方城一高2025年春期高一年级期末考试冲刺演练（一）数学
考试范围：北师大版必修二 考试时间：120分钟
一、单选题
1．（课本180页，A5）设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（课本172页，B3），则
A．1 B． C． D．
3．（课本108页变式）已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（课本130页，A2）在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（课本152页变式）已知，α∈，函数，且对任意的实数x，不等式恒成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（课本241页，3变式）已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ）
B． C． D．
7．（课本243变式）如图，三棱台中，底面是边长为6的正三角形，且，平面平面，则棱（ ）
A． B． C．3 D．
8．（23-24高一下·河南南阳·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（课本110变式）已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
10．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·河南南阳·期末）如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不可能存在这样的点，使得
B．若，，则
C．若平面，则
D．周长的最小值是
三、填空题
12．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
13．（课本117页变式）已知的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是 ．
14. （课本173页变式） 已知，则最小值为 ．
四、解答题
15．（1）（课本202页，B3）求一个复数z，使得为实数，且．
（2）（课本202页，C1）证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解.
16．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
17．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，
(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．（上分题55页12题）在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，．
(1)若，AE与BF交于点N，，求的值；
(2)求的最小值．
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数.
(1)记的相伴函数为，当时，若，求的值；
(2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值；
(3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大
方城一高2025年春期高一年级期末考试冲刺演练（一）数学
参考答案
1．C 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7. A 8．D 9．BCD 10．ABC 11．AC
12．解析：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
13. 解析：在中，由，不妨令，则，即，
整理得，而，解得，
由正弦定理得，令，
函数在上单调递增，则，即，
所以，即的取值范围是.
14．解析：令，则，故，所以，则，所以且，而，仅当时等号成立，给定区间内等号不成立，结合对勾函数性质知：在上递增，所以在上递增，则最小值为.
15. 解析：（1）由题意，设，，且不同时为0，
因为，即，
所以① ， 又，即②
联立①②解得，或，经检验此时，所以复数或或，
（2）假设存在这样的复数， 则原方程化简为
设代入上述方程得方程组无实数解
∴假设不成立，即原方程在复数范围内无解.
16．解析：（1）在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，所以.
（2）在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以
17． （1）证明：连接.由分别是的中点，
根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，
又平面，平面，于是//平面.
（2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.由面，面，故，又，，平面，则平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面与平面所成角即.又，，则，故，在中，，则，于是
（3） 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.
由题干数据可得，，，根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.又平面，则，又，，平面，故平面.在中，，又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即点到平面的距离是.
18．解析：（1）当时，，即为的中点，因为三点共线，设，则，因为三点共线，设，则，又不共线，根据平面向量基本定理得解得所以，又，则
所以.
（2）因为，，所以
，因为，所以，
所以，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
19．解析：（1）依题意，，
由，可得，因，则，故，
于是；
（2）依题意，，其中，，因函数在时取得最大值，则，解得，即，则，，
由
，因，函数在上单调递减，故当时，取得最小值，此时取得最小值为；
（3）依题，则，因，则.
如图作于点，因点为的外心，则，
如图，
，
则，
由正弦定理，，则，则，
因，则当时，取得最大值为.
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