2024～2025学年度第二学期期中重点校联考高一数学
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）
1．为虚数单位，若，则
A．1 B． C．2 D．
2．在中，是角的对边，，则角的值为
A． B．
C．或 D．或
3．设，向量，，，且，，则
A．0 B．1 C．2 D．3
4．一个四边形用斜二测画法得到的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该四边形原来的面积为
A． B．
C． D．
5．若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍
A．9 B．27 C．81 D．729
6．已知甲船位于灯塔的北偏东方向，且与相距3海里，乙船位于灯塔的北偏西方向，若两船相距海里，则乙船与灯塔之间的距离为
A． B．2 C． D．5
7．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是
A． B． C． D．
8．四边形是边长为1的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
9．在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为
①若，则是等腰三角形；
②若，则是等腰三角形；
③若，则一定是锐角三角形；
④在中，，，若有一个解，则的取值范围是或．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）
10．是虚数单位，复数的虚部为_____________．
11．已知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为_____________．
12．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____________．
13．如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且．延长，，，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和（），则的值为_____________．
14．在中，，且的最小值为3，则_____________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于，的面积为面积的一半，则的取值范围是_____________．
三、解答题（本题共5小题，共59分）
15．（本小题满分10分）
已知复数．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若对应复平面上的点在第二象限，求的取值范围．
16．（本小题满分12分）
已知的内角、、所对的边分别为、、，，，且满足，
（1）求角的值；
（2）求的值．
17．（本小题满分12分）
如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设．
（1）用表示及；
（2）若，且，
①求的长；
②求在方向上的投影向量（结果用表示）．
18．（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱的体积为，点、分别为棱与的中点．
（1）若边长为2，求三棱柱的高；
（2）求三棱锥的体积；
（3）若球与三棱柱的各棱均相切，求球的表面积．
19．（本小题满分13分）
已知的内角、、所对的边分别为、、，其中．
（1）若．
①求角；
②若为锐角三角形，求周长的取值范围；
（2）若，求内切圆面积的最大值．
高一数学参考答案
一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D A A B B C B A
二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）
10．
11．3
12．
13．
14．，
三、解答题（本题共5小题，共59分）
15．（本小题满分10分）
（1）若z是纯虚数，则
解得． ………………………5分
（2）
解得． ………………………10分
16．（本小题满分12分）
（1）因为，
由正弦定理可得， ………………………2分
整理得，
由余弦定理可得，
且，所以． …………………5分
（2）由正弦定理知，∴，∴ …………6分
又，∴，∴， ……………………7分
……………………9分
∴． ……………………10分
∴
……………………12分
17．（本小题满分12分）
（1）因为，
所以，； ………………………2分
……4分
（2）①因为，所以， …………6分
所以，由，可得，即BC=3 ………………8分
②方向上的投影向量为
………………10分
…………………12分
18．（本小题满分12分）
（1）设的高为
…………………2分
…………………4分
（2）
…………………6分
…………………8分
（3）
设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上
球切棱于，切棱于
由题意，①
因为，，又，所以，
所以，解得② …………………10分
联立①②可得，所以球的半径为，
所以球的表面积为 …………12分
19．（本小题满分13分）
（1）①
………………2分
………………3分
②周长
………………4分
………………6分
因为为锐角三角形，所以，所以…………7分
所以，所以，
所以周长范围是 ………………8分
（2）因为，则，
由正弦定理得，
即，
即，
化简得， ……………………9分
因为、、，所以，，则，
所以，． ……………………10分
设内切圆半径为，
则
又，
当且仅当时，即当时等号成立， ……………11分
所以， ……………………12分
的内切圆面积，
即的内切圆面积的最大值是 ……………………13分
