江西省宜春市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载；下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0.1 C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．相等的角是对顶角
3．下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ）
A．对你校某班学生最喜爱的运动项目的调查 B．对市辖区水质情况的调查
C．调查所生产的整批火柴是否能够划燃 D．了解全国中小学生的体重情况
4．关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个正数的两个平方根是和，则的值为（ ）
A．3 B．7 C． D．49
6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．“古街古井袁州府，宜居宜游宜春城”这句话中，“宜”字出现的频数是 ．
8．的算术平方根是 ．
9．若与互为相反数，则 ．
10．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵20元，按售价购买5个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需520元．若设每个“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为元、元，根据题意，可列方程组为 ．
11．如图是经宜春市政府第49次常务会议确定的袁州古城logo，若点，点的坐标分别为、，则点的坐标为
12．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒5度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒3度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为 ．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）如图，，，若，求的度数．
14．解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
15．已知的算术平方根是2，是的整数部分．
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
16．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校800名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
(1)本次调查的学生人数为________人；扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角度数为________；
(2)请通过计算将条形统计图补充完整；
(3)请你估计全校读完了超过2部名著的学生人数．
17．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
18．如图，在平面直角坐标系中，把三角形平移后，三角形内任意一点对应点为．
(1)在图中作出平移后的三角形，直接写出
点的对应点的坐标为________________；
点的对应点的坐标为________________；
点的对应点的坐标为________________；
(2)连接，用无刻度直尺在轴上画出点，使．
19．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“从属方程”．
例如：的解为，
的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“从属方程”．
【问题解决】
(1)判断方程是不是不等式组的“从属方程”；
(2)若方程是不等式组的“从属方程”，求的取值范围．
20．宜春松花皮蛋历史悠久，其制作工艺形成于唐宋，盛于明清．以其晶莹透亮、口感醇厚闻名遐迩，是当地极具特色的传统美食．某皮蛋工坊专注制作经典溏心皮蛋和创新茶香皮蛋，深受市场喜爱．
(1)工坊在促销活动中，第一天售出经典溏心皮蛋20盒，创新茶香皮蛋15盒，总销售额为1350元；第二天售出经典溏心皮蛋25盒，创新茶香皮蛋10盒，总销售额为1250元．求每盒经典溏心皮蛋和每盒创新茶香皮蛋的售价分别是多少元？
(2)某超市计划购进经典溏心皮蛋和创新茶香皮蛋共100盒．已知经典溏心皮蛋每盒进价25元，创新茶香皮蛋每盒进价35元，超市要求采购资金不超过2930元，并且销售利润超过900元．请列出所有符合条件的采购方案．
21．综合与实践：
【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究．
【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点．
【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究：
探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由．
探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数．
参考答案
1．A
解：0.1，，是有理数，是无理数，
故选：A．
2．C
A、表示算术平方根，结果为非负数，故，而非，该选项错误；
B、可通过举反例来判断．当时，此时（因为），
