期末 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在，，，，，中，分式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．下面命题：①分母等于0的分式有意义；②全等三角形对应角相等；③若，则；④若,则.其中真命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．下列长度的四组小木棒能构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4．如图，有一把直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点，，若在中， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5．下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为，该光源波长用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
8．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 3 D.
9．北起张家界，南至怀化，串起张家界、芙蓉镇、古丈、凤凰古城等众多著名风景区，被誉为“湘西最美高铁”的张吉怀高铁线路全长，已知高铁的平均速度是普通列车的3倍，相较于以往普通列车时间上节约，设普通列车的平均速度是，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．[［2025承德月考］]如图，在中， ，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：甲：；乙：；丙：.下列判断正确的是（ ）
（第10题）
A. 只有甲对 B. 只有乙对
C. 只有丙对 D. 三人说的都对
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．与的最简公分母是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．若最简二次根式与可以合并，则的值是_ _ _ _ _ _ .
14．如图，等边三角形的边长为2，是高，延长到点，使，则的长为_ _ _ _ .
（第14题）
15．如图，若 ，则根据尺规作图的痕迹，的度数为_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
16．如图,有两个长度相同的滑梯即,左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等,则与所在直线的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
17．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知,,,,技术人员通过测量确定了 .则这块绿化地的面积是_ _ .
（第17题）
18．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣.”也就是说，图①中直角三角形的三边长,,存在的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图②，分别将以为边长的正方形和以为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则_ _ _ _ .
（第18题）
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
（1） ；
（2） .
20．（6分）解方程：
（1） ；
（2） .
21．（8分）简便计算：
（1） ；
（2） .
22．（8分）先化简，再求值：，其中.
23．[［2025南京鼓楼区期中］]（9分）在中，若，，为的中线.
（1） 求长的取值范围；
（2） 如图，已知线段，.用直尺和圆规作，使得，，.
24．（9分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用10 000元购进A，B两种风味粽子共2 000 个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用之比为.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的2倍.
（1） 求A，B两种粽子的单价各是多少；
（2） 若计划用不超过8 000元的资金再次购进A，B两种粽子共1 600个，且A，B两种粽子的进价不变，求A种粽子最多能购进多少个.
25．（10分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，.
【类比应用】
（1） 请你仿照小明的方法，将化成另一个式子的平方；
【变式探究】
（2） 若，且，，均为正整数，求的值.
26．（10分）已知等边三角形和等边三角形，点始终在射线上运动.
（1） 如图①，当点在边上时，连接，求证：.
（2） 如图②，当点在边的延长线上时，连接，（1）中的结论是否成立 并给予证明.
（3） 如图③，当点在边的延长线上时，条件中的“等边三角形”改为“以为斜边作，且 ”，其余条件不变，连接并延长，与的延长线交于点，
求证：.
期末 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在，，，，，中，分式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
2．下面命题：①分母等于0的分式有意义；②全等三角形对应角相等；③若，则；④若,则.其中真命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
3．下列长度的四组小木棒能构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】B
4．如图，有一把直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点，，若在中， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
6．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
7．光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为，该光源波长用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
8．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 3 D.
【答案】D
9．北起张家界，南至怀化，串起张家界、芙蓉镇、古丈、凤凰古城等众多著名风景区，被誉为“湘西最美高铁”的张吉怀高铁线路全长，已知高铁的平均速度是普通列车的3倍，相较于以往普通列车时间上节约，设普通列车的平均速度是，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
10．[［2025承德月考］]如图，在中， ，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：甲：；乙：；丙：.下列判断正确的是（ ）
（第10题）
A. 只有甲对 B. 只有乙对
C. 只有丙对 D. 三人说的都对
【答案】D
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】且
12．与的最简公分母是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．若最简二次根式与可以合并，则的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．如图，等边三角形的边长为2，是高，延长到点，使，则的长为_ _ _ _ .
（第14题）
【答案】1
15．如图，若 ，则根据尺规作图的痕迹，的度数为_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
【答案】
16．如图,有两个长度相同的滑梯即,左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等,则与所在直线的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
【答案】互相垂直
17．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知,,,,技术人员通过测量确定了 .则这块绿化地的面积是_ _ .
（第17题）
【答案】114
18．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣.”也就是说，图①中直角三角形的三边长,,存在的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图②，分别将以为边长的正方形和以为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则_ _ _ _ .
（第18题）
【答案】6
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式
.
20．（6分）解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：，，，，，，检验：当时，，
所以原方程的解为.
（2） 原方程变形为，，，，，，检验：当时，，所以原方程的解为.
21．（8分）简便计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
22．（8分）先化简，再求值：，其中.
解：原式
，
当时，原式.
23．[［2025南京鼓楼区期中］]（9分）在中，若，，为的中线.
（1） 求长的取值范围；
（2） 如图，已知线段，.用直尺和圆规作，使得，，.
【答案】
（1） 解：延长到，使得，连接，
因为为的中线，所以.
又因为，
所以，所以.
在中，，即，所以，所以.
（2） 如图，即为所求.
24．（9分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用10 000元购进A，B两种风味粽子共2 000 个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用之比为.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的2倍.
（1） 求A，B两种粽子的单价各是多少；
（2） 若计划用不超过8 000元的资金再次购进A，B两种粽子共1 600个，且A，B两种粽子的进价不变，求A种粽子最多能购进多少个.
【答案】
（1） 解：设B种粽子的单价为元，则A种粽子的单价为元，（元），（元）.根据题意，得，解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，所以.
答：A种粽子的单价为8元，B种粽子的单价为4元.
（2） 设购进A种粽子个，则购进B种粽子个，依题意，得，解得.
答：A种粽子最多能购进400个.
25．（10分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，.
【类比应用】
（1） 请你仿照小明的方法，将化成另一个式子的平方；
【变式探究】
（2） 若，且，，均为正整数，求的值.
【答案】（1） 解：.
（2） 因为，
所以，.
因为，，均为正整数，而，
所以或.
26．（10分）已知等边三角形和等边三角形，点始终在射线上运动.
（1） 如图①，当点在边上时，连接，求证：.
（2） 如图②，当点在边的延长线上时，连接，（1）中的结论是否成立 并给予证明.
（3） 如图③，当点在边的延长线上时，条件中的“等边三角形”改为“以为斜边作，且 ”，其余条件不变，连接并延长，与的延长线交于点，
求证：.
【答案】
（1） 证明：因为，都是等边三角形，
所以，， ，
所以.
在和中，
所以，所以.
（2） 解：（1）中的结论成立.证明：因为，都是等边三角形，所以，， ，所以.
在和中，
所以，所以.
（3） 证明：延长至点，使，连接，.
因为，，所以，所以 ，所以 ，所以是等边三角形.又因为是等边三角形，点在边的延长线上，所以由（2）知，，所以，
所以，所以.
在和中，
所以，所以，所以.
第页
