新课预习衔接 与三角形有关的线段
一．选择题（共5小题）
1．（2024 越秀区校级开学）下列能组成三角形的线段是（ ）
A．3、2、6 B．4、3、5 C．2、4、6 D．3、6、9
2．（2024 五华区校级期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
3．（2024 香洲区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024 重庆模拟）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
5．（2024春 惠安县期末）三个边长分别为a，b，c（a≠b≠c）的正方形按如图放置，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 晋江市模拟）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，△ABD和△BCD的周长差为 ．
7．（2024 六盘水期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 ．
8．（2024春 泰兴市月考）在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 ．
9．（2024 仓山区校级模拟）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
10．（2024 商城县期末）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 南皮县期末）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？
12．（2024春 船营区校级期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
13．（2024春 天水期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
14．（2024春 长安区期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 ；
（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数；
（3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数．
15．（2024春 海门区校级月考）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为20，求△BCD的周长．
新课预习衔接 与三角形有关的线段
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 越秀区校级开学）下列能组成三角形的线段是（ ）
A．3、2、6 B．4、3、5 C．2、4、6 D．3、6、9
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．
【解答】解：∵6＞2+3＝5，与两边之和大于第三边不一致，
∴A不符合题意；
∵4+3＝7＞5，与两边之和大于第三边一致，
∴B符合题意；
∵4+2＝6，构不成三角形，
∴C不符合题意；
∵3+6＝9，构不成三角形，
∴D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
2．（2024 五华区校级期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．（2024 香洲区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】D
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BD是△ABC的高．
【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
4．（2024 重庆模拟）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解答】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
5．（2024春 惠安县期末）三个边长分别为a，b，c（a≠b≠c）的正方形按如图放置，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】三角形三边关系；列代数式．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】依题意得AE＝DE＝a，BC＝c，AB＝a+b+c，EB＝b+c，∠AED＝∠B＝90°，再求出S△ADEa2，S△ABCAB BC（ac+bc+c2），S梯形DEBC（DE+BC） EB（ab+ac+bc+c2），然后再根据S阴影＝S△ADE+S梯形DEBC﹣S△ABC即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
依题意得：AE＝DE＝a，BC＝c，AB＝a+b+c，EB＝b+c，∠AED＝∠B＝90°，
∴S△ADEAE DEa2，S△ABCAB BC（a+b+c） c（ac+bc+c2），
又∵S梯形DEBC（DE+BC） EB（a+c）（b+c）（ab+ac+bc+c2），
∴S阴影＝S△ADE+S梯形DEBC﹣S△ABC
a2（ab+ac+bc+c2）（ac+bc+c2）
（a2+ab）
a（a+b），
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的面积，列代数式，准确识图，正确的根据图形的面积公式列出代数式是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 晋江市模拟）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，△ABD和△BCD的周长差为 2 ．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】根据三角形中线的定义得到AD＝CD，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
则△ABD的周长＝AB+BD+AD，△BCD的周长＝BC+CD+BD，
∵AB＝6，BC＝4，
∴AB+BD+AD﹣（BC+CD+BD）＝AB+BD+AD﹣BC﹣CD﹣BD＝AB﹣BC＝2，
∴△ABD和△BCD的周长差为2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长的计算，掌握三角形中线的定义是解题的关键．
7．（2024 六盘水期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 16 ．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
【答案】16．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再根据奇数的定义得出答案．
【解答】解：∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝7，b＝2，
由三角形三边关系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c＝7，
∴△ABC的周长为7+2+7＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了三角形三边关系以及非负数的性质，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
8．（2024春 泰兴市月考）在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 x ．
【考点】三角形三边关系；数轴．
【专题】实数；三角形；运算能力．
【答案】x．
【分析】依据题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6，则AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x，结合能组成三角形，则，从而，计算可以得解，再由D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解，从而可以得解．
【解答】解：由题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6，
∴AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x．
若能组成三角形，
∴．
∴．
∴x．
当D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解．
综上所述，x．
故答案为：x．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系、数轴，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
9．（2024 仓山区校级模拟）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 23 cm．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
10．（2024 商城县期末）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 2＜x＜18 ．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8，
即2＜x＜18，
故答案为：2＜x＜18．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 南皮县期末）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，即可解决问题；
（2）根据取值范围确定第三边，然后求得答案即可．
【解答】解：（1）∵三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，
∴三角形的两边长分别是5、7，
则第三边长a的取值范围是2＜a＜12；
（2）∵a为整数，
∴当a＝11时，组成的三角形的周长最大，
最大值是5+7+11＝23．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
12．（2024春 船营区校级期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】（1）50°
（2）12或15．
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴，
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3
∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3，
∵AB＝9，
∴BC＝12或15．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
13．（2024春 天水期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
【考点】三角形三边关系；绝对值．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）△ABC的周长为11或13；
（2）a+b+c．
【分析】（1）先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系得出a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝5，
∴5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7，
∵c为偶数，
∴c＝4或6，
当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13，
综上所述，△ABC的周长为11或13；
（2）∵△ABC的边长为a，b，c，
∴a+c＞b，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c
＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c
＝a+b+c．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
14．（2024春 长安区期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 1 ；
（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数；
（3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）121°；
（3）129°．
【分析】（1）根据△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD，可得△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再根据中线定义得AD＝BD，以及BC＝3，AC＝2即可得出答案；
（2）根据BE是∠ABC的平分线得∠ABE＝31°，再根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再由三角形外角性质得∠BOC＝∠CDB+∠ABE，据此即可得出答案；
（3）根据∠A＝78°得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，再根据角平分线定义得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝51°，然后再由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数．
【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD，
△ACD的周长为：AC+CD+AD，
∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD，
又∵BC＝3，AC＝2，
∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1，
即△BCD与△ACD的周长差为：1．
故答案为：1．
（2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，
∴∠ABE∠ABC62°＝31°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°；
（3）在△ABC中，∠A＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，
∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB平分线，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）102°＝51°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°．
【点评】此题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键．
15．（2024春 海门区校级月考）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为20，求△BCD的周长．
【考点】三角形三边关系；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）8；
（2）27．
【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到7＜AC＜9，即可得到AC的长；
（2）由三角形中线的定义，得到AD＝CD，得到BD+CD＝19，即可求出△BCD的周长＝BC+CD+BD＝8+19＝27．
【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得：8﹣1＜AC＜8+1，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝20，
∴BD+AD＝20﹣AB＝20﹣1＝19，
∴BD+CD＝19，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝8+19＝27．
【点评】本题考查三角形三边关系，三角形的中线，关键是掌握三角形三边关系定理．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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