【能力提升】与角度有关的计算解答题 专项训练
题型一 基础题
1．（2023秋 同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分线，求∠COE的度数．
2．（2023秋 昭阳区期末）如图，已知点O为直线CE上一点，∠COD＝3∠BOD，，且∠DOE＝54°，求∠AOB的度数．
3．（2023秋 西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数．
4．（2023秋 天心区期末）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．
5．（2023秋 扶余市期末）如图，∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，若∠AOB＝120°，求∠EOC的大小．
6．（2023秋 泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
（2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
7．（2023秋 南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺ABC的三个角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角是30°，60°，90°．
（1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数；
（2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数．
8．（2023秋 杜尔伯特县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
9．（2023秋 九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．
（1）∠AOB ∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）求∠AOC的度数．
10．（2023秋 娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
11．（2023秋 瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．
（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．
12．（2023秋 慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．
（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；
（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数．
题型二 提升题
13．（2023秋 福田区校级期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；
（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．
14．（2023秋 武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°．
（1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．
15．（2023秋 彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．
（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．
16．（2023秋 沙坪坝区校级期末）如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3．
（1）求∠DOE．
（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．
17．（2023秋 仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠MAN的度数；
（3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由．
18．（2023秋 渝北区期末）OC，OD，OE在∠AOB内，∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∠DOE＝66°．
（1）如图1，当OE为∠BOC的角平分线时，求∠AOD的度数；
（2）如图2，当，求∠BOE的度数．
19．（2023秋 汉中期末）如图，已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转到OD，且∠COD＝60°．
（1）如图①，若∠AOD＝90°，试判断∠AOC与∠BOD之间的大小关系并说明理由；
（2）如图②，作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数．
20．（2024春 莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
21．（2023秋 庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC的平分线，
（1）求∠BOE的度数；
（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且，求∠COF的度数．
22．（2023秋 庐阳区校级期末）若两个角的和为60°，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补，若∠BOC＝10°．
（1）求∠AOB的度数．
（2）若如图2所示，射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝4∠AOM，求∠COM的度数．
23．（2023秋 黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．
（1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 ；
（2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
（3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF度数的等量关系： ．
题型三 压轴题
24．（2023秋 赣县区期末）已知∠AOB＝30°，∠BOP＝m∠AOP（m＞0，且OP不与OA重合）．
（1）当m＝1时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为 ；
（2）当m＝2时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数．
25．（2023秋 斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝ ；
（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．
26．（2023秋 海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．
（1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数；
（2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．
27．（2023秋 思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON．
（1）求∠BOD的度数；
（2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得，试探究在旋转过程中，射线OE始终是哪个角的平分线？
28．（2023秋 宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．
（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝ ；
（2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．
（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．
29．（2023秋 东莞市期末）如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
