2024-2025 学年浙江省县域教研联盟高二下学期学业水平模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = {1, }， = { 1, }，若 = ，则 + =( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 2
2.函数 ( ) = sin2 的最小正周期是( )
A. 2 B. C. 2 D. 4
3.下列函数中定义域为 的是( )
A. = 2 B. = 3 C. = ln D. = 2
4.已知复数 满足(1 + ) = 2( 是虚数单位)，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
5 .已知角 的终边与单位圆交于点 (0,1)，则 sin( 2 + ) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
6.“ < ”是“ < | |”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7 4.已知 > 0，则1+ + 的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知向量 ， 的夹角是60 ，且| | = 5，| | = 2，则 在 方向上的投影向量是( )
A. 1 B. 12 2 C.
1 5 D.
1
5
9.某箱子中有 4 个大小、质地完全相同的小球，其中 2 个白球，2 个红球，从中随机摸取 2 个小球，则摸
到 2 个红球的概率是( )
A. 16 B.
1 1 1
4 C. 3 D. 2
10.在平面四边形 中， ⊥ ， ⊥ ， = 2， = 3， ， 分别为 ， 的中点，则 · =( )
A. 5 B. 52 C.
13
2 D. 13
11.已知函数 ( )的定义域为 ，且 = (1 )为奇函数，当 < 1 时， ( ) = 2 4，则 (1) + (2) = ( )
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A. 7 B. 4 C. 3 D. 4
12.现有两个函数模型如下，
1
模型一：如果 0是碳 14 的初始质量，那么经过 年后，碳 14 的质量为 ( ) = 0( 57302 ) ;
模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型 = 0 ，其中 表示经过的时间， 0表示 = 0 时的人口数，
是常数. ( 是自然对数的底)
则下列说法错误的是( )
A.经过 5730 年，碳 14 的质量变为初始质量的一半
B.碳 14 的年衰减率与初始质量有关
C.设 ∈ ，碳 14 的第 年，第 + 1 年，第 + 2 年的衰减量分别为 1， ， ，则 2 = 32 3 1 2
D.以上两个模型都可以归结为模型“ = + ”(其中 为自变量， ， 为常数， 是自然对数的底)
二、多选题：本题共 3 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.已知事件 、 、 满足 ( ) > 0， ( ) > 0， ( ) > 0，则下列说法正确的是( )
A.若 ，则 ( ) ≤ ( )
B.若 ( ) ≤ ( )，则
C.若 = ，则 ( ∪ ) = ( ) + ( )
D.若 = ，则 ， 不独立
14.从盛有 1 1 1纯酒精的容器中倒出3 ，然后用水填满;再倒出3 ，又用水填满，连续进行若干次，容器中的
酒精浓度可能是( )
A. 23 B.
1
9 C.
4 4
9 D. 27
15.在棱长为 2 的正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， = ， ∈ (0,1)， = ， ∈ (0,1)，
则下列说法正确的是( )
A. = 2
B.当 = = 12时， 与 异面
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C.当 + = 1 时，多面体 的体积为定值
D.过 作平面 ⊥ ，平面 分别交 ， ， 于点 ， ， ，则四边形 面积的最大值为 1
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
16.已知向量 = (1,0)， = (1,1)，则|2 + | = ．
17.若长方体的长，宽，高的长分别为 3，4，5，则此长方体的外接球直径长为 ．
18.函数 ( ) = 4 2 +1的单调递增区间是 ．
19.平面四边形 中， = 1 6， = 3， = 5，∠ = 60
，∠ = 120 ，则△ 的面积为 ．
四、解答题：本题共 3 小题，共 36 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题 12 分)
某市组织 120 名学生参加数学竞赛，所得分数情况的频率分布直方图如下，根据此图：
