顺德一中2024-2025学年第二学期期中考试
高二数学试题 2025年4月
本试卷共19题，共4页，满分150分，考试时长120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号等信息填涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案.
3.作图时，先用铅笔作图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.数列满足，则其通项公式可能是（ ）
A. B. C. D.
2.函数的导数（ ）
A. B.
C. D.
3. 在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A. B. C. D.
4 设为等比数列的前n项和，若，，则
A. B. 1 C. D. 2
5.已知函数在单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.小明从4S店购买了一辆25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项14万元采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
7．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100米接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙两人只能跑第2或3棒，丁不能跑第1棒. 那么合适的选择方法种数为（ ）
A．56 B．60 C．84 D．120
8. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9.已知数列中，，，下列说法正确的是
A. 若是等比数列，则
B. 若是等差数列，则
C. 若是等比数列，则、的等比中项为
D. 若是等差数列，则、的等差中项为
10. 有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）
A. 6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C. 6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D. 6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
11.已知函数，若有两个极值点，，则下面判断正确的是
A. B.
C. 且 D.
三、填空题（每小题5分，共15分. 温馨提示: 请把答案填在答题卷相应横线上.）
12.若，则 .
13. 过点作曲线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______.
14.已知数列的前n项和，数列的前n项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_______.
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)
15.本小题13分已知数列满足，
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和
16.本小题15分已知函数
（1）求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）；
（2）求证：.
17.本小题15分已知数列的前n项和为，且.
（1）求的值.
（2）求数列的通项.
（3）求数列的前n项和.
18. 本小题17分如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.
（1）若，求证： ；
（2）若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积.
19.本小题17分已知函数
分析函数的单调性.
若，试问是否存在零点.若存在，请求出该零点;若不存在，请说明理由.
若有两个零点，求满足题意的a的最小整数值参考数据：，顺德一中2024-2025学年下学期高二级期中教学质量检测
数学试题 2025年4月
本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
3.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.数列满足，则其通项公式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2.函数的导数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】“至少取到1件次品”分两种情况：
取的1件次品的方法数为：种；取到2件次品的方法数为：种，
由分类加法计数原理知，共有种不同方法数，
4. 设为等比数列的前n项和，若，，则
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
解：设等比数列的公比为q，因为，即，故，
又因为，所以，即，所以，所以 .
5.已知函数在单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：在单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，易知函数在单调递增，故，
，即.
6.小明从4S店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
【答案】B
解：首付11万元，余款14万元按题意可知是分7次还清，
设每次付款数组成数列，则万元，万元，
万元，…… 万元，
因而数列是首项，公差为的等差数列，万元，
因此购车款最后实际共付万元，
7．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100米接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙两人只能跑第2或3棒，丁不能跑第1棒. 那么合适的选择方法种数为（ ）
A．56 B．60 C．84 D．120
【答案】B
当甲抛第1棒时，乙、丙均不参与，有种；乙、丙至少有一人参与，则有种；
当甲跑第4棒时，乙、丙不参与，有种；乙、丙至少有一人参与，则有种。
所以总的方法数有种。
8. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设，则，
∴时，，在上单调递增．
∴，即，∴，．
设，则，
∴当时，，即在上单调递增．
∴，，∴，即．综上，.
二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9.已知数列中，，，下列说法正确的是
A. 若是等比数列，则
B. 若是等差数列，则
C. 若是等比数列，则、的等比中项为
D. 若是等差数列，则、的等差中项为
【答案】BCD
10. 有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）
A. 6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C. 6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D. 6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
【答案】ACD
【详解】对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种，故B错误；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则有种，故C正确；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；共有6种分组方法，再分配到三个活动中，共有种，D正确．
故选：ACD.
11.已知函数，若有两个极值点，，则下面判断正确的是
A. B. C. 且 D.
【答案】ABD
解析：由题意得，函数的定义域是，，
要使得有两个极值点，则在上有两个解，
令，即在上有两个解
则，解得，所以A正确；
因为，所以，所以，故B正确；
由题意，，2，
因为，，所以，，
所以，
0， 所以C错误；
-，
令，， 则，
在上单调递增，则，即，D正确.
故选：
三、填空题（每小题5分，共15分. 温馨提示: 请把答案填在答题卷相应横线上.）
12.若，则 .
【答案】5
【解析】解：已知，根据组合数性质可得或，
当时，可得，但因为，舍去，
当时，解得，则成立，也满足的条件.
13. 过点作曲线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为___________.
【答案】
【解析】解：设，由曲线， 得 即切线斜率，
曲线C在A点处的切线方程为，
把代入切线方程，得， 化简得，
同理可得曲线C在B点处的切线方程为，
都满足直线，直线AB的方程为
14.已知数列的前n项和，数列的前前n项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_________.
【答案】682.
解析：由题可知，
设的第m项与的第k项相等，则，即，，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
故数列的前5项和等于
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15.本小题13分已知数列满足，
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和
【答案】解：由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列，
故，，
由可得，
则，
所以，
两式相减得，
所以
16.本小题15分已知函数
（1）求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）;
（2）求证：.
【答案】解： ，
当 时， ，当时，，
即函数 在 上单调递增，在上单调递减，
因此极小值为 ，无极大值；
当 时， ；当 时， ，且 ，
结合单调性，可画出函数 的大致图象，如下图所示：
要证，只要证，
令，则，
当时，，，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，即恒成立， 所以
17.本小题15分已知数列的前n项和为，且.
（1）求的值.
（2）求数列的通项.
（3）求数列的前n项和.
解：（1）由条件知，，-4.
（2）当n为奇数且时，，也符合，
所以当n为奇数时，；
当n为偶数时，；
所以数列
（3）由题可知，所以，
所以数列的前n项和为。
18. 本小题17分如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.
（1）若，求证： ；
（2）若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积.
【小问1详解】
由题意知平面平面，平面平面，
，且平面，故平面，
又平面，故；
又，且平面，
故平面，而平面，
故；
【小问2详解】
以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由于，，则，
设,则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则可得，
由于直线与平面所成的角为，
故，
解得，结合，则，
所以.
19.本小题17分已知函数
分析函数的单调性.
若，试问是否存在零点.若存在，请求出该零点;若不存在，请说明理由.
若有两个零点，求满足题意的a的最小整数值参考数据：，
【答案】
（1），，，
所以单调递增，
又时，，时，.
所以存在，使得，
所以在上递减，在上递增.
，，的零点个数与的零点个数相同.
①当时，，
当时，，单调递减;当时，，单调递增.
当时，取得最小值无零点，即无零点.
②当时，令又恒成立，
在上单调递增.
，，故存在，使得
当时，，单调递减;当时，，单调递增，
当时，取得最小值
由，得，代入得
若有零点，则必有，即，也即
令，，当时，，单调递增;当时，，单调递减.
，取，，即恒成立，矛盾，故没有零点.
综上所述，当时，没有零点.
若有两个零点，则有两个零点.由可知，
在上单调递增，又，，故存在，使得
当时，，单调递减;当时，，单调递增;
当时，取得最小值
由，得，
代入得
有两个零点，则必有
设，，当时，恒成立，
在上单调递减，，
设，当时，恒成立，在上单调递增，
下证当时，有两个零点，，
在上有两个零点，即在上有两个零点.
综上所述，为满足题意的最小正整数值.