（1）若AC＝6cm，则EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；
（3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF；
②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．
30．（2023秋 于洪区期末）【提出问题】
已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．
（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．
请补充完成下列解答过程：
解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，
∴∠AOD＝ °．
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝ °．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE＝ ∠AOD＝ °．
∴∠COE＝∠AOC+ ＝ °．
【类比分析】
（2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）．
【变式探索】
（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．
31．（2023秋 渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分
∠MOB．
（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝ °．∠NOB＝ °；
（2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．
32．（2023秋 青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可．
33．（2024春 高青县期末）【实践活动】
如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．
（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE ∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 ．
【拓展探究】
（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．
34．（2023秋 启东市期末）已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 ；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数．
35．（2023秋 青羊区校级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．
（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数： （用含α的代数式表示）．
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针开始旋转．
①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，请直接写出结论．
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【能力提升】与角度有关的计算解答题 专项训练
题型一 基础题
1．（2023秋 同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分线，求∠COE的度数．
【分析】先根据角的和差求出∠BOD的度数，在根据角的平分线定义求出∠BOE的度数，最后根据角的和差求解即可．
【解答】解：∵∠BOC＝20°，∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝110°，
又OE是∠BOD的角平分线，
∴∠BOE＝∠BOD＝55°，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝35°．
【点评】本题考查了角平分线的有关计算，正确求出∠BOE的度数是解题的关键．
2．（2023秋 昭阳区期末）如图，已知点O为直线CE上一点，∠COD＝3∠BOD，，且∠DOE＝54°，求∠AOB的度数．
【分析】根据平角的定义求出∠COD，进而求出∠AOC和∠BOD，再由平角的定义求出∠AOB的度数即可．
【解答】解：∵∠DOE＝54°，
∴∠COD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣54°＝126°，
∵∠AOCCOD，
∴∠AOC126°＝63°，
∵∠COD＝3∠BOD，
∴∠BOD∠COD126°＝42°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠DOE＝180°﹣63°﹣42°﹣54°＝21°．
【点评】本题考查角的计算等，掌握平角的定义是解题的关键．
3．（2023秋 西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数．
【分析】先根据角平分线定义求出∠COB的度数，再求出∠BOD的度数，求出∠BOE的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠COB∠AOB＝45°，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝45°，
∵∠BOD＝3∠DOE，
∴∠DOE＝15°，
∴∠BOE＝30°，
∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝45°+30°＝75°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能求出∠DOE的度数是解此题的关键．
4．（2023秋 天心区期末）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．
【分析】根据OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，得出∠AOD＝120°，再根据平角的定义得出∠BOD＝60°，然后根据∠BOD＝3∠DOE，即可得出∠DOE的度数．
【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠BOD＝3∠DOE，
∴∠DOE60°＝20°．
【点评】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．
5．（2023秋 扶余市期末）如图，∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，若∠AOB＝120°，求∠EOC的大小．
【分析】由∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，可设∠DOE＝x°，∠DOC＝y°，可得∠BOE＝3x°，∠COA＝3y°，然后根据∠AOB＝120°，可得∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA＝∠AOB＝120°，可求x°+y°的大小，即可求∠EOC的大小．
【解答】解：设∠DOE＝x°，∠DOC＝y°，
∵∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，
∴∠BOE＝3x°，∠COA＝3y°，
∵∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA＝∠AOB，
∴x°+3x°+y°+3y°＝120°，
∴4（x°+y°）＝120°，
∴x°+y°＝30°，
∵∠EOC＝∠DOE+∠DOC，
∴∠EOC＝x°+y°＝30°，
即∠EOC的大小30°．
【点评】此题考查了角的计算，解题的关键是：根据题意设出未知数，弄清楚角与角之间的关系，从而列出方程进行解答．
6．（2023秋 泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
（2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠BOC的度数；
（2）依据等式的性质，即可得到∠AOC＝∠BOD．
【解答】解：（1）∵OE是∠COA的平分线，∠AOE＝50°，
∴∠AOC＝2∠AOE＝100°，
