2024-2025学年安徽省阜阳市太和县昌泰高级中学高一下学期 4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量( + ) + ( + ) + =( )
A. B. C. D.
2.已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量 3 与 + (2 ) 共线，则实数 的值为( )
A. 1 或 3 B. 3 C. 1 或 4 D. 3 或 4
3.向量 的模为 10，它与向量 的夹角为 150°，则它在 方向上的投影向量的模为( )
A. 5 B. 5 3 C. 5 D. 5 3
4.如图是四边形 的水平放置的直观图 ′ ′ ′ ′，则原四边形 的面积是( )
A. 14 B. 10 2 C. 28 D. 14 2
5.若 ∈ C，且| | + = 5 + 3i，那么 等于( )
A. 225 B. 2 3i C.
22
5 + 2 3i D. 2 3i
6.已知复数 1 = 3 + 4 ， 2 = + ，且 1 2是实数，则实数 等于( )
A. 3 44 B. 3 C.
4 3
3 D. 4
7.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )
A. 1+4π B. 1+2π C. 1+2π 1+4π4π π 2π D. 2π
8.某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为 6 ，上 下底面圆的半径分别为 4
2 . 2和 为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯3高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则
杯套的表面积为(不考虑水杯材质和杯套的厚度)( )
A. 683 πcm
2 B. 24πcm2 C. 763 πcm
2 D. 25 cm2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 1， 2是方程 2 + + 1 = 0 的两个虚数根，则( )
A. 的取值范围为[ 2,2] B. 1的共轭复数是 2
C. 1 2 = 1 D. 1 +
2为纯虚数
10.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为 1: 2，则关
于上、下两空间图形的说法正确的是( )
A.侧面积之比为 1: 4 B.侧面积之比为 1: 8C.体积之比为 1: 27 D.体积之比为 1: 26
11.在 中，已知 : : = 7: 5: 3，下列结论中正确的是( )
A.这个三角形被唯一确定
B. 一定是钝角三角形
C. sin : sin : sin = 7: 5: 3
D.若 + = 8 15 3，则 的面积是 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 (1+i)(4+3i).计算： (2 i)(1 i) = ．
13.在 中， = 3， = 1， = 30°，则 的面积等于 ．
14 3.已知过球面上三点 ， ， 的截面到球心的距离等于球半径的 2 ，且 = 8, = 6, = 10，则球的
表面积是 ，体积是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
复数 = (2 2 1) + ( 1)i, ∈ ．
(1)若 为实数，求 的值；
(2)若 为纯虚数，求 的值；
(3)若 = 9 3i，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 1 + i 是方程 2 + + = 0( ， 为实数)的一个根．
(1)求 ， 的值；
(2)试判断 1 i 是不是方程的根．
17.(本小题 15 分)
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记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 cos + cos = 2 cos ．
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
π 5π
已知复数 1 = 2sin 3i, 2 = 1 + 2cos i，其中 为虚数单位， ∈ 6 , 6 ．
(1)若 1 2是实数，求 1 2的值；
(2)设复数 1， 2对应的向量分别是 ， ，若 2 ⊥ 2 ，求 sin 的值．
19.(本小题 17 分)
西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图， 、 是邛海水面上位于东西方向相距 3 + 3公里的两
个观测点，现位于 点北偏东60 、 点西北方向的 点有一艘渔船发出求救信号，位于 点南偏西75 且与
点相距 3 6公里的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 公里/小时.求：
(1)观测点 与 点处的渔船间的距离；
(2) 点的救援船到达 点需要多长时间？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12. 2 + / 2
13. 3 32 或 4
14.400π 4000； 3 π
15.(1)若 为实数，则 1 = 0，得 = 1．
2
(2) 1若 为纯虚数，则 2 1 = 0，解得 =
1 ≠ 0 2
．
2
(3)若 = 9 3i，则 2 1 = 9，解得 = 2．
1 = 3
16.(1)由 1 + i 是方程 2 + + = 0 的根，得(1 + i)2 + (1 + i) + = 0，即 + + ( + 2)i = 0，
而 + = 0， 为实数， 2 + = 0，解得 = 2, = 2，
所以 = 2, = 2．
(2)由(1)知方程为 2 2 + 2 = 0，
把 1 i 代入方程左边，得(1 i)2 2(1 i) + 2 = 0，因此方程成立，
所以 1 i 是方程的根．
17.(1)因为 cos + cos = 2 cos ，
所以由正弦定理得：sin cos + sin cos = 2sin cos ，
即 sin( + ) = 2sin cos ，
因为 + = π ，所以 sin( + ) = sin = 2sin cos ，
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因为 0 < < π，故 sin ≠ 0 1，所以 cos = 2，
进而 = π3，
(2) π 2π由(1)知 = 3 , = 3 ，
因为 π 2π为锐角三角形，所以 0 < < 2且 0 < 3 <
π
2，
π π
所以6 < < 2，
2π 3 1
sin sin 3 2 cos + sin 3 1由正弦定理得： 2 = sin = sin = sin = 2tan + 2，
π
因为6 < <
π 3
2，所以 tan > 3 ，
1
所以 ∈ 2 , 2 ．
18.(1) 1 2 = 2sin + 2 3cos + 4sin cos 3 i．
因为 1
3
2为实数，所以 4sin cos 3 = 0，即 sin2 = 2 ，
又 ∈ π6 ,
5π π 5π 2π π
6 ，故 2 ∈ 3 , 3 ，则 2 = 3 , = 3，
π
故 1 2 = 2sin 3 + 2 3cos
π
3 = 2 3；
(2)复数 1， 2对应的向量分别为 = 2sin , 3 , = 1,2cos ．
因为 2 ⊥ 2 ，所以 2 2 = 0．
2 2 2 2故 2 2 = 2 + 5 = 2 2sin + 3 + 1 + 2cos 2] 5 2sin
2 3cos = 16 20sin π3 ，
π π 4
故 16 20sin 3 = 0，即 sin 3 = 5，
又因为 ∈ π , 5π π π π6 6 ，所以 3 ∈ 6 , 2 ，
2
则 cos π 2 π3 = 1 sin 3 = 1
4
5 =
3
5．
π π π π π π
sin = sin 3 + 3 = sin 3 cos 3 + cos 3 sin 3
= 4 × 1 3 3 4+3 35 2 + 5 × 2 = 10 ．
19.(1)解：在 中，∠ = 30 ，∠ = 45 ，则∠ = 105 ，
所以，sin∠ = sin105 = sin 60 + 45 = sin60 cos45 + cos60 sin45 = 6+ 24 ，
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由正弦定理sin∠ = sin∠ ，所以， =
sin30
sin105 = 6(公里)．
(2)解：在 中， = 3 6， = 6，∠ = 15 + 45 = 60 ，
由余弦定理可得 = 2 + 2 2 cos60 = 42，
42
因此，救援船所需时间为 = 30 (小时)．
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