广东省广州市番禺区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·番禺期末）下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意．
故答案为：D．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2024八下·番禺期末）下列二次根式有意义的范围为x≥﹣4的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、x﹣4≥0，解得x≥4，故此选项不符合题意；
B、x﹣4＞0，解得x＞4，故此选项不符合题意；
C、x+4＞0，解得x＞﹣4，故此选项不符合题意；
D、x+4≥0，解得x≥﹣4，故此选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不为0列出不等式，分别计算即可．
3．（2024八下·番禺期末）下列各曲线中，不是关于的函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数；
、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数；
、对给定的的值，有几个值与之对应，不是关于的函数；
、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数；
故选：．
【分析】
本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键．
4．（2024八下·番禺期末）下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵AB=CD，AD=BC
∴根据平行四边形的判定定理2，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B．∵AB∥CD，AD∥BC，
∴根据平行四边形的判定定理1可知，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
C．∵AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故该选项符合题意；
D．∵AB∥CD，AB=CD，
∴根据平行四边形的判定定理3可知，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定条件是解题关键．
平行四边形的判定定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
平行四边形的判定定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
平行四边形的判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
5．（2024八下·番禺期末）一组数据3，－1，0，2，的平均数是1，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得：
，
∴x=1，
故选：D．
【分析】根据算术平均数的定义即可求出答案.
6．（2024八下·番禺期末）在中（如图），连接，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ABCD
∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠DCA+∠ACB，，
∴40°+80°=120°，
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质可得ABCD，则∠DCA＝∠CAB，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．（2024八下·番禺期末）下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
A、当x=1时，，故函数图象不经过点，A不符合题意；
B、函数图象经过第一、三象限，B符合题意；
C、y随x的增大而增大，C不符合题意；
D、不论x为何值，可能有，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
8．（2024八下·番禺期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵是正方形，
∴，，
∵三角形是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得，，根据等边三角形性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
9．（2024八下·番禺期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，E是平行四边形的中心。
∵，，
∴，
∵直线将的面积分成相等的两部分，
∴直线过点，
∴，解得：，
故选：．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质和待定系数法求一次函数的解析式，由于直线y=kx-1把平行四边形分成面积相等的两部分，可知直线必须经过平行四边形的中心，根据A、C两点的坐标利用中点公式求出中点坐标（平行四边形的中心）把中点坐标代入y=kx-1中求出K值。
10．（2024八下·番禺期末）如图是一个长、宽、高分别是acm，bcm，ccm的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为7cm，且．通过计算发现，不能放入此木棒的无盖盒子的规格是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接AC
连接AD
对于A选项：
A选项符合题意；
对于B选项：
B选项不符合题意，
对于C选项：
C选项不符合题意
对于D选项：
D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】
连接AC，利用勾股定理AC的值，连接AD再利用勾股定理求出AD的值，然后和7作对比即可得出答案．
11．（2024八下·番禺期末）计算： ＝ ．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
12．（2024八下·番禺期末）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
13．（2024八下·番禺期末）一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是 ．
【答案】9
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：若众数为11，则数据为11，7，9，11，此时中位数为10，不符合题意；
若众数为9，则数据为11，7，9，9，中位数为9，符合题意；
若众数为7，则数据为11，7，9，7，中位数为8，不符合题意，
故答案为：9．
【分析】利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可.