又∵∠AOB＝∠COD＝18°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°；
（2）∠AOC＝∠BOD．
理由：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
【点评】本题主要考查了角的大小比较以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
7．（2023秋 南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺ABC的三个角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角是30°，60°，90°．
（1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数；
（2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数．
【分析】（1）用90°减去∠CAE的度数，求出的差就是∠BAE的度数；
（2）设∠BAD＝x，用含x的代数式表示出∠BAE后根据∠BAE+∠BAD＝60°建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出∠CAD的度数．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠CAE＝58°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝90°﹣58°＝32°；
（2）设∠BAD＝x，则∠CAE＝2x，
∴∠BAE＝90°﹣2x，
∵∠DAE＝60°，
∴90°﹣2x+x＝60°，
解得：x＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝90°+30°＝120°．
【点评】本题主要考查角的计算，熟练掌握角的和差倍分的计算方法是解决问题的关键．
8．（2023秋 杜尔伯特县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC∠AOB120°＝40°；
（2）∵∠AOD∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键．
9．（2023秋 九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．
（1）∠AOB ∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据角的倍分关系进行解答即可；
（2）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系列方程可求出答案．
【解答】解：（1）∠AOB＝∠NOC，理由如下：
∵∠BON：∠NOC＝3：1，
∴∠NOC：∠BOC＝1：4，
又∵∠AOB：∠BOC＝1：4，
∴∠AOB＝∠NOC，
故答案为：＝；
（2）由（1）可得∠AOB＝∠NOC，
设∠NOC＝α，则∠AOB＝α，∠BON＝3α，
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM∠AOBα，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝91°，
即α+3α＝91°，
解得α＝26°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+4α＝5×26°＝130°，
答：∠AOC＝130°．
【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义，掌握图形中各个角之间的关系是正确解答的前提．
10．（2023秋 娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠DOE∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；
（2）∠BOD＝3∠COE，
设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
【点评】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
11．（2023秋 瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．
（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．
【分析】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝180°﹣∠BOM计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝20°，
∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝70°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠MOC＝140°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝40°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
【点评】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键．
12．（2023秋 慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．
（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；
（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数．
【分析】（1）先说明∠AOD+∠EOB＝90°，再说明∠AOD＝∠FOD，从而得出∠FOD+∠EOB＝90°，再根据∠FOD+∠EOF＝90°，即可得到∠EOB＝∠EOF；
（2）设∠AOD＝x°，则∠DOF＝x°，∠EOF＝90°﹣x°，列方程即可求得．
【解答】解：（1）∠EOB＝∠EOF；理由如下：
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOD＝∠FOD，
∴∠FOD+∠EOB＝90°，
∵∠FOD+∠EOF＝90°，
∵∠EOB＝∠EOF．
（2）设∠AOD＝x°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠DOF＝x°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣x°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF，
∴x°+x°＝90°﹣x°，
∴x＝30，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣30﹣90°＝60°．
【点评】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质及角的和差列出方程式．
题型二 提升题
13．（2023秋 福田区校级期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；
（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．
【分析】（1）先利用角平分线的定义得到∠COD∠AOC，∠COE∠BOC，所以∠DOE∠AOB，然后根据平角的定义求解；
（2）先利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD＝65°，然后计算∠AOD+∠DOE即可；
（3）设∠COD＝3x，∠COE＝2x，然后利用∠COD+∠COE＝90°可计算出x＝18°，从而得到∠COD＝54°，则∠AOD＝54°，然后计算∠AOD+∠DOE．
【解答】解：（1）∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD∠AOC，∠COE∠BOC，
∴∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC），
即∠DOE∠AOB180°＝90°；
（2）∵∠AOD＝∠COD＝65°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝65°+90°＝155°；
（3）∵∠COD：∠COE＝3：2，
∴设∠COD＝3x，∠COE＝2x，
∵∠COD+∠COE＝90°，
