3.2用频率估计概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（ ）
A． B． C． D．
2．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
3．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ）
A． B． C． D．
4．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（ ）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
5．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
6．“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A． B． C． D．
7．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（ ）
A．的值一定是 B．的值一定不是
C．越大，的值越接近 D．随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
8．木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．18张 B．12张 C．6张 D．10张
9．在一个不透明的布袋中装有50个黄、红两种颜色的球，除颜色外，其他都相同，琪琪每次从中摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀再摸,通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中红球可能有则布袋中红球可能有（ ）
A．10个 B．15个 C．20个 D．30个
10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
射中九环以上次数 18 68 82 168 332 830
射中九环以上频率 0.90 0.85 0.82 0.84 0.83 0.83
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.83 B．0.85 C．0.86 D．0.90
11．在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色
12．数学课上老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”．
B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花．
C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球．
D．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面．
二、填空题
13．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右，那么摸出黑球的概率约为
14．木箱中装有14个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中篮球的个数为 ．
15．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里黄球的个数最有可能是 ．
16．一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则a的值约为 ．
17．当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ．
三、解答题
18．某商场设立了如图所示的一个可以自由转动的转盘，规定顾客购物50元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“5元兑换券”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“5元兑换券”的频率
(1)计算并完成表格；
(2)你转动该转盘一次，获得5元兑换券的概率约是多少？
19．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止转动时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“洗衣粉”区域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“洗衣粉”区域的频率
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，你认为指针落在“洗衣粉”区域的频率会在哪个常数附近摆动？
(3)任意转动该转盘一次，获得洗衣粉的概率的估计值是多少？
(4)在该转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？（精确到1°）
20．一只不透明的袋中装有3个球，分别标有数字，这些球除数字外其他都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球的数字之积，记录后将球都放回袋中并搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 500 1000
“摸出的2个小球上数字之积为6”出现的频数 3 10 15 24 25 36 59 81 167 332
“摸出的2个小球上数字之积为6”出现的频率 0.30 0.50 0.50 0.40 0.278 0.30 0.328 0.338 0.334 0.332
(1)当摸球次数很大时，“摸出的2个球的数字之积为6”的频率稳定吗？你认为它在哪个常数附近摆动？
(2)“摸出的2个球的数字之积为6”的概率的估计值是多少？
21．某水果公司以2元的成本购进柑橘，在销售过程中销售人员随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如下图所示的统计图．
(1)估计柑橘损坏的概率为_______，柑橘完好的概率为_______；
(2)估计这批柑橘完好的质量为_______；
(3)如果该公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在销售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘定价为多少元比较合适？
22．在不透明的布袋中装有1 个红球和若干白球，它们除颜色外其余完全相同，已知从中任意摸取一个球，摸得红球的概率为．
(1)布袋中白球个数为_______个；
(2)如果先随机从布袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；
(3)若在布袋中再添加x个红球，充分搅匀，从中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共实验次，其中有次摸到红球，则x的值为_____．
23．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）．
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______．
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个．
24．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表：
(1)请将数据表补充完整；
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000
发芽的粒数m 283 344 552 1912 2848
发芽的频率 0.960 0.948
(2)画出发芽频率的折线统计图；
(3)观察所得的折线统计图，这种油菜籽发芽的概率估计值是______．
《3.2用频率估计概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B B C D B D A
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案．
【详解】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子，
∴射中靶子的频率为，
∴小明射击一次击中靶子的概率约为，
故选C
2．B
【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为x cm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可．
【详解】解：假设不规则图案的面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为10cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上：=0.35，
解得：x=3.5，
∴不规则图案的面积大约为3.5cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简．
3．B
【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可．
【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，
则达到或超过 米的数出现的频率是：
故选B．
4．B
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设口袋中白球大约有x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴估计口袋中白球大约有15个．
故选：B
5．B
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，
长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，则，
解得：．
即不规则图案的面积约为．
故选：B．
6．C
【分析】由图可得，成活概率在上下波动，由此即可得到答案．
【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率稳定在，故这种树苗移植成活的概率约为，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，采用数形结合的方法是解此题的关键．