14．（2024八下·番禺期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角平分线于点F，则线段DF的长为 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，，，
∴∠EFC=∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠ECF=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC=2.5，
∴DF=DE+EF=1.5+2.5=4，
故答案为：4．
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质。由勾股定理求出AC，由三角形中位线定理得到，DE∥BC，CE=，根据角平分线与平行线的性质得出∠EFC=∠ECF，即可得到EF=EC，即可计算DF=DE+EF．
．
15．（2024八下·番禺期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是 ．（结果用不等式表示）
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小；数形结合
【解析】【解答】如图所示，当时，一次函数的图象不在一次函数的图象的上方，
关于x的一元一次不等式的解集是
故答案为：．
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，要求的解集，一次函数的图象不在一次函数的图象的上方，根据图像的位置即可解答。
16．（2024八下·番禺期末）已知邻边长分别为，（）的平行四边形纸片，如图对折，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图对折，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值是 ．
【答案】或或或
【知识点】菱形的性质；分类讨论
【解析】解：如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
第一次操作
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
第二次操作
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
第三次操作
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，即，
解得：；
如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
第一次操作
∵四边形为菱形，
∴，
∴
第二，三次操作CEGJ、GHIJ、HFDI均为菱形
CE=JG=HI=DF=a-1
FH=HG=GE=
∵DF=FH，即a-1=
解得：；
如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，
第一、二次操作
∵四边形，为菱形，
∴，
∴，
第三次操作
∵四边形，都为菱形，
∴，
∵FH=HJ
∴，
解得：；
如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，
∵四边形，，，都为菱形，
∴AB=CD=EF=HG=JI=1，
BC=CE=EG=GI=
∵HG=GI
∴
解得：，
综上：的值为或或或，
故答案为：或或或
【分析】
本题主要考查了菱形的性质，根据题意，由于对折的方法不同结果不一样，所以本题要进行分类讨论。根据折叠的方法和菱形的性质，分别用含有a的代数式表示对折后菱形的边长和剩下平行四边形的两条邻边的长度，根据第三次操作后剩下的是菱形（邻边相等）列出方程求a的值。
17．（2024八下·番禺期末） 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
18．（2024八下·番禺期末）已知，分别是的整数部分和小数部分．
（1）分别写出，的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，∴，则，
∴，
∴，；
（2）由（）得：，，
∴原式
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；无理数的混合运算
19．（2024八下·番禺期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求线段的长度；
（2）试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，
为等腰直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）构造格点直角三角形，根据勾股定理即可得到AB的值；
（2）根据勾股定理分别计算AB、BC、AC，然后用勾股定理逆定理即可得到结论。
（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，，
，
为等腰直角三角形．
20．（2024八下·番禺期末） 甲、乙两台机床同时生产一种零件. 在 10 天中， 两台机床每天出次品的数量如下表：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
（1） 分别计算两组数据的平均数和方差；
（2）从计算的结果看， 在 10 天中， 你认为哪台机床生产零件质量更高 请说明理由. （至少从两个角度说明推断的合理性）
【答案】（1）解：甲的平均数是 ，
方差是；
乙的平均数是 ，
方差是．
（2）解：∵，
∴乙机床出次品的波动小，
则乙机床生产零件质量更高；
∵，
∴乙机床出次品的数量的平均数小，
则乙机床生产零件质量更高；
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）先根据题意求出其平均数，进而计算方差即可求解；
（2）根据方差的定义和平均数结合题意进行数据分析即可求解。
21．（2024八下·番禺期末）如图，四边形的对角线，交于点O，已知O是的中点，，．
（1）求证：；
（2）当时，证明四边形是矩形．
【答案】（1）证明：
∴∠DFO=∠BEO，
在和中
（2）证明
O是的中点
∴OD=OC，
四边形是矩形．
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定以及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得出∠DFO=∠BEO，根据对顶角相等得到∠EOB=∠FOD，已知OE=OF，根据ASA即可得证 ；
（2）根据全等三角形的性质和中点的定义及AC=2OD，可得出OC=OD，继而得到，再根据对角线相等且互相平分的四边形为矩形即可得证．
（1）证明：
，
在和中
；
（2）
O是的中点
，
四边形是矩形．
22．（2024八下·番禺期末）已知：如图，点及在第一象限的动点，且．设的面积为．
（1）求关于的函数解析式（直接写出的取值范围）；
（2）当时，求点坐标．
【答案】（1）解：如图，过作于，
∵，
∴，
（2）解：当时，，解得，，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次不等式组的应用，解一元一次方程．
（1）因为x+y=10，得y=10-x，三角形OPA的面积，把OA=8，PH=y代入写出s关于x的解析式。然后根据P点在第一象限即x＞0，10-x＞0，即可写出x的取值范围。
（2）把s=12代入，求出x值，再根据y=10-x求出y，进而可得点坐标．
（1）解：如图，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，
解得，，
∴．
23．（2024八下·番禺期末）如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积．
【答案】解：由折叠的性质可得AE=BE，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°
设，则
在中，根据勾股定理得
，
即，
∴AD=
在中，根据勾股定理得
（负值已舍去）
所以的长为，的面积为．
【知识点】解二元一次方程；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；列二元一次方程