∴3x+2x＝90°，
解得x＝18°，
∴∠COD＝54°，
∴∠AOD＝54°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝54°+90°＝144°．
【点评】本题考查了角的计算：利用角的和、差转化为角的度数的和、差．也考查了角平分线的定义．
14．（2023秋 武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°．
（1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．
【分析】（1）根据题意作出图形，再根据图形中角度的和差关系可得出结论；
（2）根据角平分线的定义及角度的和差关系可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵∠AOD＝80°，∠AOB＝50°，
∴∠BOD＝30°，
∵∠COD＝20°，
∴∠BOC＝10°；
故答案为：10°；
（2）∵OP平分∠AOD，
∴∠DOP∠AOD（∠AOB+∠COD+∠BOC），
∵OQ平分∠BOC，
∴∠COQ∠BOC，
∵∠AOB＝50°，∠COD＝20°，
∴∠POQ＝∠DOP﹣∠COQ﹣∠COD，
（∠AOB+∠COD+∠BOC）∠BOC﹣∠COD
（∠AOB﹣∠COD）
＝15°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质及角的计算，合理利用角平分线的性质进行计算是解决本题的关键．
15．（2023秋 彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．
（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．
【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，从而得到∠DOC的度数，即可求解；
（2）分两种情况，OE在OC的上方或OE在OC的下方，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，
∴，，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝54°；
（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，
设∠BOE＝x°，
当OE在OC的上方时，∠COE＝（x﹣36）°，
∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，
由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°，
解得x＝42，即∠BOE＝42°；
当OE在OC的下方时，则∠COE＝（36﹣x）°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，
由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°，
解得x＝27，即∠BOE＝27°；
综上，∠BOE的度数为42°或27°．
【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题．
16．（2023秋 沙坪坝区校级期末）如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3．
（1）求∠DOE．
（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．
【分析】（1）根据已知易得∠AOB∠AOC＝60°，∠BOC∠AOC＝100°，再根据∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，然后求出∠AOD＝20°，∠BOD＝40°，∠COE＝60°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（2）利用角平分线的定义和（1）的结论可得∠DOM∠BOD＝20°，∠CON∠COE＝30°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝160°，∠AOB∠BOC，
∴∠AOB∠AOC＝60°，∠BOC∠AOC＝100°，
∵∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，
∴∠AOD∠AOB＝20°，∠BOD∠AOB＝40°，
∴∠COE＝3∠AOD＝60°，
∴∠DOE＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠COE＝160°﹣20°﹣60°＝80°，
∴∠DOE的度数为80°；
（2）∵OM平分∠BOD，
∴∠DOM∠BOD＝20°，
∵ON平分∠COE，
∴∠CON∠COE＝30°，
∴∠MON＝∠AOC﹣∠CON﹣∠AOD﹣∠DOM
＝160°﹣30°﹣20°﹣20°
＝90°，
∴∠MON的度数为90°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
17．（2023秋 仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠MAN的度数；
（3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，数形结合，利用平角定义求解即可得到答案；
（2）根据题意，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案；
（3）根据题意，设∠NAD＝x°，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案．
【解答】解：（1）∵E、A、B在同一条直线上，
∴∠BAE＝180°，
∵∠BAC＝45°，∠DAE＝30°，
∴∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°；
（2）∵∠BAE＝180°，AM平分∠BAE，
∴，
由（1）知∠DAC＝105°，
∵AN平分∠CAD，
∴，
∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝90°﹣30°﹣52.5°＝7.5°；
（3）∠MAN的度数在转动过程中不会变化，
设∠NAD＝x°，
∵AN平分∠CAD，则∠CAD＝2x°，∠BAE＝∠EAD+∠DAC+∠CAB＝30°+2x°+45°＝（75+2x）°，
∵AM平分∠BAE，
∴，
∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝（37.5+x）°﹣30°﹣x°＝7.5°．
【点评】本题考查求角度，涉及平角定义、角平分线性质和角度和差倍分关系，数形结合，准确表示出角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
18．（2023秋 渝北区期末）OC，OD，OE在∠AOB内，∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∠DOE＝66°．
（1）如图1，当OE为∠BOC的角平分线时，求∠AOD的度数；
（2）如图2，当，求∠BOE的度数．
【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，从而得到∠DOC的度数，即可求解；
（2）设∠BOE＝x，分别表示出∠AOD和∠COE，根据已知等式列出方程，解之即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，
∴，，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝48°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝24°；
（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，
设∠BOE＝x，则∠COE＝36°﹣x，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝30°+x，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝42°﹣x，
由可得，
解得x＝27，即∠BOE＝27°．
【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题．
19．（2023秋 汉中期末）如图，已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转到OD，且∠COD＝60°．
