2024-2025学年北京市大兴区高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.若函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点是( )
A. B. C. D.
5.已知数列的前项和，则是( )
A. 公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C. 公比为的等比数列 D. 公比为的等比数列
6.设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设有唯一零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.若，，，，是等差数列，和为此等差数列中的两项，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
9.设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则当取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
10.在下列不等式中，当时，关于的不等式对任意的不能恒成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.数列满足，且，则 ______．
12.将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热已知在第时，原油的温度单位：为，则第时，原油温度的瞬时变化率为______，此原油温度瞬时变化率的意义是______．
13.已知，，是公比不为的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______．
14.已知函数当时， ______；若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是______．
15.已知函数数列满足，当时，给出下列四个结论：
若，则；
若，则可能有个不同的取值；
对于任意的，不一定存在正整数，使得，；
对于任意的正整数，一定存在实数，使得，．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求在区间上的最值；
Ⅱ在直角坐标系内，画出的大致图象；
Ⅲ直接写出一个值，使在区间上存在最大值．
17.本小题分
已知等差数列满足，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和的最大值；
Ⅲ若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由．
18.本小题分
已知无穷数列满足，，令．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ证明：数列是等比数列，写出数列的通项公式；
Ⅲ记数列的前项和为，求，并判断数列：，，，，，的单调性．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ设，讨论函数的极值点个数；
Ⅲ若在区间上存在极值，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ设曲线在点处的切线为．
求切线的方程；
证明：除切点外，曲线在切线的下方；
Ⅱ设，令函数，求函数的单调区间．
21.本小题分
给定项数为的数列，若数列满足，则称数列具有性质，定义．
Ⅰ判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
Ⅱ若数列具有性质，求证：为等差数列的必要不充分条件是为常数列；
Ⅲ已知数列共有项，各项互不相等，对于，，若具有性质，记，且，求的所有取值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 第附近，原油温度大约以的速率下降
13.，，答案不唯一
14.
15.
16.解：，
因为，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故时，函数取得最小值，
因为，，
故函数的最大值为，最小值为；
Ⅱ当时，，当时，，
的大致图象如图所示：
Ⅲ当，即时，在区间存在最大值，
故符合题意的一个为答案不唯一．
17.解：Ⅰ等差数列满足，，
设公差为，则，，
解得，，
即有；
Ⅱ数列的前项和，
可得时，取得最大值；
Ⅲ若等比数列满足，，设公比为，
可得，，即有，
，
当为奇数时，，且递增，可得最小；
当为偶数时，，且递减，可得最大，
则存在最大值与最小值．
18.解：Ⅰ无穷数列满足，，令，
可得，；
Ⅱ证明：由，可得，
即，
则数列是首项和公比均为的等比数列，
则数列的通项公式为；
Ⅲ记数列的前项和为，
即有，
由，即，
可得数列为递增数列．
19.解：Ⅰ由函数，得因为，所以．
Ⅱ由Ⅰ知，令，
由，解得当时，即，此时，
则，所以在上单调递增，故没有极值点．
当时，即，，有两个不等的实根．
所以在和上，，单调递增；
在上，，单调递减．
所以是的极大值点，是的极小值点．
综上，当时，没有极值点；当时，有个极值点．
Ⅲ若在区间上存在极值，由Ⅱ知，
需满足，解得，所以的取值范围是．
20.解：Ⅰ由已知，，，
所以，，则切线方程为，即；
证明：等价于要证在上恒成立，当且仅当时取等号，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，故恒成立当且仅当时取等号，
即在上恒成立，当且仅当时取等号，原命题得证；
Ⅱ由已知，，，且，
所以，，且，
设，则，
时，，递增，时，，递减，
所以，即恒成立，
故的单调减区间为和，无单调增区间．
21.解：数列为，，，，计算相邻差的绝对值：，
验证性质：，成立，成立因此，数列具有性质；
Ⅱ证明：必要性：若数列为等差数列，则公差固定，故为常数列．不充分性：
构造反例，如数列，，，，其差绝对值为，，，是常数列，但原数列不是等差数列，说明常数列不充分；
Ⅲ已知数列元素为到的排列，且满足性质，，通过分析构造，
当时，存在数列，，，，，其差绝对值为，，，，和为，满足条件，
验证其他值如，，等均无法满足条件，故唯一解为．
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