【解析】【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理．
根据勾股定理求出AB，由折叠的性质可得AE=BE，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°.设，则BE=AE=8-x。利用勾股定理求出CE、AE. 再次用勾股定理求出DE. 而代入数值即可求出三角形AED的面积。
24．（2024八下·番禺期末）甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车．图1中，分别表示甲、乙离开学校的路程与甲行走的时间之间的函数图象．
（1）求线段所在直线的函数表达式；
（2）设表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全关于的函数图象；（标注必要的数据）
（3）当在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为．
【答案】（1）解：设所在直线的表达式为，把代入得
解得，
所以所在直线的函数表达式
（2）解：甲的速度：
乙的速度：
根据题意6分钟两人相距60×6=360（m）
两人相遇时间：600÷（100-60）=15（分钟）
即甲出发15分钟后两人相遇，此时，
21分钟乙到图书馆，甲距图书馆米，
还需要时间240÷60=4（分钟）
整个过程两人相隔的距离变化是：0-6分钟逐步增加，6-15分钟逐步减少直至相距为0，15-21分钟逐步增加至240m，21-25分钟逐步减少直至为0.
因此图象如下：
（3）解：
设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为．①当乙没出发时，，
解得；
当甲乙相遇前，即时
解得，
∵，
即时甲、乙两人之间的路程至少为；
②当甲乙相遇后，即时
解得，
乙到达终点后，
解得；
即时甲、乙两人之间的路程至少为；
综上，当或分钟时甲、乙两人之间的路程至少为．
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查一次函数，方程和不等式应用．（1）直线AC经过A(6，0)，C(21，1500)，设直线AC的解析式为y=kx+b，用待定系数法求解；
（2）根据相隔距离÷速度差计算出相遇时间，此时相隔距离是0，再计算乙行驶21分钟（到达图书馆）甲还需要行驶多少分钟到达图书馆，即可补全图象。
（3）分相遇前后两种情况；
相遇前当乙没出发时（甲前乙后），。相遇前（乙前甲后），，解不等式组求出X的取值范围。
相遇后（乙前甲后），乙到达图书馆后（甲前乙后），解不等式组求出X的取值范围。
（1）解：设所在直线的表达式为，把代入得
解得，
所以所在直线的函数表达式；
（2）甲的速度：，
乙的速度：，
设甲出发x分钟后两人相遇，则
，
解得，
即甲出发15分钟后两人相遇，此时，
21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆米，
因此图象如下：
（3）设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为．
①当乙没出发时，，
解得；
当甲乙相遇前，即时
解得，
∵，
即时甲、乙两人之间的路程至少为；
②当甲乙相遇后，即时
，
解得，
乙到达终点后，
，
解得；
即时甲、乙两人之间的路程至少为；
综上，当或分钟时甲、乙两人之间的路程至少为．
25．（2024八下·番禺期末）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
【答案】解：（1）概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．
理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
(3)问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，
∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】问题解决：②∵△AGB≌△ACE，
∴∠ABG=∠AEC．
∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=2，AB=5，
∴BC=，CG=2，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，
∴GE=．
故答案为：．
【分析】（1）利用“垂美四边形”的定义分析求解即可；
（2）利用勾股定理可得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，再利用等量代换可得AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）①连接CG、BE，先利用角的运算求出∠GAB=∠CAE，再利用“SAS”证出△AGB≌△ACE即可；
②先证出四边形CGEB是垂美四边形，再结合CG2+BE2=CB2+GE2，将数据代入可得GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，再求出GE=即可．
广东省广州市番禺区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·番禺期末）下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·番禺期末）下列二次根式有意义的范围为x≥﹣4的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·番禺期末）下列各曲线中，不是关于的函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·番禺期末）下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024八下·番禺期末）一组数据3，－1，0，2，的平均数是1，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
6．（2024八下·番禺期末）在中（如图），连接，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·番禺期末）下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有
8．（2024八下·番禺期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·番禺期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·番禺期末）如图是一个长、宽、高分别是acm，bcm，ccm的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为7cm，且．通过计算发现，不能放入此木棒的无盖盒子的规格是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．（2024八下·番禺期末）计算： ＝ ．
12．（2024八下·番禺期末）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
13．（2024八下·番禺期末）一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是 ．
14．（2024八下·番禺期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角平分线于点F，则线段DF的长为 ．
15．（2024八下·番禺期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是 ．（结果用不等式表示）
16．（2024八下·番禺期末）已知邻边长分别为，（）的平行四边形纸片，如图对折，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图对折，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值是 ．
17．（2024八下·番禺期末） 计算：
（1） ；
（2） .
