2024-2025 学年北京市东城区广渠门中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，共 40 分。
1.复数 1 2 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
2.已知平面向量 = , 1 ， = 4, ，且 与 方向相反，则 的值为( )．
A. 2 B. 2 C. ±2 D. 0
3.sin35 cos5 cos35 cos95 =( )
A. 1 B. 1 C. 32 2 D. sin40
4.在 中，若 sin 3sin = 0，则 =( )
A. 3 B. 2 3 C. 1 D. 2
5.如图，在 中， 为 边上的中线，若 为 的中点，则 =( )
A. 1 5 B. 1 3 C. 1 5 4 4 4 4 4 4 D.
1
4
3 4
6 .设 ， 都是非零向量，下列四个条件中，使 = 成立的充分条件是( )
A. = B. // C. = 2 D. // 且| | = | |
7.如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 75 ，30 ，此时气球的高度是 60 ，则河
流的宽度 等于( )
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A. 240 3 1 B. 180 2 1 C. 120 3 1 D. 30 2 1
8.某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线 1， 2互相平行，桥 与河
岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点 ， ，
处，其中入口 点(定点)在桥 上，且 到直线 1， 2的距离分别为 1， 2( 1, 2为定值)，入口 ， 分别在
直线 2， 1上，公园的一边 与直线 2所成的锐角∠ 为 ，另一边 与 垂直．设该休闲公园的面积为 ，
当 变化时，下列说法正确的是( )
A.函数 的最大值为 1 2
B. 函数 的最小值为 1 22
C. ∈ 0, 若 1， 2 2 且 1 < 2,则 1 < 2
D. 若 1， 2 ∈ 0, 2 且 1 + 2 = 2，则 1 = 2
9.在 中， = = 5， = 4，点 为 所在平面内一点且 = 0，则 的最小
值为( )
A. 0 B. 1625 C.
4 D. 165 5
10 .已知函数 = sin 2 ，任取 ∈ ，定义集合： = { ∣ = ，点 , ， , 满足 ≤ 2}.
设 , 分别表示集合 中元素的最大值和最小值，记 = .则函数 的最小值是( )
A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2
二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分。
11 3+4 .复数 的虚部是 ，共轭复数是 ．
12.已知向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为 1，则 + = ；
= ．
13 .在 中， = 3， = 2．
= ①若 6，则 = ；
② 面积的最大值为 ．
14.已知函数 = sin + > 0, < 12 的部分图象如图所示，其中 ， 是直线 = 2与曲线 =
的两个相邻交点.若 = 3，则 = ， 2 = ．
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15.已知函数 ( ) = |cos2 | + 1.给出下列四个结论：
① ( )的最小正周期是 ；
② ( ) 的一条对称轴方程为 = 4；
9
③若函数 ( ) = ( ) + ( ∈ )在区间 0, 8 上有 5 个零点，从小到大依次记为 1, 2, 3, 4, 5，则 1 +
2 2 + 3 + 4 + 5 = 5 ；
1
④存在实数 ，使得对任意 ∈ ，都存在 1, 2 ∈ 6 , 0 且 1 ≠ 2，满足 = ( ) + ( ) ( = 1,2)．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16 12.（13 分）已知 ∈ (0, 2 )， ∈ (0, )，cos = 13，8sin = 5sin2 ．
(1)求 tan2 的值；
(2)求 cos(2 )的值．
17.（13 分）如图所示，在边长为 ( > 0)的正方形 中， ， 分别是 和 的中点．
(1)求证： ⊥ (用向量法证明)；
(2)设 = + ，求 + 的值．
(3)若点 (不与点 重合)为正方形 边上的动点，直接写出 的取值范围．
18.（14 分）已知函数 = sin + ( 其中 > 0， > 0， < 2 ).从条件①、条件②、条件③这三
个条件中选出两个作为已知，使得函数 唯一确定．
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 0, 在 2 上的最大值和最小值．
条件①： 6 = 1；
