专题3 三角函数与解三角形
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
知识1 三角函数的性质 （5年6考） 考点01 三角函数的周期 2024年 新课标Ⅰ卷 1.三角函数图象伸缩变换及图象定区间最值极值问题是高考的重难点 2.三角形正余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点
考点02 三角函数的单调性 2021年 新高考Ⅰ卷
考点03 三角函数的对称性 2025年 全国一卷
考点04 三角函数的值域(最值) 2025年 全国一卷
考点05 三角函数的性质综合 2024年 新课标Ⅱ卷 2025年 全国二卷
知识2 三角函数的图象 （5年4考） 考点06 三角函数的图象变换 2022年 新高考Ⅰ卷 2022年 新高考Ⅱ卷 2023年 新课标Ⅰ卷
考点07 由三角函数图象确定解析式 2023年 新课标Ⅱ卷
知识3 三角恒等变换 （5年7考） 考点08 和差角公式的应用 2023年 新课标Ⅰ卷 2024年 新课标Ⅰ卷 2022年 新高考Ⅱ卷 2025年 全国二卷 2024年 新课标Ⅱ卷
考点09 二倍角公式的应用 2023年 新课标Ⅱ卷 2021年 新高考Ⅰ卷
知识4 正余弦定理 （5年6考） 考点10 利用正余弦定理解三角形 2025年 全国一卷
2025年 全国二卷
2023年 新课标Ⅰ卷
2021年 新高考Ⅰ卷
考点11 三角形的面积问题
2024年 新课标Ⅰ卷
考点12 三角形的周长问题 2024年 新课标Ⅱ卷
知识5 解三角形的应用 （5年1考） 考点13 解三角形的最值问题 2022年 新高考Ⅰ卷
考点01 三角函数的周期
1．[2024年 新课标Ⅰ卷]当时，曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
考点02 三角函数的单调性
2．[2021年 新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
考点03 三角函数的对称性
3．[2025年 全国一卷]已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为( )
A. B. C. D.
考点04 三角函数的值域(最值)
4．[2025年 全国一卷]（1）求函数在区间的最大值；
（2）给定和，证明：存在，使得；
（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值.
考点05 三角函数的性质综合
5．[2024年 新课标Ⅱ卷]（多选）对于函数和，下列说法中正确的有( )
A.与有相同的零点
B.与有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期
D.与的图象有相同的对称轴
6．[2025年 全国二卷]已知函数，.
（1）求；
（2）设函数，求值域和单调区间.
考点06 三角函数的图象变换
7．[2022年 新高考Ⅰ卷]记函数的最小正周期为T.若，且的图象关于点中心对称，则( )
A.1 B. C. D.3
8．[2022年 新高考Ⅱ卷]（多选）已知函数的图象关于点中心对称，则( )
A.在区间单调递减
B.在区间有两个极值点
C.直线是曲线的对称轴
D.直线是曲线的切线
9．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是___________.
考点07 由三角函数图象确定解析式
10．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_________.
考点08 和差角公式的应用
11．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知，，则( )
A. B. C. D.
12．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知，，则( )
A. B. C. D.3m
13．[2022年 新高考Ⅱ卷]若，则( )
A. B.
C. D.
14．[2025年 全国二卷]已知，，则( )
A. B. C. D.
15．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知为第一象限角，为第三象限角，，，则__________.
考点09 二倍角公式的应用
16．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
17．[2021年 新高考Ⅰ卷]若，则( )
A. B. C. D.
考点10 利用正余弦定理解三角形
18．[2025年 全国一卷]（多选）已知的面积为，，，则( )
A. B.
C. D.
19．[2025年 全国二卷]在中，，，，则( )
A. B. C. D.
20．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知在中，，.
（1）求；
（2）设，求AB边上的高.
21．[2021年 新高考Ⅰ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，点D在边AC上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
考点11 三角形的面积问题
22．[2024年 新课标Ⅰ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求B；
（2）若的面积为，求c.
考点12 三角形的周长问题
23．[2024年 新课标Ⅱ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求的周长.
考点13 解三角形的最值问题
24.[2022年 新高考Ⅰ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求B；
（2）求的最小值.
参考答案与解析
考点01 三角函数的周期
1．答案：C
解析：因为函数的最小正周期，所以函数在上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数与在上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
考点02 三角函数的单调性
2．答案：A
解析：本题考查三角函数的单调性，熟记三角函数的单调区间是解决此类问题的关键.因为，所以，解得，只有A项符合.
考点03 三角函数的对称性
3．答案：B
解析：令，，得，，故的图象的对称中心为，，由题意知，，其最小值为.故选B.
考点04 三角函数的值域(最值)
4．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）解法一：因为，
所以.
令，得，又，所以或，
所以或，
所以x，，的关系如表所示：
x 0
0 大于0 0 小于0
单调递增 极大值 单调递减
因为，
所以函数在区间的最大值为.
解法二：因为，
所以.
，
易得当时，，令，得，令，得.
所以x，，的关系如表所示：
x 0
0 大于0 0 小于0
单调递增 极大值 单调递减
因为，
所以函数在区间的最大值为.
解法三：由题得，
由，得，故x，，的关系如表所示：
x 0
0 大于0 0 小于0
单调递增 极大值 单调递减
因为，
所以函数在区间的最大值为.
