2025年山东省聊城市东阿县中考数学联考试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点是线段的中点，，则线段的长度估计应在（ ）
A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间
2. 下列AI软件图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 漏斗是一种通过重力将液体或颗粒导入小口容器的实用工具．日常用于灌装油、调料，实验室中分离液体或过滤，工业上则用于分装原料．如图是一种常用不锈钢漏斗，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
5. 下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，是某公园的进口，，，，，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平行四边形中，为其对角线，于点．延长至点，使，线段与的延长线交于点．若，，．求的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③；④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解： ______．
12. 关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，求的取值范围是__________．
13. 已知一元二次方程 的两个根为，则____．
14. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得，则图中线段扫过的阴影部分的面积为______.
15. 如图，在平面直角坐标系中，，，都是等边三角形，点都在直线上，点都在轴上，直线与轴交于点A，点与原点重合，则的坐标为___________．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16 解答题：
（1）计算：．
（2）先化简，再求值，其中．
17. 随着社会的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人开始关注自己的生活品质和精神需求．在这个过程中，一部分人选择远离都市喧嚣，走进乡村，成为农业农村的参与者，解锁田园生活新体验．某市举办了“我最喜欢的田园生活体验”活动，共开展四个项目：A．我在星村有丘田；B．我在星村有块地；C．我在星村有棵树；D．我在星村有口塘．要求每个家庭只能参与一项．现从参与该项活动的家庭中随机抽取若干家庭进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了________个家庭；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数；
（4）若此次参加田园生活体验的家庭共有2000个，请你估计选择“我在星村有口塘”的家庭有多少个？
18. 数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积．
同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值．
19. 综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习，查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率，表示入射角，表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从A点按固定方向投射到底部的B点形成光斑，测得．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点D，测得．（其中O为入射点，直线为法线，为入射光线，为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求H液体的折射率n．
20. 如图，一次函数的图象与轴，轴交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点轴于点轴于点．
（1）求a，b的值及反比例函数的表达式．
（2）若P为线段CD上的一点，连接PA，PB，当时，求点的坐标．
（3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形 若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
21. 如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22. 【特例感知】
在正方形中，点，分别在边，上，与相交于点．
（1）如图，若点，分别是，的中点，则______；
如图，若点是的中点，，则______．
【类比探究】
菱形中，，点，分别在，上，对角线，相交于点，与相交于点，连接交于点．
（2）如图，若，分别是，的中点，求的值；
如图，若，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值．
23. 已知抛物线（为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为，求，的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数，，当时，恰好有，求，的值．
参考答案
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. B．
2. A．
3.C
4. B ．
5. D．
6.D．
7. A
8. D．
9. C．
10. D
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. ．
12. ．
13. ．
14. ．
15.．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （1）解：
；
（2）解：
当时，
原式．
17. （1）解：（人），
故答案为：200；
（2）解：A项目的人数为：（人），
则补全统计图如图：
（3）解：由题意得，，
∴图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数为；
（4）解：由题意得，，
答：选择“我在星村有口塘”的家庭有700个．
18. 解：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
由作图可得，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为；
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
由作图可得，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19. （1）解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
∴
在中，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
20. （1）解：将点代入，
得，解得，
将点代入，
得，解得，
点的坐标为，点的坐标为，
，
反比例函数的表达式为．
（2）如图，点在线段上，连接．
，
．
设点，则，
，，
．
又，
，
，
点的坐标为．
（3）存在，理由如下：
如图，设点，连接．
，
，
，
．
分三种情况：
①当时，，
，
解得，
；
②当时，，
，
．
，
此情况不成立
③当时，，
，
，
，
或．
令，得，
，
，
∴此时点与点重合，不能构成三角形，
，
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰三角形．
21. （1）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
，
又，
，即，
∵为的半径，
与相切；
（2）解：连接如图所示，
为直径，
，
又∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
22. 解：（）如图，设与交于点，
∵四边形正方形，
∴，，，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理是等边三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
在的延长线上找一点，连接，使得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即；
（）如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
23.（1）解：抛物线的顶点坐标为，
抛物线解析式是：，
，
解得；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，，
代入解析式可得：
，
两式相加可得：，
，
；
（3）由可知抛物线为：，
，
，
当时，
，
，即，
，
抛物线的对称轴是直线，且开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
又，
，
将整理，得，
变形，得，
，
，
解得舍去，，
同理，由得到：，
，
，
解得，舍去，舍去．
综上所述，，．