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条件②： 12 , 0 是 = 的对称中心；
条件③： = 可以由函数 = sin2 + 3cos2 平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．
19 11.（15 分）在 中， 2 2 2 = 7 ．
(1)求 sin ；
(2)若 15 3的面积为 4 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，
求 ．
条件①： = 2 3；
条件②： = 5；
条件③：sin sin = 1．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
20.（15 分）已知向量 = sin , 1 ，向量 = 3cos , 12 ，函数 = ( + ) ．
(1)求 单调递减区间；
(2)已知 , , 分别为 内角 , , 的对边， 为锐角， = 2 3, = 4，且 恰是 在 0, 2 上的最大
值，求 , 和 的面积 ．
21.（15 分）设正整数 ≥ 3，集合 = = 1, 2, , , ∈ , = 1,2, , ，对于集合 中的任意元素
= 1, 2, , 和 = 1, 2, , ，及实数 ，定义：当且仅当 = = 1,2, , 时 = ； + = 1 +
1, 2 + 2, , + ； = 1, 2, , .若 的子集 = 1, 2, 3 满足：当且仅当 1 = 2 = 3 = 0
时， 1 1 + 2 2 + 3 3 = 0,0, , 0 ，则称 为 的完美子集．
(1)当 = 3 时，已知集合 1 = 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 , 2 = 1,2,3 , 2,3,4 , 4,5,6 ，分别判断这两个集合
是否为 的完美子集，并说明理由；
(2)当 = 3 时，已知集合 = 2 , , 1 , , 2 , 1 , , 1,2 .若 不是 的完美子集，求
的值；
(3)已知集合 = 1, 2, 3 ，其中 = 1, 2, , = 1,2,3 ，若 2 > 1 + 2 + 3 对任意
= 1,2,3 都成立，判断 是否一定为 的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 3；4 + 3 /3 + 4
12. 5；0
13.2 33 /
2
3 3； 3
14.2 3； 2
15.②③
16.(1)由 ∈ (0, )，cos = 12 12 2 5 sin 513，得 sin = 1 ( 13 ) = 13，tan = cos = 12，
2×( 5 )
所以 tan2 = 2tan = 12 = 1201 2 5 2 119．1 ( 12)
(2) 由 ∈ (0, 2 )，8sin = 5sin2 ，得 8sin = 5 × 2sin cos ，
又 sin > 0，解得 cos = 4 4 35，故 sin = 1 ( )
2
5 = 5，
sin2 = 2sin cos = 24 225 , cos2 =
2 = 725，
所以 cos(2 ) = cos2 cos + sin2 sin = 7 12 24 5 3625 × ( 13 ) + 25 × 13 = 325．
17.(1)以直线 , 分别为 , 轴建立平面直角坐标系，
则 (0,0), ( , 0), ( , ), (0, ), ( 2 , 0), ( ,
2 )，
= ( , ), = ( , )， = 2 2 2
2 = 0，
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所以 ⊥ ．
(2)由(1)知 = ( , )， + = ( + , 2 2 )，
+ =
由 = + 6 2，得 2 ，解得 = , = ，
2 =
5 5
所以 + = 45．
(3)由(1)知 = ( , 0)，
当 在线段 上时，设 (0, ), 0 ≤ ≤ ， = ( , )， 2
= 12
2；
当 在线段 上时，设 ( , ), 0 ≤ ≤ ， = ( 2 , )，
= ( 2 ) ∈ [
1 22 ,
1 2
2 ]；
当在线段 上时，设 ( , ), 0 ≤ ≤ ， = ( , )， 2
= 1 22 ；
1
当 在线段 上时，设 ( , 0), 0 ≤ ≤ , ≠ 2 ，
= ( 2 , 0)，
= ( 1 22 ) ∈ [ 2 , 0) ∪ (0,
1 22 ]，
1 1
所以 的取值范围是[ 22 , 2
2]．
18.1) ①，由 6 = 1，得 sin
6 + = 1；
②，由 12 , 0 是 =
的对称中心，得 sin 12 + = 0，
则12 + = ， ∈ ；
③，由 = sin2 + 3cos2 = 2sin 2 + 3 ，
因为 = sin + 可以由函数 = 2sin 2 + 3 平移得到，
则 = 2， = 2．
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由上述可知，要使函数 唯一确定，则必须要选③．
