = 1，
当 ≥ 2 时， = 2 2 1 = ( 1) = 2 1(对 = 1 也成立)，
即有 = 2 1， ∈ ；
数列{ }是公比为 3 的等比数列， 1 = 1 = 1，
可得 1 = 3 ；
(2) = ( + 1) = 2 3 1，
则数列{ }的前 项和 = 2 30 + 4 31 + 6 32 + . . . + 2 3 1 ，
3 = 2 31 + 4 32 + 6 33 + . . . + 2 3 ，
1
相减可得 2 = 2 + 2(31 + 32 + . . . + 3 1) 2 3 = 2 + 2
3(1 3 )
1 3 2 3
= (1 2 ) 3 1，
= 1+(2 1) 3
化为 2 ．
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 3 + 2 + ， ∈ [0,2]，
则 ′( ) = 3 2 + 2 + 1 = (3 + 1)( 1)，
故 0 ≤ ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增，当 1 < ≤ 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
故 = 1 时，函数取得最大值 (1) = 1，
又 (0) = 0， (2) = 2，
故函数的值域为[ 2,1]；
(2)若对任意 ∈ [0,2]，不等式 ( ) = 3 + 2 + 2 ≥ 恒成立，
则 (0) = 0 ≥ ，即 ≤ 0，
当 = 0 时， ( ) = 3 ∈ [ 8,0]，显然不符合题意；
当 < 0 时，令 ( ) = 3 + 2 + 2 ， ∈ [0,2]，
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则 ′( ) = 3 2 + 2 + 2 = (3 + )( )，
由 ′( ) < 0 可得， < 或 > 3，
故 ( ) (0, 在 3 )上单调递增，在( 3 , + ∞)上单调递减，
若 3 ≥ 2，即 ≤ 6 时， ( )在[0,2]上单调递增， ( ) = (0) = ≥ 0，满足题意；
当 3 < 2，即 6 < < 0 时， ( )在[0,
3 ]上单调递增，( 3 , 2)上单调递减，
若 ( ) ≥ 0 恒成立，则 (0) = ≥ 0 且 (2) = 2 2 + 3 8 ≥ 0，
6 < ≤ 3 73解得， 4 ，
3 73故 的范围为{ | ≤ 4 }.
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