（1）如图①，若∠AOD＝90°，试判断∠AOC与∠BOD之间的大小关系并说明理由；
（2）如图②，作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角的大小；
（2）根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根据∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD计算即可．
【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，
又∵∠AOB＝120°
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC；
（2）∵OC恰好平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠EOC＝α，
∴∠AOE＝2∠AOC＝2α，
∵OE为∠AOC的平分线，
∴∠DOE＝∠AOE＝2α，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，
∵∠COD＝60°，
∴3α＝60°，
∴α＝20°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
20．（2024春 莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；
（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得．
【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，
∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；
∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
设∠AOB＝α，
则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，
∵∠BOD＝90°，
∴6α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠BOC＝2α＝30°．
【点评】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键．
21．（2023秋 庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC的平分线，
（1）求∠BOE的度数；
（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且，求∠COF的度数．
【分析】（1）先利用角的和差关系可得∠BOC＝108°，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答；
（2）分两种情况：当射线OF在OA的上方时；当射线OF在OA的下方时；然后分别进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠BOD＝18°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝108°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE∠BOC＝54°，
∴∠BOE的度数为54°；
（2）分两种情况：
当射线OF在OA的上方时，如图：
∵∠BOC＝108°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，
∵，
∴∠AOF72°＝24°，
∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝72°﹣24°＝48°；
当射线OF在OA的下方时，如图：
∵∠BOC＝108°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，
∵，
∴∠AOF72°＝24°，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝72°+24°＝96°；
综上所述：∠COF的度数为48°或96°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分两种情况讨论是解题的关键．
22．（2023秋 庐阳区校级期末）若两个角的和为60°，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补，若∠BOC＝10°．
（1）求∠AOB的度数．
（2）若如图2所示，射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝4∠AOM，求∠COM的度数．
【分析】（1）已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，即∠AOB+∠AOC＝60°，因为∠AOC＝∠AOB+∠BOC，所以∠BOC+2∠AOB＝60°，已知∠BOC＝10°，可得∠AOB的度数；
（2）已知∠AOB与∠AOD互补，可得∠AOD的度数，因为∠DOM＝4∠AOM，∠DOM+∠AOM＝∠AOD，可得∠AOM、∠DOM的度数，又因∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝35°，所以∠COM＝∠AOC﹣∠AOM．
【解答】解：（1）∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC＝60°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∴∠BOC+2∠AOB＝60°，
∵∠BOC＝10°，
∴∠AOB＝25°；
（2）∵∠AOB与∠AOD互补，
∴∠AOD＝155°，
∵∠DOM＝4∠AOM，∠DOM+∠AOM＝∠AOD，
∴5∠AOM＝∠AOD＝155°，
∴∠AOM＝31°，
∴∠DOM＝124°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝35°，
∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝4°．
【点评】本题考查了补角，关键是掌握补角的定义．
23．（2023秋 黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．
（1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 ；
（2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
（3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF度数的等量关系： ．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案；
（3）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°，
故答案为：70°；
（2）∵∠AOC＝40°，∠COD＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF＝∠DOF∠BOD＝25°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF
＝70°﹣25°
＝45°，
答：∠EOF＝45°；
（3）∵射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．
∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°，∠BOF＝∠DOF∠BOD，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF
∠BOC∠BOD
（∠COD+∠BOD）∠BOD
∠COD，
故答案为：∠EOF∠COD．
【点评】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角的定义是正确解答的前提．
题型三 压轴题
24．（2023秋 赣县区期末）已知∠AOB＝30°，∠BOP＝m∠AOP（m＞0，且OP不与OA重合）．
（1）当m＝1时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为 ；
（2）当m＝2时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数．
【分析】（1）∠BOP＝m∠AOP，当m＝1时，即∠BOP＝∠AOP，OP是角平分线，计算求值即可；