选①③，由上述可知， = 2， = 2， sin 6 + = 1，
2sin 则 3 + = 1
1
，即 sin 3 + = 2，
所以3 + =
6 + 2
5
或 6 + 2 ， ∈ ，
则 = 6 + 2
或2 + 2 ， ∈ ，
< = 又 2，则 6，即 = 2sin 2 6 ．
选②③，由上述可知， = 2， = 2，12 + = ， ∈ ，
+ = ∈ = 则6 ， ，即 6 + ， ∈ ，
< 又 2，则 = 6，即 = 2sin 2
6 ．
(2) ∈ 0, 2 ∈ , 5 由 2 ，得 6 6 6 ，
则 sin 2 16 ∈ 2 , 1 ，则 2sin 2
6 ∈ 1,2 ，
所以函数 在 0, 2 上的最大值为 2，最小值为 1．
19.(1)在 11中，因为 2 2 2 = 7 ，
2cos = +
2 2 cos = 11由余弦定理 2 ，得 14．
因为 ∈ 0, ，所以 sin = 1 2 = 5 314 ．
(2)选择条件①：
= 2 3 1因为 3，所以 sin = 2 ，cos = 2．
= 1由题意得 2 sin =
15 3
4 ，所以 = 15．
因为 cos = 1114，sin =
5 3
14 ，
所以 sin = sin + = sin cos + cos sin
= 5 3 1 11 3 3 314 × 2 + 14 × 2 = 14 ．
3
由正弦定理sin = sin ，得 = 5，
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又 = 15，解得 2 = 9，所以 = 3．
选择条件②：
1 15 3
由题意得 = 2 sin = 4 ，所以 = 21．
因为 = 5，且 2 2 2 = 117 ，所以
2 + 2 = 58．
又 + 2 = 2 + 2 + 2 = 100，所以 + = 10，
又 = 21，解得 = 3 或 = 7．
选择条件③：不符合题意，因为 中，sin sin < 1，不可能 sin sin = 1．
20.(1) = + = 2 + 1 + 3sin cos + 12
= 1 cos2 + 1 + 3sin2 + 1 = 3 sin2 12 2 2 2 2 cos2 + 2 = sin 2
6 + 2．
= 2 2 = ．
(2)由(1)知： = sin 2 6 + 2，
∴ ∈ 0, 2 时， 6 ≤ 2
5
6 ≤ 6，
当 2 6 = 2时 取得最大值 3，此时 = 3．
由 = 3 得 = 3．
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 cos ，
∴ 12 = 2 + 16 2 × 4 × 12，
即 2 4 + 4 = 0，则 = 2．
21.解：(Ⅰ) 1是完美集；
设 1 1 + 2 2 + 3 3 = (0,0,0)，
即 1 = 2 = 3 = 0．
所以 1是完美集．
2不是完美集．
设 1 1 + 2 2 + 3 3 = (0,0,0)，
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1 + 2 2 + 4 3 = 0,
即 2 1 + 3 2 + 5 3 = 0,
3 1 + 4 2 + 6 3 = 0．
令 3 = 1，则 1 = 2, 2 = 3．
所以 2不是完美集．
(Ⅱ)因为 不是完美集，
所以存在( 1, 2, 3) ≠ (0,0,0)，使得 1 1 + 2 2 + 3 3 = (0,0,0)，
2 1 + 2 + 3 = 0,
即 1 + 2 2 + ( 1) 3 = 0,
( 1) 1 + ( 1) 2 + 2 3 = 0．
因为 = (2 , , 1), ( , 2 , 1), ( , 1,2 ) ，
由集合的互异性得， ≠ 0 且 ≠ 1．
所以 2 1 + 2 + 3 = 0， 3 = 2 1 2，( 1, 2) ≠ (0,0)．
+ 2 1 + + 1 2 = 0所以 3 1 1 + 1 2 = 0
所以( 4 + 1) 1 = 0．
所以 = 14或 1 = 0．
检验：
1
当 = 4时，存在 1 = 5, 2 = 7, 3 = 3 使得 1 1 + 2 2 + 3 3 = (0,0,0)．
当 1 = 0 时，因为 ≠ 1，所以 2 = 0, 3 = 0，舍．
所以 = 14．
(Ⅲ) 一定是 的完美子集．
假设存在不全为 0 的实数 1, 2, 3满足 1 1 + 2 2 + 3 3 = (0,0, , 0)，
不妨设 1 ≥ 2 ≥ 3 ，则 1 ≠ 0(否则与假设矛盾)．
由 1 11 +
2 3
2 21 + 3 31 = 0，得 11 = 21 31．1 1
所以 ≤ 211 21 +
3
31 ≤ 21 + 31 ．1 1
与 2 11 > 11 + 21 + 31 ，即 11 > 21 + 31 矛盾．
所以假设不成立．
所以 1 = 0．
所以 2 = 3 = 0．
所以 一定是 的完美子集．
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