（2）解法一：因为余弦函数的周期为，所以不妨设，
当时，，则，此时存在，使得；
当时，，
作出余弦函数的大致图象（如图所示），
所以，
只需要取，即可得到.
综上可得，给定和，存在使得.
解法二：假设对任意恒成立，
由得，，这与，任意矛盾，
所以假设不正确，故一定存在使得.
解法三：因为，
所以与中必有一个小于等于.
否则，，这与矛盾.
所以一定存在或，使得，
所以对于给定和，存在使得.
（3）令，当时，因为，，
所以为偶函数，且为的周期，所以讨论在上的情况，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，结合对称性，及，可知时，所以此时b的最小值为.
要证为b的最小值，对于任意的，只需要证明的最大值不小于，
只需要证明存在，使得.
当时，令，则.
由（2）可知，取，，可得存在使得，
所以，
综上可得，.
考点05 三角函数的性质综合
5．答案：BC
解析：对于A，令，则，，又，故A错误；
对于B，与的最大值都为1，故B正确；
对于C，与的最小正周期都为，故C正确；
对于D，图象的对称轴方程为，，即，，图象的对称轴方程为，，即，，故与的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC.
6．答案：（1）
（2）的值域为；单调递增区间为，单调递减区间为
解析：（1）因为，且，所以.
（2）
.
因为余弦函数的值域是，令，
那么函数的值域就是，所以的值域为.
易知余弦函数在上单调递增，
令，得，
所以的单调递增区间为.
易知余弦函数在上单调递减，
令，得，
所以的单调递减区间为.
考点06 三角函数的图象变换
7．答案：A
解析：因为，所以，解得.因为的图象关于点中心对称，所以，且，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以.故选A.
8．答案：AD
解析：因为函数的图象关于点中心对称，所以，可得，结合，得，所以.
对于A，当时，，所以函数在区间单调递减，故A正确；
对于B，当时，，所以函数在区间只有一个极值点，故B不正确；
对于C，因为，所以不是曲线的对称轴，故C不正确；
对于D，因为，若直线为曲线的切线，则由，得或，所以或.当时，，则由，解得；当时，，方程无解.综上所述，直线为曲线的切线，故D正确.综上所述，选AD.
9．答案：
解析：函数在区间有且仅有3个零点，即在区间有且仅有3个根，因为，，所以，则由余弦函数的图象可知，，解得，即的取值范围是.
考点07 由三角函数图象确定解析式
10．答案：
解析：对比正弦函数的图象易知，点为“五点（画图）法”中的第五点，所以①.由题知，，两式相减，得，即，解得.代入①，得，所以.
考点08 和差角公式的应用
11．答案：B
解析：依题意，得，所以，所以，所以，故选B.
12．答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故选A.
13．答案：C
解析：当时，由题设可得，故可取.于是，，，因此可以排除选项A，D.同理，当时，可取，于是有，因此可以排除选项B.故正确选项为C.
14．答案：D
解析：，因为，所以，所以.
15．答案：
解析：由题知，即，又，可得.由，，，，得，.又，所以是第四象限角，故.
考点09 二倍角公式的应用
16．答案：D
解析：法一：由题意，，得，又为锐角，所以，所以，故选D.
法二：由题意，，得，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D.
17．答案：C
解析：本题考查三角函数的化简与计算.因为，所以.
考点10 利用正余弦定理解三角形
18．答案：ABC
解析：A（√），所以.
B（√）令，，，则（R为的外接圆半径），由，得.若，则为锐角三角形，则，即，则，所以，矛盾.故，即，所以，又，所以.因为，所以，所以，所以，所以.
C（√），所以.
错误项分析：D（×）.
故选ABC.
19．答案：A
解析：方法一：，因为，所以.
方法二：因为，，所以A为最小角，所以，排除B，C，D，故选A.
20．答案：（1）
（2）AB边上的高为6
解析：（1）在中，，
因为，所以，所以.
因为，
所以，
展开并整理得，
得，
又，且，
所以.
（2）由正弦定理得，
得，
由余弦定理得，
则，
整理得，
解得或，
由（1）得，，所以，
又，所以，
即，所以，所以，
设AB边上的高为h，则，
即，解得，
所以AB边上的高为6.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在中，.
由正弦定理得.又，所以.
（2）因为，，
所以，.
在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
所以，整理得.
又，所以，解得或.
又因为，解得，所以.
所以在中，由余弦定理得
.
考点11 三角形的面积问题
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由余弦定理得，
又，.
，，
又，.
（2）由（1）得，
由正弦定理，得，.
的面积，得.
考点12 三角形的周长问题
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）法一：由，得，
所以.
因为，所以，
所以，故.
法二：由，得，
两边同时平方，得，
则，
整理，得，
所以，则.
因为，所以或.
当时，成立，符合条件；
当时，不成立，不符合条件.
故.
法三：由，得，
两边同时平方，得，
则，
整理，得，
所以，则.
因为，所以.
（2）由，得，
由正弦定理，得，所以，
因为，所以.
，
所以
.
法一：由正弦定理，得，
.
所以的周长为.
法二：由正弦定理，
得，
所以，
所以的周长为.
考点13 解三角形的最值问题
24.（1）答案：
解析：因为，所以，
所以，
又，
所以，
所以，
又，所以.
（2）答案：
解析：由（1）得，
所以，且，
所以，，
所以，解得，
由正弦定理得
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
