2024-2025学年广东省广州市白云区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.参加某次数学竞赛的名学生的成绩单位：分如下：，，，，，，，，，，则这人成绩的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.若圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是( )
A. B. C. D.
4.已知向量与的夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，为中点，设，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.一个袋子中装有标号分别是，，，，，的个球，除标号外没有其他差异采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是”，事件表示“两次摸到球的标号之和是”在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
10.为了解某市家庭用水量的情况，该市统计局调查了户居民的月均用水量单位：吨，将数据按照，，，分成组，制成如图频率分布直方图，则( )
A. 调查的户居民的月均用水量的极差是
B. 调查的户居民中有户的月均用水量介于至之间
C. 估计该市居民用户的月均用水量不低于的比率为
D. 估计该市居民用户月均用水量的中位数介于之间
11.已知三棱锥满足底面，且，，则( )
A. 三棱锥的体积最大值为
B. 三棱锥的外接球表面积为
C. 的面积最大值为
D. 与侧面所成的角小于二面角的平面角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班级有男生人，女生人按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为的样本如果样本按比例分配，则男生应抽取______人
13.在如图所示的平面四边形中，，，，，则 ______．
14.如图，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为已知一个半径为的筒车按照逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设向量，，且向量与互相垂直．
求的值；
求向量在上的投影向量的坐标．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点．
求证：平面；
若侧面底面，求证：平面．
17.本小题分
甲、乙两人组成“龙队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少个的概率；
若“龙队”在两轮活动中猜对成语的总数不少于个，即可晋级求“龙队”晋级的概率．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．
求角；
已知的外接圆的圆心为，半径．
作角的平分线交于，，求的面积；
若，求的取值范围．
19.本小题分
在三棱锥中，，记点在平面上的投影为点．
如图，证明：；
如图，记，，直线与平面所成角为，求证：，比较与的大小并说明理由；
如图，已知，，，为平面内一点，且，记异面直线与所成角为，求的最大值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.由已知得，．
因为向量与互相垂直，
所以，
解得或；
当时，，则向量在上的投影向量为：
；
当时，，则向量在上的投影向量为：
．
16.证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，
且，
底面为矩形，是的中点，
所以，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故EF，
又平面，平面，
所以平面；
底面为矩形，故CD，
侧面底面，侧面底面，
所以平面，
因为平面，所以，
侧面是正三角形，为的中点，
所以，
因为，
所以平面．
17.根据题意，在一轮活动中，设事件“甲猜对成语”，事件“乙猜对成语”，
事件“该队伍猜对成语的总数至少个”，
易得，且，，
则；
即“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少个的概率为．
设事件“在两轮活动中甲猜对个成语”，事件“在一轮活动中乙猜对个成语”，，，，事件“龙队晋级”，
则由题可知，且事件，，两两互斥，
，，，，
，
“龙队”晋级的概率为．
18.因为，所以，
所以，
整理得到，
进而得到，
所以，提取公式得到，
因为为三角形内角所以，可以得到，
又由于，可以得到，
又因为为三角形的内角，所以；
因为，
所以根据正弦定理可得：，
又因为是角的角平分线，所以可以得到，
因为，
所以，
整理得到，
再根据余弦定理得到，
进而得到，
根据可得，
整理得到，
求得或舍去，
根据三角形的面积公式可得；
根据题意作图如下：
由题易知，，，
又因为，，
所以，
整理得到，
进而得到，
化简可得，
故可以求得，
又因为，所以得到，
所以
所以
即的取值范围为．
19.证明：取中点为点，连接、，
因为，
所以，，
因为，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以．
证明：作于点，连接，
由题意知平面，则，
由三垂线定理知，在中，，
在中，，
在中，，
，等式成立．
因为，所以，
又且在上单调递减，所以．
法一：因为平面，所以，
易知≌，则，又，
所以≌，则，
所以点在直线上，
在，，同理，
是等边三角形，因为，
所以是的中点，则，，，
因为为平面内一点，且，所以点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，
设与的夹角为，，
因为，
所以，
当时，取得最大值．
法二：由可知平面，
所以平面平面，
可知点在上，
由，，，则，
可得，
易得，在三角形中，，
记直线与平面所成的角为，
所以，
因为为平面的动点，，
所以点在平面内的轨迹是一个圆，为圆心，为半径的圆，
由知，异面直线与的夹角当时，取等号，
所以的最大值为．
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