但此时，所以若，则这个结论不成立，该选项错误；
C、已知，因为任何数的平方都大于等于0，即．又因为不等式成立，所以，那么，根据不等式的基本性质、不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变．在两边同时除以，可得，该选项正确；
D、但相等的角不一定是对顶角．例如，角平分线将一个角分成两个相等的角，但它们不是对顶角，该选项错误．
故选：C．
3．A
A、调查某班学生最喜爱的运动项目。班级人数较少，容易进行全面调查，且结果需准确，适合采用全面调查，，故本选项符合题意；
B、市辖区水质调查。市辖区范围大，全面检测所有水域不现实，需采用抽样调查，，故本选项不合题意；。
C、整批火柴是否划燃的检验。若全面检测需划燃所有火柴，导致产品完全破坏，应通过抽样调查判断质量，故本选项不合题意；
D、全国中小学生体重调查。全国范围极大，无法全面实施，必须采用抽样调查，，故本选项不合题意。
故选：A。
4．C
解：
由得：，
∵，
∴，
解得：
故选C．
5．D
解：因为一个正数的两个平方根分别是和，
所以，
解得：，
则，
所以；
6．C
解：纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，……，一般地，纵坐标为的点有个，
且这个点的横坐标从左往右依次是，，……，，，，……，；
考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，
点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，
点是从左往右排列的方向；
∵，当纵坐标是时，这样的点共有个，且点是从右往左方向，
∴最左边的点坐标为，即第个点的坐标．
故选：C ．
7．3
解：“古街古井袁州府，宜居宜游宜春城”这句话中“宜”出现的次数是：3次，
∴“宜”出现的频数是3．
故答案为：3．
8．2
∵，，
故答案为2．
9．1
∵和互为相反数，
，
，
，
，
故答案为： 1 ．
10．
解：由题意，可列方程组为：；
故答案为：．
11．
解：先根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，如图所示，
由图可得点C的坐标为，
故答案为：．
12．7.5或30或52.5
分情况讨论：
①当在直线上方时，如图：
当时，则，
；
②当在直线下方，直线上方时，如图：
当时，则，
；
③当都在直线下方时，如图：
当时，则，
∴，
∴；
④当在直线上方，直线下方时，如图：
当时，则，
∴，
∴（舍去），
∴为7.5或30或52.5，
故答案为：7.5或30或52.5．
13．（）；（）．
（）解：原式
；
（）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．-2≤x<3，解集在数轴上表示见解析
解：，
解①得：x<3，
解②得：x≥-2，
∴-2≤x<3，
解集在数轴上表示为：
15．(1)，
(2)
（1）解：依题意得：由，得，
解得，
，
的整数部分为3，故；
（2）解：，
，
即：的立方根是．
16．(1)40，54
(2)见解析
(3)全校读完了超过2部名著的学生人数为280人
（1）解：本次调查的学生人数为人；
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角度数为；
故答案为：40；54
（2）解：“1”部的人数为人
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：全校读完了超过2部名著的学生人数为280人．
17．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
，
，
，
；
（2）解：∵，
，
，
，
平分，
，
∵，
．
18．(1)图见解析；，，
(2)见解析
（1）解：根据题意，平移规则为先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，如图所示：三角形为所求；
由图可知：，，；
（2），
如上图所示：点为所求；
作点P关于的对称点，连接并延长，交y轴于点，
如上图所示：点为所求．
19．(1)是，理由见解析
(2)．
（1）解：解方程，得，
，
解不等式得，，
解不等式得，，
原不等式组的解集为，
∵在范围内，
是不等式组的“从属方程”；
（2）解：解方程，得，
，
解不等式得，，
解不等式得，，
原不等式组的解集为，
方程是不等式组的“从属方程”，
，
解得．
20．(1)每盒经典溏心皮蛋的售价为30元，每盒创新茶香皮蛋的售价为50元
(2)符合条件的采购方案有：①购进经典溏心皮蛋57盒，购进创新茶香皮蛋43盒．②购进经典溏心皮蛋58盒，购进创新茶香皮蛋42盒．③购进经典溏心皮蛋59盒，购进创新茶香皮蛋41盒
（1）解：设每盒经典溏心皮蛋的售价为元，每盒创新茶香皮蛋的售价为元．
，
解得：
答：每盒经典溏心皮蛋的售价为30元，每盒创新茶香皮蛋的售价为50元．
（2）解：设超市购进经典溏心皮蛋盒，则购进创新茶香皮蛋（）盒．
，
解得：
为整数，
，58，59 ，
符合条件的采购方案有：①购进经典溏心皮蛋57盒，购进创新茶香皮蛋43盒．
②购进经典溏心皮蛋58盒，购进创新茶香皮蛋42盒．
③购进经典溏心皮蛋59盒，购进创新茶香皮蛋41盒．
21．（1），理由见解析；（2）；（3）
（1），
理由如下：过点作，如图①，
，
，，
，
．
（2）过点作，如图②所示：
平分，，
，
平分，
设，
由（1）得：，
，
即，
，，
，
，，
，
；
（3）过点作，如图③所示：
，
设，则，
，
由对顶角相等得：，
设，
，
，
，
由（1）得：，
，
即，
，，
，
，，
，
，
，
解得：
．
