2024-2025 学年广东省东莞市嘉荣外语学校高二港澳台、华侨联考班下
学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = = 8 2 ，则集合 ∩ 中的子集个数为( )
A. 18 B. 16 C. 32 D. 64
2025
2 i.复数 1 i的虚部为( )
A. 12 i B.
1
2 i C.
1 1
2 D. 2
3.已知 > 0, > 0 3 4，且 + 3 = 2，则 + 的最小值是( )
A. 6 B. 12 C. 272 D. 27
4.下列命题正确的是( )
A.命题“ > 0，sin ≤ 0”的否定为“ ≤ 0，sin > 0”
B.命题“ > 0，sin ≤ 0”的否定为“ ≤ 0，sin > 0”
C.“ > 1 1”是的充要条件“ < ”
D. +1“ln > ln ”是“ < +1”的充分不必要条件
5 ∈
2+3
.已知 ，则 的最小值为( )
2+2
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 22
6 ( ) =
2
.已知函数 e ,则 ( )在 = 1 处的切线方程为( )
A. e = 0 B. 2 e + 1 = 0 C. 2e 1 = 0 D. e 1 = 0
7.函数 ( ) = 2ln(2 )的单调递减区间为( )
A. ( ∞,1) B. (0,1) C. (0,2) D. (2, + ∞)
8.三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请 1 位教师与 3 位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师
引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有( )
A. 10 B. 12 C. 16 D. 24
6
9. 2 + 1 展开式的常数项为( )
A. 6 B. 12 C. 15 D. 20
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10.若(3 2)7 = + ( 1) + ( 1)2 + + ( 1)70 1 2 7 ，则 1 + 2 + + 7 =( )
A. 1 B. 214 1 C. 129 D. 221 1
11.若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则在甲、乙不相邻的条件下，丙、丁相邻的概率为( )
A. 1 B. 33 5 C.
9 13
10 D. 20
12 .函数 ( ) = 2 + log2( 1) 2的零点在区间(2,3)内，则实数 的取值范围为( )
A. 4, 92 B. (4,18) C. (8,9) D. (8,18)
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
13.已知集合 = 1 +3 ≥ 0 ， = { || 2| < 3}，则 ∩ =
14.已知随机变量 服从正态分布 (6, 2)且 ( > 5) = 0.75，则 ( ≥ 7) = ．
15.若直线 = 2 + 5 是曲线 = e + + 的切线，则 = ．
16.若关于 的不等式 2 + 1 > 0 在区间[1,2]上有解，则 的取值范围是 ．
17.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 80%，乙厂产品占 20%，甲厂产品的合格率是 70%，
乙厂产品的合格率是 80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是 ．
18.已知函数 ( ) = ln + , ( ) = e 1，若 ( ) < ( )在(3, + ∞)上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln 2 ．
(1)若 = 1，求 ( )的极值；
(2) 1若 = 2，且 ∈ [1,2]，
2 > ′( )成立，求实数 的取值范围．
20.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + ln ( ∈ )．
(1)讨论 ( )的极值；
(2)求 ( )在 1, e 上的最小值 ( )．
21.(本小题 15 分)
在一个袋子里有大小一样的 6 个小球，其中有 4 个红球和 2 个白球．
(1)现有．放．回．地每次从中摸出 1 个球，连摸 3 次，设摸到红球的次数为 ，求随机变量 的概率分布及期望；
(2)现无．放．回．地依次从中摸出 1 个球，连摸 2 次，求第二次摸出白球的概率；
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(3)若每次任意取出 1 个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为 ，求 = 4
的概率．
22.(本小题 15 分)
某校航模社团共有 10 名学生，研究“战斗机航模”的有 6 人，其中男生 4 人女生 2 人，另外 4 人研究“无
人机航模”．
(1)从研究“战斗机航模”的 6 人中任意选出 2 人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的
