2024-2025学年第二学期七年级数学5月月考模拟卷（02）
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版2024七年级下册第7章-第11章。
5．难度系数：0.85。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一题：松林四顷，杉林三顷，共产实木五十四方；又松林两顷，杉林五顷，共产实木四十一方，问松林和杉林每顷产量几何？设每公顷松林产方木材，每公顷杉林产方木材，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．将不等式组的解集表示在数轴上，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．代数式可以化为，则的值是（ ）
A． B．3或 C．28 D．98
7．关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得C，D两点落在的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．请写出一个解集为的不等式： ．
10．计算： ．
11．若，则 ．
12．如图，在4的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点
13．如图，南湖公园有一块长为、宽为的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，小路（非阴影部分）宽为，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，求所走的路线（图中虚线）长 ．
14．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ．
15．若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个．
16．如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）解方程组：
(1)；
(2)．
19．（6分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题：
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值．
22．（6分）对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来．
23．（6分）请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，D为的边上一点，点关于对称，于E，请作出的一条垂线；
(2)如图②，在中，为边上一点，点关于对称．请作出的一条垂线．
24．（8分）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校小时体育活动时间，某班计划采购、两种类型的羽毛球拍．已知购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元；购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元．
(1)求、两种类型羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购、两种类型的羽毛球拍共副，且购买的总费用不高于元，至少购买型羽毛球拍多少副？
25．（8分）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？
【初步思考】
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
因为，
所以．
所以当时，的值最大，最大值是0.
所以当时，的值最大，最大值是4.
所以的最大值是4
【尝试应用】
(1)求代数式的最大值，并写出相应的的值．
(2)已知，，请比较与的大小，并说明理由．
【拓展提高】
(3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．
26．（10分）已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
答案与解析
第Ⅰ卷
选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项符合题意；
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A.，故不正确；
B.，故不正确；
C.，正确；
D.与不是同类项，不能合并，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
3．若，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确，符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选A．
4．清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一题：松林四顷，杉林三顷，共产实木五十四方；又松林两顷，杉林五顷，共产实木四十一方，问松林和杉林每顷产量几何？设每公顷松林产方木材，每公顷杉林产方木材，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意得：．
故选：
5．将不等式组的解集表示在数轴上，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，
解①得，
解②得，
∴，
如图，
故选B．
6．代数式可以化为，则的值是（ ）
A． B．3或 C．28 D．98
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴．
故选C．
7．关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为方程组有唯一解，
所以，得．
故选：D．
8．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得C，D两点落在的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴设，则
∴
∵
∴
由折叠的性质，得
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴．
故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．请写出一个解集为的不等式： ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：
故答案为： （答案不唯一）．
10．计算： ．
【答案】1
【详解】解：，
故答案为：1．
11．若，则 ．
【答案】2025
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：2025．
12．如图，在4的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点
【答案】
【详解】解：如图，
由图可知：旋转中心是点；
故答案为：．
13．如图，南湖公园有一块长为、宽为的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，小路（非阴影部分）宽为，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，求所走的路线（图中虚线）长 ．
【答案】
【详解】解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为：（米）．
故答案为：106．
14．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ．
【答案】1
【详解】解：由题意得，解得：，
将代入得，
解得：，
故答案为：1．
15．若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个．
【答案】
【详解】，
因为，
可得：，
因为、、为整数，
所以满足条件的的值为，，
即满足条件的的值为，，，共个，
故答案为：
16．如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ．
【答案】
【详解】解：如图，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小．
根据对称可得，，，，，
则，，
，
故答案为：．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算
(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
；…………………………………………3分
（2）解：
．…………………………………………6分
18．（6分）解方程组
(1)
(2)
【详解】（1）解：，
将①代入②可得：，解得：，
将代入①可得：．
所以该方程组的解为：．…………………………………………3分
（2）解：，
①+②得：，解得：，
将代入②得：，解得：．
所以该不等式组的解集为：．…………………………………………6分
19．（6分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为：，…………………………………………3分
在数轴上表示为：
…………………………………………6分
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
【详解】解：
，…………………………………………3分
当时，原式．…………………………………………6分
21．（6分）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题：
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴，
解得：；…………………………………………3分
（2）解：∵，
∴，
∴
∴，
∴，
解得：．…………………………………………6分
22．（6分）对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来．
【详解】解：方程组为．
由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解，
则有，解之，得．…………………………………………3分
又因方程组的解是，
所以，，
解得，．
故所求方程组为．…………………………………………6分
23．（6分）请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，D为的边上一点，点关于对称，于E，请作出的一条垂线；
(2)如图②，在中，为边上一点，点关于对称．请作出的一条垂线．
【详解】（1）解：如图①，直线即为所求．
…………………………………………3分
（2）解：如图②，直线即为所求．
…………………………………………6分
24．（8分）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校小时体育活动时间，某班计划采购、两种类型的羽毛球拍．已知购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元；购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元．
(1)求、两种类型羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购、两种类型的羽毛球拍共副，且购买的总费用不高于元，至少购买型羽毛球拍多少副？
【详解】（1）解：设、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元，由题意得：
，
解得：，
答：、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元．
…………………………………………4分
（2）解：设购买型羽毛球拍副，则型羽毛球拍副，由题意得：，
解得：
为整数，
取．
答：至少购买型羽毛球拍副．…………………………………………8分
25．（8分）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？
【初步思考】
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
因为，
所以．
所以当时，的值最大，最大值是0.
所以当时，的值最大，最大值是4.
所以的最大值是4
【尝试应用】
(1)求代数式的最大值，并写出相应的的值．
(2)已知，，请比较与的大小，并说明理由．
【拓展提高】
(3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．
【详解】（1）解：
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
解得：，
的最大值为14，此时的值为2．…………………………………………2分
（2）解：，理由如下：
，，
，
当时，有最小值2，
…………………………………………5分
（3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，
根据题意得：
，
，
时，有最小值，
解得：，则，
这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为．
…………………………………………8分
26．（10分）已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴；…………………………………………3分
（2）解：，理由如下：
过点M作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；…………………………………………6分
（3）解：，理由如下：
根据折叠可知：，，，，，，，
设，，
则，
又∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，，
设，
，
∴，
在四边形中，，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴．
…………………………………………10分