（2）∠BOP＝m∠AOP，当m＝2时，即∠BOP＝2∠AOP，OQ平分∠AOP，计算求值即可．
【解答】解：（1）如图所示：
∵∠BOP＝m∠AOP，
∴当m＝1时，∠BOP＝∠AOP，
∴OP是角平分线，
∵∠AOB＝30°，
∴∠AOP∠AOB30°＝15°．
故答案为：15°；
（2）∵∠BOP＝m∠AOP，
∴当m＝2时，∠BOP＝2∠AOP，
①当点P在∠AOB内部时，
∵OQ平分∠AOP，
∴∠POQ∠AOP，
∴∠BOQ＝∠BOP+∠POQ＝2∠AOP∠AOP∠AOP，
∵∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝30°，∠BOP＝2∠AOP，
∴3∠AOP＝30°，
∴∠AOP＝10°，
∴∠BOQ∠AOP10°＝25°；
②当点P在∠AOB外部时，
∵∠BOP＝2∠AOP，
∴∠AOP＝∠AOB＝30°，
∵OQ平分∠AOP，
∴∠POQ∠AOP30°＝15°，
∴∠BOQ＝∠POQ+∠AOB＝15°+30°＝45°；
∴∠BOQ的度数为25°或45°．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的性质是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
25．（2023秋 斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝ ；
（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）由角平分线的定义得出，进而即可求得∠BOC；
（2）由角平分线的定义得出，即∠AOE＝2∠BOD；
（3）由角平分线的定义得出得出，根据∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，，进而即可求解．
【解答】解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC，
∴，
∵∠AOE＝140°，
∴，
∵∠COD＝30°，
∴∠BOC＝40°；
故答案为：40°．
（2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
∴，
∴，即，
即∠AOE＝2∠BOD，
（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，
∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
∴，
∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，，
∴∠AOE＝2∠BOD．
【点评】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．
26．（2023秋 海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．
（1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数；
（2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．
【分析】（1）利用角的平分线的定义和角的和差求解；
（2）设∠AOD＝x°，再利用角的平分线的定义和角的和差求解；
（3）设∠AOD＝x°，再利用角的平分线的定义和角的和差求解；
【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠COD＝140°，
∴∠COD∠AOB＝70°，
∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝80°，
∵OE平分∠AOD，
∠AOE＝∠EOD＝80°，
∠AOC＝∠AOE+∠COE＝90°；
（2）2∠COE＝∠BOD；理由如下：
设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°﹣x°，∠BOD＝140°﹣x°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠EODx°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝70°﹣x°x°＝70°x°，
∴2∠COE＝140°﹣x°＝∠BOD；
（3）不成立，理由如下：
设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°+x°，∠BOD＝360°﹣（140°+x°）＝220°﹣x°，
∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EODx°，
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝70°+x°x°＝70°x°，
∴2∠COE+∠BOD＝140°+x°+220°﹣x°＝360°．
【点评】本题考查了角的平分线的定义及角的和差，理解角的和差是解题的关键．
27．（2023秋 思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON．
（1）求∠BOD的度数；
（2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得，试探究在旋转过程中，射线OE始终是哪个角的平分线？
【分析】（1）先计算出∠BON＝120°，再根据角平分线的定义求出∠CON的度数，接着计算出∠DON的度数，然后计算∠BON﹣∠DON即可；
（2）先计算出∠MOB＝（180﹣x）°，则利用平角的定义得到∠BON＝x°，再根据角平分线的定义得到∠BOCx°，接着计算出∠COE＝（90x）°，然后利用∠MOB+∠BOE计算出∠MOE＝（90x）°，从而得到∠MOE＝∠COE，于是判断射线OE始终是∠MOC的平分线．
【解答】解：（1）根据题意得∠AOB＝60°，
∴∠BON＝120°，
∵OC平分∠BON，
∴∠BOC＝∠NOC∠BON＝60°，
∵OD平分∠CON，
∴∠DON∠CON＝30°，
∴∠BOD＝∠BON﹣∠DON＝120°﹣30°＝90°；
（2）如图，
∵∠AOM＝（x﹣120）°，∠AOB＝60°，
∴∠MOB＝60°﹣（x﹣120）°＝（180﹣x）°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝x°，
∵OC平分∠BON，
∴∠BOC∠BONx°，
∵∠BOE＝（x﹣90）°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOEx°﹣（x﹣90）°＝（90x）°，
∵∠MOE＝∠MOB+∠BOE＝（180﹣x）°+（x﹣90）°＝（90x）°，
∴∠MOE＝∠COE，
∴OE平分∠MOC，
即在旋转过程中，射线OE始终是∠MOC的平分线．
【点评】本题考查了角平分线的定义和角的计算，灵活运用代数的方法进行角度的转换是解决问题的关键．
28．（2023秋 宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．
（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝ ；
（2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．
（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．
【分析】（1）先根据周角可得：∠BOD+∠AOC＝240°，由∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC可得：∠DOM+∠CON＝80°，最后由角的和可得结论；
（2）同理可得结论；
（3）根据角的和差，∠COD＝30°可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，
∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣90°﹣30°＝240°，
∵∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，
∴∠DOM+∠CON240°＝80°，
∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；
故答案为：110°；
（2）如图2，∠MON的度数不会发生改变，
由（1）可知：∠DOM+∠CON＝80°，
∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；
（3）∵∠MON＝∠AOB﹣∠BOM﹣∠AON
