等腰三角形 专题复习
等腰三角形的定义
有______相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形周长为32，则腰长x的取值范围为 ，底边y的取值范围为 ．
等腰三角形的周长为8厘米，且各边长均为整数，则它的腰长为 厘米．
易错题型1：求边长
解题tips：1. 分类讨论，区分是底边还是腰；2. 画草图！标条件！轻松得分！
1．已知等腰△ABC的两条边、的长分别为、，则△ABC的周长为 ．
2. (1)等腰三角形的周长为11，其中一边长为5，则另外两边长为 ．
(2)等腰三角形的周长为18，一条边长4，那么腰长是 ．
3. 已知等腰△ABC的周长为16，其中一边长为6，AD为底边BC上的高，则BD的长为 ．
易错题型2：求角度
解题tips：1. 分类讨论，区分是顶角还是底角；画草图！标条件！轻松得分！
（1）等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为 ．
（2）等腰三角形的一个外角等于80°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为 ．
2．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 ．
3．（1）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为 ．
（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为400，则这个三角形的顶角的度数是___________．
等腰三角形的性质和判定
性质：
判定：
根据等腰三角形的性质求边长
如图，在△ABC中，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则△AMN的周长为 ．
如图，在△ABC中，，、分别是、的平分线，且，，点D、E在边上，则△PDE的周长为 ．
如图，在△ABC中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是 ．
根据等腰三角形的性质求角度
如图，已知四边形中，，，，那么_________.
如图，在△ABC中，，的垂直平分线交于点D，于点E，连接，如果，那么的度数是_________.
将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点C，，分别交于点，．若，，，，则的度数是________.
如图，等腰△ABC的底角为，以点为圆心，长为半径画弧，与底边交于点，连接，则的度数为_________.
等腰三角形的判定
如图，在△ABC中，，过的延长线上一点M，作，垂足为N，交边于点D．求证：△AMD是等腰三角形．
如图，在等腰△ABC中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)试说明的理由．
即时检测
下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2. 等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ．
3. 若等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是 ．
4. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形底角的度数为 ．
5.已知x，y是等腰三角形的两边长，且x，y满足，则此等腰三角形的周长为 ．
6. 在△ABC中，，中线将这个三角形的周长分为9和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．
7. 如图，已知，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则的度数_________.
如图，，则∠BDA为_________.
如图，△ABC中，，于，点在线段上，，若，，则BD的长为_______．
如图，在△ABC中，AB=BC，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，那么AC= ．
如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．
12.如图，在△ABC中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E．
(1)过点E作交于点F，求证：．
(2)若，求的度数．
等边三角形的性质和判定
性质： 判定：
等边三角形的判定
如图，在△ABC中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：△ABC为等边三角形．
等边三角形的性质应用
如图，已知在等边△ABC中，，点E、F分别在边、上，将△ABC沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果△BDE的周长比△CDF的周长小1cm，那么_________．
如图，是等边△ABC的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则_________.
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点．那么∠BPQ=_______°．
如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°，AC=b，CD=a，以点C为圆心，以CD的长为半径作弧，交边AD于点B，AB=c，则下列说法一定正确的是_________.(填序号)
①△BCD是等边三角形； ②a+c＜b； ③a=c； ④b=2a.
手拉手模型
如图，点A、B、C在同一条直线上，△ABD与△BCE是等边三角形，（1）给出如下结论：①△ABE≌△DBC；②BP=BQ；③AP=DQ；其中一定正确的结论是___________(填序号)
（2）写出∠AMD的度数为________.
如图，点E是等边三角形ABC的边AC上一点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE一定是_______三角形.
如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，与交于点M，与CD交于点
(1)求证：；
(2)连接，求证：
即时检测
如图，已知△ABC是等边三角形，BC=BD，∠CBD=90°，则∠1=_______°．
如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，那么_______度.
如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO．其中正确的有_______个.
如图，已知D、E是边BC的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC=________.
如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD交于点F，且CD=BE. 那么∠AFD的度数为_________.
