新课预习衔接 三角形的边
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 平陆县期末）如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．100°
2．（2024 西峡县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．65° C．50° D．36°
3．（2024春 泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
4．（2024 岑溪市期末）已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
5．（2024 夏津县期末）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
6．（2024 宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ °．
7．（2024 射阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝ cm．
8．（2024 绥阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝ ．
9．（2024 柯桥区期末）等腰三角形ABC中∠A＝50°，则∠B＝ ．
10．（2024 天桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD＝6，则AC的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 湖北期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
12．（2024 汉阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
13．（2024 安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C；
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
14．（2024 邵阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．
15．（2024 和田地区期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 平陆县期末）如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．100°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据邻补角的定义可得∠BCF＝120°，再根据三角形内角和定理可得∠BFC＝10°，再由角平分线的定义可得∠DFB＝∠CFB、∠CFD＝20°；然后证明△FCB≌△FDB（SAS）可得∠D＝∠BCF＝120°，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵∠CBF＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝10°
∵FB为∠CFD的角平分线，
∴，即∠CFD＝2∠CFB＝20°，
在△FCB和△FDB中，
，
∴△FCB≌△FDB（SAS），
∴∠D＝∠BCF＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠D﹣∠CFB＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2024 西峡县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．65° C．50° D．36°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2024春 泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180﹣50）÷2＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2024 岑溪市期末）已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】C
【分析】本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，知道20°或120°都有做顶角的可能是解题的关键．
5．（2024 夏津县期末）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等边三角形的判定．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先判断△ABC为等边三角形，然后等边三角形的性质得到BC＝AB．
【解答】解：∵AB＝AC＝5，
∴∠C＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ 67.5 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】67.5．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质以及三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴4x+6x+6x＝180°，解得：x，
∴∠B67.5°．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等边对等角的性质．
7．（2024 射阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝ 5 cm．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，从而得出OM＝BM，ON＝CN，再根据MN＝MO+ON，即可求出MN的值．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC，
∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴OM＝BM，ON＝CN，
∵BM＝3cm，CN＝2cm，
∴OM＝3cm，ON＝2cm，
∴MN＝MO+ON＝3+2＝5cm；
故答案为：5．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO是解题的关键．
8．（2024 绥阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝ 3 ．
【考点】含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】作EH⊥AC于H，由等边三角形的性质，推出△EFH≌△DEB（AAS），FH＝BE，EH＝BD＝6，由直角三角形的性质求出HC＝2，CE＝4，BCAB＝5，即可得到FH＝BE＝BC﹣CE，从而求出CF的长．
【解答】解：作EH⊥AC于H，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，DE＝EF，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝60°，
∵∠BED+∠DEF＝∠C+∠EFH，
∴∠BED＝∠EFH，
∵∠B＝∠EHF＝90°，DE＝EF，
∴△EFH≌△DEB（AAS），
∴FH＝BE，EH＝BD＝6，
∴HCEH＝2，
∴CE＝2CH＝4，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴BCAB15＝5，
∴BE＝BC﹣CE，
∴CF＝FH+CH23．
故答案为：3．
【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作EH⊥AC于H，证明△EFH≌△DEB（AAS），得到FH＝BE，由直角三角形的性质求出BE，CH的长，即可解决问题．
9．（2024 柯桥区期末）等腰三角形ABC中∠A＝50°，则∠B＝ 65°或80°或50° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】分∠A是顶角，∠B是顶角，∠C是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解．
【解答】解：已知等腰△ABC中，∠A＝50°，
若∠A是顶角，则∠B＝∠C，
所以∠B（180°﹣50°）＝65°；
若∠B是顶角，则∠A＝∠C＝50°，
所以∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
若∠C是顶角，则∠B＝∠A＝50°．
故∠B为65°或80°或50°，
故答案为：65°或80°或50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
10．（2024 天桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD＝6，则AC的长为 3 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB＝6，从而可得∠B＝∠DAB＝15°，然后利用三角形额外角性质可得∠ADC＝30°，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝6，
∴AD＝BD＝6，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴ACAD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 湖北期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC
（2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）连接AE，
∵EF垂直平分AB
∴AE＝BE
∵BE＝AC
∴AE＝AC
∵D是EC的中点
∴AD⊥BC
（2）设∠B＝x°
∵AE＝BE
∴∠BAE＝∠B＝x°
∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°
∵AE＝AC
∴∠C＝∠AEC＝2x°
在三角形ABC中，3x°+75°＝180°
x°＝35°
∴∠B＝35°
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型．
12．（2024 汉阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C77°38.5°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（2024 安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C；
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）答案见解析；
（2）40°．
【分析】（1）连接CD，根据AC＝BC，点D是AB的中点，证得CD⊥AB，，进而证得∠BCD+∠B＝90°，根据DE⊥BC证得∠B+∠BDE＝90°，从而证得∠BCD＝∠BDE得出结论；
（2）先求出∠B的度数，再根据AC＝BC求出∠A，再根据垂直的定义求出∠AFE＝90°，再利用四边形的内角和为360°解答．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BDE＝90°
∴∠BCD＝∠BDE．
∴；
（2）解：∵∠ADE＝160°
∴∠BDE＝20°，
∵DE⊥BC，EF⊥AC，
∴∠DEB＝∠AFE＝90°，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝70°，
∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用．
14．（2024 邵阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得到CF⊥AB，则CF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，所以OB＝OC，从而得到结论；
（2）利用等腰三角形的性质得到CF平分∠ACB，则∠BCF＝∠ACF＝23°，再利用OB＝OC得到∠OBC＝∠OCB＝23°，接着根据互余计算出∠DEC＝44°，然后根据三角形外角性质计算∠BOE的度数．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形；
（2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACF＝23°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝23°，
∵∠EDC＝90°
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°，
∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了线段垂直平分线的性质．
15．（2024 和田地区期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，再根据角平分线的定义可得∠FCD＝∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，据此即可证得；
（2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝8+6
＝14（cm）．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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