＝90°﹣2∠DOM﹣2∠CON
＝90°﹣2（∠DOM+∠CON）
＝90°﹣2（30°+∠MON），
∴3∠MON＝30°，
∴∠MON＝10°．
【点评】本题考查的是角的计算，角的和与差的运用，正确的读图确定各角的关系是解题的关键，这是一道难度较大的题目．
29．（2023秋 东莞市期末）如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
（1）若AC＝6cm，则EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；
（3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF；
②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．
【分析】（1）依据AB＝20cm，CD＝4cm，AC＝6cm可得DB＝10cm，再根据E、F分别是AC、BD的中点，即可得到CEAC＝3cm，DFDB＝5cm，进而得出EF＝3+4+5＝12（cm）；
（2）依据E、F分别是AC、BD的中点，可得ECAC，DFDB，再根据EF＝EC+CD+DF进行计算，即可得到EF（20+4）＝12（cm）；
（3）①依据OE、OF分别平分∠AOC在∠BOD，可得∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD，再依据∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF进行计算，即可得到结果；②的证明和①一样．
【解答】解：（1）∵AB＝20cm，CD＝4cm，AC＝6cm，
∴DB＝10cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CEAC＝3cm，DFDB＝5cm，
∴EF＝3+4+5＝12（cm）．
故答案为：12．
（2）EF的长度不变．理由：
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴ECAC，DFDB，
∴EF＝EC+CD+DE
．
∵AB＝20cm，CD＝4cm，
∴EF（cm）．
（3）①：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF
．
②；过程同①．
【点评】本题主要考查角平分线、线段的中点的定义及线段的和差关系的运用，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理．
30．（2023秋 于洪区期末）【提出问题】
已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．
（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．
请补充完成下列解答过程：
解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，
∴∠AOD＝ °．
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝ °．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE＝ ∠AOD＝ °．
∴∠COE＝∠AOC+ ＝ °．
【类比分析】
（2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）．
【变式探索】
（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，
∴∠AOD＝70°．
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝20°．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE∠AOD＝35°．
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝55°．
故答案为：70，20，，35，∠AOE，55．
（2）∵∠COD＝90°，∠COE＝α，
∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣α，
∵OEOE是∠AOD的平分线，
∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∵∠AOB＝180°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α，
（3）设∠DOE＝x°，根据题意得：3（x+90）﹣2（180﹣2x）＝78，
解得： x ＝24，
∴∠COE＝114°．
【点评】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
31．（2023秋 渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分
∠MOB．
（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝ °．∠NOB＝ °；
（2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．
【分析】（1）应用余角的定义进行计算及角度的计算即可得出答案；
（2）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），代入计算即可得出答案；
（3）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB+∠MON＝∠BOM，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
∵∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝2×50°＝100°，
∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣100°＝40°；
故答案为：50，40；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），
∴β＝140°﹣180°+2α，
∴β＝2α﹣40°；
（3）不成立．
∵∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∴∠NOB+∠MON＝∠BOM，
∴β+140＝180°﹣2α，
∴β+2α＝40°．
【点评】本题主要考查了余角和补角及角平分线定义，熟练掌握余角和补角及角平分线定义进行求解是解决本题的关键．
32．（2023秋 青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可．
【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°．
（2）如图2，∠MONα，
理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOCα+30°，∠NOC∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOCα．
（3）如图3，∠MONα，与β的大小无关．
理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC∠AOC（α+β），
∠NOC∠BOCβ，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+ββ＝αβ．
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
（α+β）βα，
即∠MONα．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．
33．（2024春 高青县期末）【实践活动】
如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．
（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE ∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 ．
【拓展探究】
（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）依题意得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，进而得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，然后根据同角的余角相等可得出答案；