18．（2024八下·番禺期末）已知，分别是的整数部分和小数部分．
（1）分别写出，的值；
（2）求的值．
19．（2024八下·番禺期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求线段的长度；
（2）试判断的形状，并说明理由．
20．（2024八下·番禺期末） 甲、乙两台机床同时生产一种零件. 在 10 天中， 两台机床每天出次品的数量如下表：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
（1） 分别计算两组数据的平均数和方差；
（2）从计算的结果看， 在 10 天中， 你认为哪台机床生产零件质量更高 请说明理由. （至少从两个角度说明推断的合理性）
21．（2024八下·番禺期末）如图，四边形的对角线，交于点O，已知O是的中点，，．
（1）求证：；
（2）当时，证明四边形是矩形．
22．（2024八下·番禺期末）已知：如图，点及在第一象限的动点，且．设的面积为．
（1）求关于的函数解析式（直接写出的取值范围）；
（2）当时，求点坐标．
23．（2024八下·番禺期末）如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积．
24．（2024八下·番禺期末）甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车．图1中，分别表示甲、乙离开学校的路程与甲行走的时间之间的函数图象．
（1）求线段所在直线的函数表达式；
（2）设表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全关于的函数图象；（标注必要的数据）
（3）当在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为．
25．（2024八下·番禺期末）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意．
故答案为：D．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、x﹣4≥0，解得x≥4，故此选项不符合题意；
B、x﹣4＞0，解得x＞4，故此选项不符合题意；
C、x+4＞0，解得x＞﹣4，故此选项不符合题意；
D、x+4≥0，解得x≥﹣4，故此选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不为0列出不等式，分别计算即可．
3．【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数；
、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数；
、对给定的的值，有几个值与之对应，不是关于的函数；
、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数；
故选：．
【分析】
本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵AB=CD，AD=BC
∴根据平行四边形的判定定理2，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B．∵AB∥CD，AD∥BC，
∴根据平行四边形的判定定理1可知，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
C．∵AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故该选项符合题意；
D．∵AB∥CD，AB=CD，
∴根据平行四边形的判定定理3可知，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定条件是解题关键．
平行四边形的判定定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
平行四边形的判定定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
平行四边形的判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得：
，
∴x=1，
故选：D．
【分析】根据算术平均数的定义即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ABCD
∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠DCA+∠ACB，，
∴40°+80°=120°，
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质可得ABCD，则∠DCA＝∠CAB，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
A、当x=1时，，故函数图象不经过点，A不符合题意；
B、函数图象经过第一、三象限，B符合题意；
C、y随x的增大而增大，C不符合题意；
D、不论x为何值，可能有，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵是正方形，
∴，，
∵三角形是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得，，根据等边三角形性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，E是平行四边形的中心。
∵，，
∴，
∵直线将的面积分成相等的两部分，
∴直线过点，
∴，解得：，
故选：．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质和待定系数法求一次函数的解析式，由于直线y=kx-1把平行四边形分成面积相等的两部分，可知直线必须经过平行四边形的中心，根据A、C两点的坐标利用中点公式求出中点坐标（平行四边形的中心）把中点坐标代入y=kx-1中求出K值。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接AC
连接AD
对于A选项：
A选项符合题意；
对于B选项：
B选项不符合题意，
对于C选项：
C选项不符合题意
对于D选项：
D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】
连接AC，利用勾股定理AC的值，连接AD再利用勾股定理求出AD的值，然后和7作对比即可得出答案．
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
12．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
13．【答案】9
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：若众数为11，则数据为11，7，9，11，此时中位数为10，不符合题意；
若众数为9，则数据为11，7，9，9，中位数为9，符合题意；
若众数为7，则数据为11，7，9，7，中位数为8，不符合题意，
故答案为：9．
【分析】利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可.