7．D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件．
8．B
【分析】先由频率估计出概率，然后设木箱中蓝色卡片x张，根据概率公式列出方程，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设木箱中蓝色卡片有x张，
∵经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，
∴摸到蓝色卡片的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴估计木箱中蓝色卡片有12张，
故选B．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了利用频率估计概率，当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率，根据摸到红球的频率，可以得到摸到红球的概率为，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在，
估计摸到红球的概率为，
红球的个数为（个），
即布袋中红球可能有30个．
故选：D．
10．A
【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近，
∴这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是0.83．
故选：A．
11．D
【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为，
摸到红球出现的频率，
摸到黄球出现的频率，
摸到蓝球出现的频率，
摸到绿球出现的频率，
∴该球的颜色最有可能是绿球，
故选：．
12．D
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案．
【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃的概率为，不符合题意；
C、不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率为，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面的概率为；符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
13．
【分析】根据大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右，
∴，
故答案为；
【点睛】本题主要考查大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1．
14．6
【分析】本题主要考查了用频率估计概率、已知概率求数量、分式方程的应用等知识点，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．
设袋子中蓝球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，再根据概率公式分式方程求解即可．
【详解】解：设袋子中蓝球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，解得：，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中蓝球约有6个，
故答案为：6．
15．12个/12
【分析】用球的总个数乘以摸到黄球的频率即可．
【详解】解：根据题意，袋子里黄球的个数约为（个），
故答案为：12个．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16．5
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】由题意可得，，
解得，，
经检验是原方程的根．
故答案为：5．
17．0.5/
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了频率求法以及利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题关键．
（1）分别利用表格中数据结合频率公式求出即可；
（2）利用（1）中所求频率即可估计出当n很大时，频率将会接近的值；进而得出获得5元兑换券的概率．
【详解】（1）解：填表如下：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“5元兑换券”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“5元兑换券”的频率
（2）解：由表格中数据可得：当n很大时，频率将会接近；即落在“5元兑换券”的概率为：，
则转动转盘一次，获得5元兑换券的概率是：．
19．(1)见解析
(2)；
(3)；
(4)
【分析】此题主要考查了频率求法以及利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题关键．
（1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可；
（4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比计算即可．
【详解】（1）解：补全表格如下：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.6825 0.701
（2）解：当n很大时，指针落在“洗衣粉”区域的频率会在附近摆动；
（3）解：获得洗衣粉的概率的估计值是；
（4）解：扇形的圆心角约是．
20．(1)稳定，0.33
(2)
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率．
（1）根据表格可知，当摸球次数很大时，“摸出的2个球的数字之积为6”的频率稳定，它在0.33附近摆动；
（2）根据摸出的2个球的总情况数有3种，其中“摸出的2个球的数字之积为6”的情况有1种，结合概率公式可得答案．
【详解】（1）解：当摸球次数很大时，“摸出的2个球的数字之积为6”的频率稳定，它在0.33附近摆动；
（2）解：由题意知“摸出的2个球的数字之积为6”的频率在0.33附近摆动，
∴“摸出的2个球的数字之积为6”的概率的估计值是．
21．(1)；
(2)9000
(3)每千克柑橘定价为5元比较合适
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一元一次方程的应用，掌握用频率估计概率知识是解决本题的关键．
（1）从图表可以估计柑橘损坏的概率估计值为，即可得出柑橘完好的概率估计值；
（2）根据题意，这批柑橘完好的质量所有水果的质量柑橘完好的概率；
（2）通过理解题意可知本题的等量关系，即没有损坏的水果的售价所有水果的成本元，即可列方程解决．
【详解】（1）解：根据所给的图形可得柑橘损坏的概率估计值为，
∴柑橘完好的概率估计值为，
故答案为：，；
（2）解：估计柑橘完好的质量为（千克），
故答案为：；
（3）解：设每千克柑橘定价元，
，
解得，
答：每千克柑橘定价元比较合适．
22．(1)2；
(2)结果见解析，；
(3)2．
【分析】（1）设布袋中白球个数为a个，根据“任意摸取一个球，摸得红球的概率为”列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）画出树状图，共有 6 种等可能结果，摸出的球恰好是两个白球的结果有2种，利用概率公式即可得到答案；
（3）根据“共实验次，其中有次摸到红球”列出方程，解方程并检验即可得到x的值．
【详解】（1）解：设布袋中白球个数为a个，
则，
解得，
经检验是方程的解且符合题意，
∴布袋中白球个数为2个，
故答案为：2
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有 6 种等可能结果，摸出的球恰好是两个白球的结果有2种，
∴（摸出的球恰好是两个白球）．
（3）由题意可得，，
解得，
经检验是方程的解且符合题意，
即x的值为2，
故答案为：2
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、频率估计概率、概率公式、分式方程的应用等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率和根据题意正确列方程是解题的关键．
23．(1)0.6
(2)，
(3)白色12个，黑色8个
【分析】（1）根据摸球的次数1000次时摸到白球的频率，即可估计出摸到白球的频率．
（2）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．
（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
【详解】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
故答案为：0.6．
（2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是．
故答案为：，．
（3）因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球个，黑球个．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查利用频率估计概率和折线统计图，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据频率的概念求解即可；
（2）根据折线统计图的作法求解即可；
（3）根据随着每批粒数的增加，结合折线图得出其频率的稳定值即可得出答案．
【详解】（1）解：将数据表补充完整如下：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000
发芽的粒数m 96 283 344 552 948 1912 2848
发芽的频率 0.960 0.943 0.86 0.92 0.948 0.947 0.949
故答案为：96；948；0.943；0.86；0.92；0.947；0.949；
（2）解：折线统计图如图所示：
；
（3）解：这种小麦发芽的概率的估计值是，
故答案为：．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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