（2）由∠ACD＝90°，∠ECB＝90°得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，则∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，然而∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系；
（3）先由∠ACD+∠BCE＝180°得∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，进而得∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系．
【解答】解：（1）依题意得：∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
故答案为：＝．
（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∵∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝90°+90°，
∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，
又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；
（3）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
又∵∠ACD+∠BCE＝180°，
∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，
即：∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°．
【点评】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
34．（2023秋 启东市期末）已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 ；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数．
【分析】（1）因为射线OB在∠COD内部，∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD可得；
（2）因为射线OA，射线OB都在∠COD外部，可得∠AOD+∠BOC＝180°，因为，，可得∠BOE+∠AOF的度数，又因∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE，可得∠EOF的度数；
（3）分射线OG在∠EOF内部、射线OG在∠EOF外部两种情况．
【解答】解：（1）∵射线OB在∠COD内部，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
故答案为：∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）∵射线OA，射线OB都在∠COD外部，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵，，即∠AOF∠AOD，
∴4∠BOE+4∠AOF＝180°，即∠BOE+∠AOF＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE＝135°；
（3）设∠GOF＝4x，则∠GOE＝5x，
①当射线OG在∠EOF内部时，
4x+5x＝135°，
解得：x＝15°，
此时∠GOE＝75°，
②当射线OG在∠EOF外部时，
4x+5x＝360°﹣135°，
解得：x＝25°，
此时∠GOE＝125°，
∴∠GOE＝75°或∠GOE＝125°．
【点评】本题考查了角的计算，关键是注意分类讨论．
35．（2023秋 青羊区校级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．
（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数： （用含α的代数式表示）．
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针开始旋转．
①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，请直接写出结论．
【分析】（1）利用平角的定义可得∠BOC＝150°，由角平分线的定义得，则∠DOE＝∠COD﹣∠COE．
（2）利用平角的定义可得∠BOC＝180°﹣α，由角平分线的定义得∠BOE＝∠COE∠BOC＝90°，，则∠DOE＝∠COD﹣∠COE．
（3）①当∠COD旋转至题图2的位置时，设∠AOC＝β，同理可得∠DOE，则∠AOC＝2∠DOE，即2∠DOE﹣∠AOC＝0，由∠AOD＝360°﹣（∠AOC+∠COD）＝270°﹣∠AOC，2∠BOE＝180°﹣2∠DOE，两式相减即可得到结果；
②在图1中，反向延长OC得到射线 OC'，由对顶角和角平分线的性质易得∠BOF＝2∠AOC，于是∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣2∠AOC，由（2）可知∠AOC＝2∠DOE，进而∠AOF＝180°﹣4∠DOE，即∠AOF+4∠DOE＝180°；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得∠AOF+2∠BOC＝180°，即2∠BOC＝180°﹣∠AOF，由∠AOC＝2∠DOE知∠AOF+∠FOC＝2∠DOE，于是2∠AOF+2∠BOC＝4∠DOE，将2∠BOC＝180°﹣∠AOF代入上式，化简即可得到结果．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD是直角，即∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝15°．
（2）∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝90°，
∵∠COD是直角，即∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣90°．
故答案为：．
（3）①∠AOD﹣2∠BOE＝90°．理由如下：
当∠COD旋转至题图2的位置时，
设∠AOC＝β，则∠BOC＝180°﹣β，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝90°β，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣90°，
∴∠AOC＝2∠DOE，即2∠DOE﹣∠AOC＝0，
∵∠AOD＝360°﹣（∠AOC+∠COD）＝270°﹣∠AOC，
∵∠BOE＝∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣∠DOE，
∴2∠BOE＝180°﹣2∠DOE，
∴∠AOD﹣2∠BOE＝270°﹣∠AOC﹣180°+2∠DOE＝90°；
②在图1中，∠AOF+4∠DOE＝180°．理由如下：
由已知，过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，反向延长OC得到射线 OC'，如图，
则OC'平分∠BOF，
∴∠BOC'＝∠FOC'，
又∵∠AOC＝∠BOC′，
∴∠BOF＝2∠AOC，
∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣2∠AOC，
由（2）知，若∠AOC＝α，则，
∴∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF＝180°﹣2∠AOC＝180°﹣4∠DOE，即∠AOF+4∠DOE＝180°；
在图2中，4∠DOE﹣∠AOF＝180°．理由如下：
如图，
∵OC平分∠BOF，
∴，
又∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴∠AOF+2∠BOC＝180°，即2∠BOC＝180°﹣∠AOF，
由①知，∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF+∠FOC＝2∠DOE，
∴∠AOF+∠BOC＝2∠DOE，
∴2∠AOF+2∠BOC＝4∠DOE，
将2∠BOC＝180°﹣∠AOF代入，得2∠AOF+180°﹣∠AOF＝4∠DOE，
整理得4∠DOE﹣∠AOF＝180°．
【点评】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算．
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