2024-2025学年福建省三明市五县联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若向量，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，在上，，设，，则( )
A. B. C. D.
4.设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 、的大小不确定
5.已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知正三棱台上下底面边长分别为、，高为，则正三棱台外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，，若，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中为真命题的是( )
A. 若与是共线向量，则点、、、共线
B. 若为非零向量，则与同向
C. 若，则
D. 若，，则
10.正方体的棱长为，点、分别是、的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线F、、相交于同一个点 B. 过点、、的截面面积为
C. 三棱锥的高是 D. 三棱锥外接球表面积为
11.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 的取值范围是
C. 点是所在平面内任一点，若，则的取值范围是
D. 点是所在平面内任一点，，则与的面积比为：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则向量与的夹角为______
13.在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为______．
14.祖暅，南北朝时代的伟大科学家他于世纪末提出下面的计算原理祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等请同学们用祖暅原理解决如下问题：如题图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，再注入水，使水面与球正好相切而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部，然后将球取出，则这时容器中水的深度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复数满足，且是实数．
若复数对应的点在第四象限，求复数；
在的条件下，记复数对应的点为，若是直角三角形，求的值．
16.本小题分
如图，四边形中，，，，．
用，表示、；
求的值．
17.本小题分
如图，在中角、、所对的边分别为、、已知：，点在的延长线上，，．
求角；
若的面积，求线段的长．
18.本小题分
某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香因为在处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长米的直线绿道一侧规划一个三角形区域古塔的底座忽略不计做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．
若在、处分别测得塔顶的仰角为、，求塔高；
求绿化区域面积的取值范围；
绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到已知，求游客所走路程的最大值．
19.本小题分
在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：．
求角；
，求边上的中线的最小值；
已知锐角的面积为，点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围．
参考答案
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.设复数、，所以，，
因为是实数
所以，则，，
若复数对应的点在第四象限，则，即；
在的条件下，，，
若，则，
又，，则，解得；
若，则，
，所以，解得；
若，则，方程无解，不存在．
综上：或．
16.，
；
因为，
因此，，
，
，
，
因此，
所以．
17.，
由正弦定理得：，
即，
，，
，即，
；
设，
中，由正弦定理得：，．
中，由正弦定理得：，
，
，
，
，
，
，，即，
又，，
．
18.设米，
根据题意可知，，，
又在、处分别测得塔顶的仰角为、即，，
所以可知，，所以在中，，
根据余弦定理得，
即，解得或舍去
所以塔高为米；
设，则，
则在中，根据正弦定理，则，故，
根据题意可知，为锐角三角形，则即，
故，则，
又，则；
在中，根据余弦定理得，
所以
，
所以，所以，
当且仅当时取等号，故所走路程的最大值为米．
19.根据题意可知，角，，的对边长分别为，，，且，
根据正弦定理则，即，
根据余弦定理，则，可知，，则；
根据题意可知，，因为是的中点，根据平面向量的数量积公式，则，
结合基本不等式则，
，
当且仅当时取等号，故，
所以边的中线的最小值是；
根据题意可知，点是的重心，点是的中点，则，，
线段与线段交于点，则，，共线，，，共线，
则，
，
则，
故，
根据题意可知，点为三角形的重心，
则，
根据题意可知，锐角的面积为，根据三角形面积公式则，，则，
可得，
，
因为是锐角三角形，则为锐角，
故，则，
同理为锐角，故有，可得，
可得，
设，则，
则有，当时，根据对勾函数的性质可知，该对勾函数单调递增，则，故．
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