如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=_______°．
如图，在△ABC中，D是AC边的中点，点E在的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且，若与互补，．
(1)求证：△ABC是等边三角形．
(2)求证：DE=2DF．
已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E. 求证：△AEF是等边三角形.
如图，已知点B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE、BD，交点为F.
（1）试说明△ACE与△BCD全等的理由；
（2）求∠EFD的度数;
（3）如图2，如果△DCE固定不动，将△ABC绕着点O逆时针旋转（）.第（2）小题中求出的的度数的大小是否发生变化？简述理由.
“三线合一”
等腰三角形三线合一指的是：_____________________________________.
如图，在△ABC中，，是边上的中线，，垂足为E．若，则的度数为 ．
如图，已知在△ABC中，，，点P是的平分线和的平分线的交点，射线交的延长线于点D，则的度数为_________.
如图， E、B、C三点在一条直线上，，， 点F是的中点， 如果，
那么 度．
如图，已知△ABC中，，是的平分线，如果的周长为，△ABC的周长为，那么的长是 ．
在△ABC中，，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由
即时检测
1.下列判断正确的是（ ）
A．等腰三角形任意两角相等; B．等腰三角形底边上中线垂直底边;
C．任意两个等腰三角形全等; D．等腰三角形三边上的中线都相等.
2. 下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等; B．等腰三角形两腰上的中线相等;
C．等腰三角形两底角的平分线相等; D．等腰三角形高、中线和角平分线重合.
3.如图，在△ABC中，，于点D，在上取一点E，使，连接．若，则的度数为 ．
如图，是等腰△ABC的底边上的中线，过点作，交于点．
(1)求证：△ADE是等腰三角形．
(2)求证：．
线段的垂直平分线
定义：
定理1：
定理2：
如图，甲、乙、丙三位同学作线段的垂直平分线．其中作法正确的哪位同学？
如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有 ．（填序号）
已知，AB=AC，DB=DC，点E在AD的延长线上.
(1)求证：AE垂直平分BC；
(2)求证：△BDE≌△CDE.
周长问题
如图，在△ABC中，，分别是边，的垂直平分线，（1）若，，的周长为9，则△ABC的周长为__________；（2）若BC=10，则的周长为__________．
如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点D，交于点E．（1）如果，，那么的周长是__________；（2）如果，△BCD周长是13，则的长是__________．
如图所示△ABC中，AB的垂直平分线MN与边AB、AC交于点M、D，（1）若AB=AC=14cm，△DBC的周长是，则BC= ；（2）若△ABC与△BCD的周长分别是和，则BD的长为 ．
如图，等腰三角形的底边长为4，面积是24，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边上的中点，点为线段上一动点则△CDM周长的最小值为__________．
角度问题
如图，△ABC为等腰三角形，，线段的垂直平分线交于点D，，则=________．
如图，在△ABC中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么_________．
如图，在等腰△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则__________．
如图，△ABC中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为__________．
如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
则∠OEC= 度．
综合应用
如图，在 △ABC中，，点 D是的延长线上一点，是线段的垂直平分线，交于点 F． 求证：点 E在线段的垂直平分线上．
已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC＝DF．求证：
（1）∠DAF＝∠CFB；
（2）EF＝AB．
即时检测
如图，在△ABC中，，，的垂直平分线交于点O，交于点D，连接．则下列结论：①；②平分；③；④．正确的有 ．（填序号）
如图，△ABC中，AB=AC，的垂直平分线交于点O，交于点D，连接．若，则△BCD的周长是 ．
用尺规作图作直线的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线上任取一点，以为圆心任意长为半径画弧，与直线相交于点、两点，再分别以、为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线即为所求.
乙：如图2在直线上任取两点，作线段的垂直平分线
其中作法正确的哪位同学？
如图，在△ABC中，，点是上一点，的垂直平分线交于点，将△ACD沿折叠，点恰好与点重合，则等于__________．
如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．
求证：．
如图，△ABC中，边的垂直平分线交于点P．
(1)求证：．
(2)点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
