2024-2025学年新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊宁市第三中学高二下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则 ．
A. B. C. D.
2.以下各组函数中，不是同一函数的是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是( )
A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
D. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
5.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
6.如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是( )参考数据：，
A. 变量服从正态分布 B.
C. D.
7.若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 命题“，使得”的否定是“，都有”
B. 当时，的最小值是
C. 若不等式的解集为，则
D. “”是“”的必要不充分条件
10.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 常数项为 B. 各二项式系数的和为
C. 各项系数的和为 D. 各二项式系数的最大值为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A.
B. 关于的方程有个不同的解
C. 在上单调递减
D. 当时，恒成立．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为 ．
13.在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，其中至少有名男生的概率为 ．
14.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有 个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，若在处取得极值，．
求的值；
方程在有解，求实数的范围．
16.本小题分
已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
确定函数的解析式；
用定义证明在上是增函数；
解不等式．
17.本小题分
某高校为了方便冬季体育活动，计划建造一间室内面积为的体育馆，在馆内划出三块相同的矩形区域供三个班级同时使用，相邻区域之间间隔米，其余部分离墙米如图设体育馆室内长为米，三块区域的总面积为平方米．
求关于的函数关系式；
当体育馆室内长为多少米时，三块区域的总面积最大？并求其最大值．
18.本小题分
随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近年的广告费投入单位：亿元进行了统计，具体数据见下表：
年份代号
广告费投入
并随机调查了名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：
认可 不认可
岁以下
岁及以上
求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程；
依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联
附：经验回归方程中，；
，其中．
19.本小题分
哪吒：魔童闹海作为年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，音乐片段可用率能被采用的片段数占录制片段总数的比例分别为，，现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估计概率．
若只取个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率；
若抽取个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为，求的分布列和数学期望；
假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为，计算此次哪吒：魔童闹海电影原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：解：由函数，可得，
因为在处取得极值，所以
解得或
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，符合题意；
当时，，
所以在上单调递增，此时无极值，不符合题意，
所以．
由知，且，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，所以函数在上的值域为，
要使得方程在有解，则．
16.解：由，则，解得，故，
此时，满足题意，故；
设，
则
，
由，故，故，，
故，故在上是增函数；
，由在上是增函数，
故，解得，
即不等式的解集为．
17.解：由题设，得
，
由已知得故．
所以，．
因为，
所以，
当且仅当时等号成立，从而．
故当矩形温室的室内长为时，最大，最大为．
18.解：由题意，得，
则，所以
则，
故广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程为．
零假设为：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联．
由题中表格数据，
计算得．
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于．
19.解：由题意知，每个音乐片段被抽到的可能是相同的．
因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，
所以若只取个音乐片段，它是由乙工作室录制的概率为；
设事件分别表示随机抽取的个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的，
若只取个音乐片段，则，
所以由乙或丙工作室录制的概率为．
依题意可知，的可能取值为，，，且．
所以，，
，
所以的分布列为
数学期望；
设事件表示音乐片段被录用，由知．
所以 ．
又，
即哪吒：魔童闹海电影原声音乐片段的可用率约为．
又，所以此次音乐片段的可用率高于以往平均可用率．
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