2024-2025学年广东省广州市衡美高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知是等差数列的前项和，且，则( )
A. B. C. D.
3.在展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
6.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是( )
A.
B. 、、三点共线
C. 与是异面直线
D.
8.树人中学的科学社团设计了一块如图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面个区域涂色，有种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知数列的前项和为，，，则( )
A. 数列是等比数列 B.
C. D. 数列的前项和为
11.已知函数存在两个极值点，，且，设的零点个数为，方程的实根个数为，则( )
A. B. 的取值为、、
C. D. 的取值为、、
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等差数列，的前项和分别为，，若，则 ______．
13.已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为______．
14.将个互不相同的向量，，，，，，，填入的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式；
若，求前项和．
16.本小题分
在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件：展开式中第项的二项式系数是；
条件：展开式中第项与第项的二项式系数相等；
条件：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式，若____，求：
的值；
展开式中二项式系数最大的项．
17.本小题分
如图所示，在四面体中，平面，是的中点，，分别在线段，上，且，．
求证：平面；
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调区间．
若函数在区间上有个零点，求实数的取值范围．
是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
定义正方形数阵满足，其中，．
若，求数阵所有项的和；
若，，，，求证：也是数阵中的项；
若，，且，求的值为奇数的概率．
参考答案
1.
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15.解：因为是等差数列，设其公差为，
由题知，，解得，，
所以的通项公式为；
由题知，，
所以．
16.解：选条件：展开式中第项的二项式系数是；故，解得；
条件：展开式中第项与第项的二项式系数相等；故，故；
条件：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于，故，解得．
由得：，所以二项式系数的最大项为第项和第项，即．
17.解：证明：如图，在线段上取一点，使，
由已知，，且，
在线段上取一点，使，
由已知，，且，
所以，且，因此四边形为平行四边形，
所以，又平面，且平面，
所以平面．
由，，知．
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，
分别以，所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．
又，得，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：时，，，
，
令，解得：，
令，解得：，
在递减，在递增；
，
令，解得：，
令，解得：，
在递减，在递增，
而，
只需，解得：；
令，
，
令，解得：，
令，解得：，
在递减，在递增，
只需，即，解得：，
故存在正整数，使得在上恒成立，
的最大值是．
19.解：若，则的所有取值情况为：
，，，，，，，，
故数阵共项，由知：，
，
所以．
证明：，
由，，，知，、，故，
所以也是数阵中的项．
，，若，那么，
由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数，
即与必定一奇一偶，
当时，的取值情况有种，故；
当时，的取值情况有种，故；
当时，的取值情况有种，故；
当且为奇数时，中有个奇数，个偶数，
故的取值情况有种，故；
当且为偶数时，中有个奇数，个偶数，
故的取值情况有种，故．
综上所述，当且为奇数时，；当且为偶数时，．
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