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若分数不少于 90 分的都被认定为一等奖，请估计获一等奖的学生人数;
(Ⅲ)若分数从高到低排序后，分数在前 40%的均可获奖，请估计获奖的最低分数线．
21.(本小题 12 分)
如图，在直三棱柱 中， = = = 1， ⊥ ．
(Ⅰ)求证： ⊥ ;
(Ⅱ)求二面角 的正弦值．
22.(本小题 12 分)
已知定义域为 的函数 ( )，且存在定义域为 的单调函数 ( )，使得 [ ( ) + ( )] = ，( 是常数)．
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(Ⅰ)若 = 1， ( ) = 1 ，求 ( )的解析式;
2
(Ⅱ) ( ) = , 0 < 1若 ,
( 1) + + 1,1 < 3
(ⅰ)求实数 的取值范围;
(ⅱ)对于给定的实数 ，求实数 的取值的集合．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. 10
17.5 2
18.[0, + ∞)
19. 225 (4 3 3)
20.解：( )由题意得：0.010 × 10 + 0.015 × 10 × 2 + × 10 + 0.025 × 10 + 0.005 × 10 = 1，
解得： = 0.030；
(Ⅱ) 0.005 × 10 × 120 = 6，
故获一等奖人数为 6 人；
(Ⅲ) 80 10 × 13 ≈ 77，故获奖分数线约为 77 分，(范围在[76,77]的任何数都算对)．
21.解：( )连 ，由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
又由 ⊥ ， // 得： ⊥ ，
又 ， 平面 ， ∩ = ，故 DE⊥平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ，
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又由正方形 ，得： ⊥ ，
又 ， 平面 ， ∩ = ，故 AF⊥平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ;
(Ⅱ)过点 作 ⊥ 于 ，过 作 ⊥ 于 ，连 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，
又 平面 ，得 ⊥ ，
又 ⊥ ， 、 平面 ， ∩ = ，
故 EF⊥平面 ，又 平面 ，得 ⊥ ，
所以∠ 是二面角 的平面角，
易得： = 2， = 1，∠ 为直角，2
故 tan∠ = = 2，得 2 sin∠ =
3．
3
故二面角 的正弦值为 3．
3
22.解：( )方法一：由 [ ( ) + ( )] = 1，且 ( )是单调函数，
得：存在唯一的常数 ， ( ) + ( ) = ( 是常数)，且 ( ) = 1，
又由 ( ) + ( ) = ，得 1 + (1 ) = ，得 = 1，
故： ( ) = ( ) = ;
方法二：由 [ ( ) + ( )] = 1，且 ( )是单调函数，得： ( ) + ( )是常数，
又 ( ) = 1 ，故可设 ( ) = + ，代入 [ ( ) + ( )] = 1 得： ( + 1) = 1，
于是 2 + 1 = 1，解得 = 0，故 ( ) = ，
(Ⅱ) ( )由 [ ( ) + ( )] = ( 是常数)，
得：存在唯一的常数 ，满足 ( ) + ( ) = ，且 ( ) = ，
又由 ( ) + ( ) = ，得 ( ) = ，
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故 存在定义域为[0,3)的函数 ( )，使得 [ ( ) + ( )] = ，( 是常数)”等价于：
存在唯一常数 ，使得 ( ) = ，即关于 的方程 ( ) = 有唯一解为 ，
首先，由 ( ) + ( ) = ，且 ( )是单调函数，得： ( )也是单调函数，
2, 0 ≤ < 1
于是由 ( ) = ( 1) + + 1,1 ≤ < 3，
因为在 = 1 处右侧的函数值大于等于左侧的函数值，
得 + 1 ≥ 1，得 ≥ 0;
其次，根据 的方程 ( ) = 有唯一解，
2
( ) = , 0 ≤ < 1而 ( 1) ( 1) + ,1 ≤ < 3， ( ) 的图像如下，
由图像可知：
当 = 0 时，关于 的方程 ( ) = 解不唯一，不合题意;
1
而当 > 0 时，则 = 4时，关于 的方程 ( ) = 总有唯一解，
所以实数 的取值范围是： > 0;
( )结合 ( ) 的图像知：
1 1①当 0 < ≤ 4时，当 的取值为 4，2 时，关于 的方程 ( ) = 才有唯一解，
1得 的取值的集合为{ 4 , 2 };
②当 > 1 14时，则当 的取值为 4，0，
1 1
4， ，2 4，2 时，关于 的方程 ( ) = 才有唯一
解，
1得 的取值的集合为{ 4 , 0, +
1
4 , , 2 +
1
4 , 2 }．
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