概率；
(2)从航模社团中任意选出 3 人参加航模设计大赛，设 表示来自研究“无人机航模”的人数，求 的数学期
望．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.[1,5)
14.0.25/14
15.4
16. 32 , + ∞
17.0.72/1825
18. ≤ e3 ln3 1
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = ln 2 ( > 0)，
′( ) = 1 2 1 =
(2 1)( +1)
( > 0)，
当 0 < < 12时，
′( ) > 0 1； > 时， ′2 ( ) < 0，
1 1
所以 ( )在区间 0, 2 上单调递增，在 2 , + ∞ 上单调递减，
所以当 = 12时， ( )
3
有极大值 4 ln2，无极小值；
(2) 1 1当 = 时， ( ) = ln 22 2 ( > 0)，则
′( ) = 1 1，
由 2 > ′( ) 1 1得， > 2 1，
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设 ( ) = 1 1 2 1，则 > ( )min，
2
由 ( ) = 1 1 1 1 5 2 1 = 2 4，
当 = 2 5时， ( )min = 4，
5所以 的取值范围为 > 4．
20.解：(1)由题意知： ( )的定义域为(0, + ∞) ′( ) = + 1 = ， 2 2 ；
当 ≤ 0 时， > 0，∴ ′( ) > 0 恒成立，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，
∴ ( )无极值；
当 > 0 时，若 ∈ (0, )， ′( ) < 0；若 ∈ ( , + ∞)， ′( ) > 0；
∴ ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增；
∴ ( )的极小值为 ( ) = 1 + ln ，无极大值；
综上所述：当 ≤ 0 时， ( )无极值；当 > 0 时， ( )的极小值为 1 + ln ，无极大值．
(2)当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0 在 1, e 上恒成立，∴ ( )在 1, e 上单调递增，
∴ ( )min = (1) = ；
当 1 < < e 时，若 ∈ [1, ), ′( ) < 0；若 ∈ , e , ′( ) > 0；
∴ ( )在[1, )上单调递减，在 , e 上单调递增，
∴ ( )min = ( ) = 1 + ln ；
当 ≥ e 时， ′( ) ≤ 0 在 1, e 上单调递减，∴ ( ) min = e = e + 1；
, ≤ 1
综上所述： ( )在 1, e 上的最小值 ( ) = 1 + ln , 1 < < e ．
e + 1, ≥ e
21.解：(1) 2由题意分析 ～ (3, 3 )， 的可能值为 0，1，2，3
3 2
所以 ( = 0) = 13 =
1 2 1 2
27， ( = 1) =
1
3 3 3 = 9，
2
( = 2) = 2 2 1 = 4
3
3 3 3 9， ( = 3) =
3 2 8
3 3 = 27 .
分布列为：
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0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
( ) = 3 × 23 = 2．
(2)记“第一次摸出红球”为事件 1，“第一次摸出白球”为事件 2，
“第二次摸出白球”为事件 ，
则 ( 21) = 3 , ( ) =
1
2 3， 1 =
2 × 2 = 4 1 1 13 5 15， 2 = 3 × 5 = 15
4 1 1
即第二次摸出白球的概率为： 1 + 2 = 15+ 15 = 3．
(3) 4 2 2 1依题意，每次取到红球的概率为6 = 3，取到白球的概率为6 = 3．
= 4 即是“前 3 次只有 1 次取到红球，其余 2 次取到白球，第 4 次取到红球”
2
∴ ( = 4) = C1 × 2 × 1 2 43 3 3 × 3 = 27．
22.解：(1)记事件 ：选出的 2 人中至少有一个是女生，事件 ：选出的 2 人都是女生，
所以 ( ) = C2 22 = 1， ( ) = C6 C24 = 15 6 = 9，
( ) 1
由条件概率公式可得 = ( ) = 9；
(2)由题意可知，随机变量 的可能取值有 0、1、2、3，
( = 0) = C
3 1 2 1 1 26
3 = 6， ( = 1) =
C6C4
3 =
1
， ( = 2) = C6C4 3
C C 2 C3
= ，
10 10 10 10
C3 ( = 3) = 43 =
1
，
C10 30
所以随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
所以 ( ) = 0 × 16+ 1 ×
1
2 + 2 ×
3
10 + 3 ×
1 6
30 = 5．
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