14．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，，，
∴∠EFC=∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠ECF=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC=2.5，
∴DF=DE+EF=1.5+2.5=4，
故答案为：4．
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质。由勾股定理求出AC，由三角形中位线定理得到，DE∥BC，CE=，根据角平分线与平行线的性质得出∠EFC=∠ECF，即可得到EF=EC，即可计算DF=DE+EF．
．
15．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小；数形结合
【解析】【解答】如图所示，当时，一次函数的图象不在一次函数的图象的上方，
关于x的一元一次不等式的解集是
故答案为：．
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，要求的解集，一次函数的图象不在一次函数的图象的上方，根据图像的位置即可解答。
16．【答案】或或或
【知识点】菱形的性质；分类讨论
【解析】解：如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
第一次操作
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
第二次操作
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
第三次操作
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，即，
解得：；
如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
第一次操作
∵四边形为菱形，
∴，
∴
第二，三次操作CEGJ、GHIJ、HFDI均为菱形
CE=JG=HI=DF=a-1
FH=HG=GE=
∵DF=FH，即a-1=
解得：；
如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，
第一、二次操作
∵四边形，为菱形，
∴，
∴，
第三次操作
∵四边形，都为菱形，
∴，
∵FH=HJ
∴，
解得：；
如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，
∵四边形，，，都为菱形，
∴AB=CD=EF=HG=JI=1，
BC=CE=EG=GI=
∵HG=GI
∴
解得：，
综上：的值为或或或，
故答案为：或或或
【分析】
本题主要考查了菱形的性质，根据题意，由于对折的方法不同结果不一样，所以本题要进行分类讨论。根据折叠的方法和菱形的性质，分别用含有a的代数式表示对折后菱形的边长和剩下平行四边形的两条邻边的长度，根据第三次操作后剩下的是菱形（邻边相等）列出方程求a的值。
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
18．【答案】（1）解：∵，∴，则，
∴，
∴，；
（2）由（）得：，，
∴原式
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；无理数的混合运算
19．【答案】（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，
为等腰直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）构造格点直角三角形，根据勾股定理即可得到AB的值；
（2）根据勾股定理分别计算AB、BC、AC，然后用勾股定理逆定理即可得到结论。
（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，，
，
为等腰直角三角形．
20．【答案】（1）解：甲的平均数是 ，
方差是；
乙的平均数是 ，
方差是．
（2）解：∵，
∴乙机床出次品的波动小，
则乙机床生产零件质量更高；
∵，
∴乙机床出次品的数量的平均数小，
则乙机床生产零件质量更高；
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）先根据题意求出其平均数，进而计算方差即可求解；
（2）根据方差的定义和平均数结合题意进行数据分析即可求解。
21．【答案】（1）证明：
∴∠DFO=∠BEO，
在和中
（2）证明
O是的中点
∴OD=OC，
四边形是矩形．
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定以及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得出∠DFO=∠BEO，根据对顶角相等得到∠EOB=∠FOD，已知OE=OF，根据ASA即可得证 ；
（2）根据全等三角形的性质和中点的定义及AC=2OD，可得出OC=OD，继而得到，再根据对角线相等且互相平分的四边形为矩形即可得证．
（1）证明：
，
在和中
；
（2）
O是的中点
，
四边形是矩形．
22．【答案】（1）解：如图，过作于，
∵，
∴，
（2）解：当时，，解得，，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次不等式组的应用，解一元一次方程．
