石家庄市2025届普通高中毕业年级教学质量检测（三）
数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A B. C. D.
3. 已知椭圆的左、右焦点为，，且过右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，的周长为20，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（ ）
A. 事件A与B一定是对立事件
B.
C.
D. 若事件A、B相互独立，则
5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A. -1 B. C. 0 D. 1
7. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在如图所示试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时a的取值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列为递减数列
B. 当且仅当时，取得最大值
C.
D. 是等比数列
10. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A. 的图象关于点中心对称
B. 是周期为2的函数
C.
D.
11. 已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则平面
B. 若，则的取值范围是
C. 若，则的取值范围是
D. 若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若命题p：，，则命题p的否定为________________．
13. 过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是________________．
14. 有数学、物理、化学三类竞赛名额各个，将所有名额全部分给甲、乙两所学校，每所学校每类名额至少分得一个，则甲学校所得到的三类名额的个数的乘积与乙学校所得到的三类名额的个数的乘积相等的分法有________种（用数字作答）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求边上中线的长．
16. 某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图.
（1）估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数；
（2）依据上述调研结果，按照各年龄段人数比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望.
17. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，两条渐近线为，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过原点的直线与交于、两点且点在第一象限，
（i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点的坐标．
（ⅱ）连接与双曲线交于点，若面积为，求直线方程．
18. 已知函数，其中．
（1）讨论单调性；
（2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）求证：．
19. 有三台自动打印机，分别对自然数对进行运算：
第Ⅰ台：输入，则输出；
第Ⅱ台：输入，则输出，仅当a，b同为偶数时；
第Ⅲ台：输入，，则输出．
若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使用．例如：若输入，通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到，，；通过第Ⅲ台自动打印机输入，可以得到；通过第Ⅱ台自动打印机输入可以得到．
运算过程简单表示为：
通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为1．
根据上述运算回答下面问题：
（1）若输入，输出，试列举一个完整运算过程；
（2）若输入，能否得到，并说明理由；
（3）若输入，其中，通过上面三台自动打印机运算可以得到自然数对的概率为，证明：．
石家庄市2025届普通高中毕业年级教学质量检测（三）
数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和
（2）的分布列为：
【17题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）.
【18题答案】
【答案】（1）答案见解析；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【19题答案】
【答案】（1）答案见解析；
（2）不能； （3）证明见解析.
