2024-2025学年天津市滨海新区大港第三中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本大题共12小题，共60分。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
3.“”是“且”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从名男教师和名女教师中，选取人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于
B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验，可判断与无关
C. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是．
D. 已知随机变量服从二项分布，若，则．
7.在件产品中有件一等品和件二等品，如果不放回地依次抽取件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，记，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.已知函数是上的减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知在上是奇函数，且，当时，，则
A. B. C. D.
11.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，共40分。
13.已知幂函数的图象过点，则
14.若展开式中的所有二项式系数和为，则 ；该展开式中的系数为 结果用数字表示．
15.已知函数，则函数的定义域为 ．
16.
17.设，且，则 ．
18.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．
19.已知随机变量，且，若，则的最小值为 ．
20.已知函数，若，则不等式的解集为 ；若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知函数在处取得极值．
求实数的值；
求在区间上的最大值和最小值．
若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．
22.年月日，在英雄联盟的总决赛中，中国电子竞技俱乐部完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查地岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了人作出调查，所得数据统计如下表所示：
热爱电子竞技 对电子竞技无感
男性
女性
判断是否有的把握认为地岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？
若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取人，再从这人中任取人，记抽到的男性人数为，求的分布列以及数学期望．
附：，其中．
23.甲、乙两人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；
求乙至多击目标次的概率；
求甲恰好比乙多击中目标次的概率．
24.已知函数．
若，求在上的最大值和最小值；
若，当时，证明：恒成立；
若函数在处的切线与直线垂直，且对任意的恒成立，求的最大整数值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.；
21.解：，则，
因函数在处取得极值，
则，得
此时，，
得或，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，故．
由可知在和上单调递增，在上单调递减，而，
则在区间上的最大值为和最小值．
令，则，
则与单调性相同，
因方程有三个不同的实数根，
则，得，
则实数的取值范围为．
22.解：完善表格如下所示：
热爱电子竞技 对电子竞技无感 总计
男性
女性
总计
则，
有的把握认为地岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关；
依题意，这人中男生有人，女生有人，则的可能取值为，，，，
故，
，
，
，
故的分布列为：
则．
23.解：的概率分布列为
或
．
乙至多击中目标次的概率为 ．
设甲恰好比乙多击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙恰击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙恰击中目标次为事件，则，、为互斥事件，
．
24.解：当时，，，
令可得，故当时，在单调递减；
当时，在单调递增；
故递减区间为，递增区间为，
函数的极小值是唯一的极小值，无极大值．
又，
在上的最大值是，最小值是；
当时，令，
．
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，所以恒成立．
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，即，解得
所以．
因为对，恒成立，
所以对，恒成立．
设，则，
令，得．
当即时，
由，得；由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，需，得．
当时，，成立；当时，，不成立；当时，都不成立，
所以实数的最大整数值为．
当即时，，，在上单调递增，
所以，符合题意．
综上，实数的最大整数值为．
第1页，共1页