（1）因为x+y=10，得y=10-x，三角形OPA的面积，把OA=8，PH=y代入写出s关于x的解析式。然后根据P点在第一象限即x＞0，10-x＞0，即可写出x的取值范围。
（2）把s=12代入，求出x值，再根据y=10-x求出y，进而可得点坐标．
（1）解：如图，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，
解得，，
∴．
23．【答案】解：由折叠的性质可得AE=BE，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°
设，则
在中，根据勾股定理得
，
即，
∴AD=
在中，根据勾股定理得
（负值已舍去）
所以的长为，的面积为．
【知识点】解二元一次方程；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；列二元一次方程
【解析】【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理．
根据勾股定理求出AB，由折叠的性质可得AE=BE，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°.设，则BE=AE=8-x。利用勾股定理求出CE、AE. 再次用勾股定理求出DE. 而代入数值即可求出三角形AED的面积。
24．【答案】（1）解：设所在直线的表达式为，把代入得
解得，
所以所在直线的函数表达式
（2）解：甲的速度：
乙的速度：
根据题意6分钟两人相距60×6=360（m）
两人相遇时间：600÷（100-60）=15（分钟）
即甲出发15分钟后两人相遇，此时，
21分钟乙到图书馆，甲距图书馆米，
还需要时间240÷60=4（分钟）
整个过程两人相隔的距离变化是：0-6分钟逐步增加，6-15分钟逐步减少直至相距为0，15-21分钟逐步增加至240m，21-25分钟逐步减少直至为0.
因此图象如下：
（3）解：
设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为．①当乙没出发时，，
解得；
当甲乙相遇前，即时
解得，
∵，
即时甲、乙两人之间的路程至少为；
②当甲乙相遇后，即时
解得，
乙到达终点后，
解得；
即时甲、乙两人之间的路程至少为；
综上，当或分钟时甲、乙两人之间的路程至少为．
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查一次函数，方程和不等式应用．（1）直线AC经过A(6，0)，C(21，1500)，设直线AC的解析式为y=kx+b，用待定系数法求解；
（2）根据相隔距离÷速度差计算出相遇时间，此时相隔距离是0，再计算乙行驶21分钟（到达图书馆）甲还需要行驶多少分钟到达图书馆，即可补全图象。
（3）分相遇前后两种情况；
相遇前当乙没出发时（甲前乙后），。相遇前（乙前甲后），，解不等式组求出X的取值范围。
相遇后（乙前甲后），乙到达图书馆后（甲前乙后），解不等式组求出X的取值范围。
（1）解：设所在直线的表达式为，把代入得
解得，
所以所在直线的函数表达式；
（2）甲的速度：，
乙的速度：，
设甲出发x分钟后两人相遇，则
，
解得，
即甲出发15分钟后两人相遇，此时，
21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆米，
因此图象如下：
（3）设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为．
①当乙没出发时，，
解得；
当甲乙相遇前，即时
解得，
∵，
即时甲、乙两人之间的路程至少为；
②当甲乙相遇后，即时
，
解得，
乙到达终点后，
，
解得；
即时甲、乙两人之间的路程至少为；
综上，当或分钟时甲、乙两人之间的路程至少为．
25．【答案】解：（1）概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．
理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
(3)问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，
∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】问题解决：②∵△AGB≌△ACE，
∴∠ABG=∠AEC．
∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=2，AB=5，
∴BC=，CG=2，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，
∴GE=．
故答案为：．
【分析】（1）利用“垂美四边形”的定义分析求解即可；
（2）利用勾股定理可得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，再利用等量代换可得AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）①连接CG、BE，先利用角的运算求出∠GAB=∠CAE，再利用“SAS”证出△AGB≌△ACE即可；
②先证出四边形CGEB是垂美四边形，再结合CG2+BE2=CB2+GE2，将数据代入可得GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，再求出GE=即可．
